第27讲 几何图形背景下的相似三角形的存在性（解析版）

第27讲几何图形背景下的相似三角形的存在性【技巧点拨】二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。【中考挑战满分模拟练】1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．【分析】（1）连接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中点，知BD＝AC＝5，从而DG＝BD＝，证明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；（2）分两种情况：①当△DEC∽ABC时，设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②当△EDC∽△ABC时，设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，设AK＝3t，则DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）连接DF，DE，如图：∵∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，∴AB＝6，BC＝8，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝5，∵EF是BD的垂直平分线，∴DG＝BD＝，∵D是AC中点，∠ABC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，∵EF是BD的垂直平分线，∴DF＝BF，DE＝BE，∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，∴△DGF∽△ABC∽△EGD，∴＝，＝，∴＝，＝，解得FG＝，EG＝，∴EF＝FG+EG＝；（2）①当△DEC∽ABC时，如图：设CE＝m，则BE＝8﹣m＝DE，∵＝，∴＝，解得m＝，∴CE＝；②当△EDC∽△ABC时，如图：设CE＝n，则BE＝DE＝8﹣n，∵＝，∴＝，解得n＝5，∴CE＝5；综上所述，△DEC和△ABC相似，CE的长为或5；（3）连接DF，过D作DK⊥AB于K，如图：∴DK∥BC，∴∠ADK＝∠C，∴tan∠ADK＝tanC＝，即＝，设AK＝3t，则DK＝4t，∵AB＝6，AF＝2，∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，∴（4t）2+（3t+2）2＝82，解得t＝或t＝（舍去），∴AD＝＝＝5t＝，∴AD的长是．【点评】本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用．2．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P．（1）当点B为CQ的中点时，求PD的长；（2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长．【分析】（1）由勾股定理可求得AB的长，由直角三角形斜边上中线的性质可得∠PCQ＝∠ABC，则可得△PCQ∽△CBA，由相似三角形的性质即可求得PC的长度，从而求得结果；（2）由△PCQ∽△CBA，即可求得PC的长度，从而由y＝PC﹣CD即可求得y关于x的函数关系式，由CQ在CB延长线上的一动点，即可写出x的取值范围；（3）分△DBF∽△ACB，△DBF∽△BCA两种情况，利用相似三角形的性质即可完成求解．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵CD是边AB上的中线，∴，∴∠PCQ＝∠ABC，∵∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△CBA，即，∵点B为CQ的中点，∴CQ＝2BC＝8，∴，∴；（2）解：∵△PCQ∽△CBA，∴，∵CQ＝BC+BQ＝4+x，∴，∴，∵点Q是CB延长线上的一动点，∴x＞4，∴y关于x的函数关系式，x的取值范围为x＞4；（3）若△DBF∽△ACB，如图，则，∴，∵∠FBQ+∠ABC＝∠ABC+∠A＝90°，∠PCQ+∠ACD＝∠PCQ+∠PQC＝90°，∴∠FBQ＝∠A，∠ACD＝∠PQC，∴△FBQ∽△DAC，∴，∵，∴；若△DBF∽△BCA，如图，则，∠FDB＝∠ABC，∴，DF∥CQ，∴△PDF∽△PCQ，∴，即DF⋅PC＝PD⋅CQ，∴，化简得：4x2+7x﹣36＝0，解得：，x2＝﹣4（舍去），∴．综上，BQ的长为4或．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．3．（2022徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．（3）利用△CFD与△ADH相似，可得＝或＝，由此构建方程求出CD，当点F在下方时，同法可求CD．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．（2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．【分析】（1）连接OF，证明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；（2）连接DO交AF于点M，连接BF，证出，设OM＝a，则BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，由勾股定理求出MF＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）当∠ODG＝∠DCE＝90°时，由直角三角形的性质可求出答案；当∠DOG＝∠DCE＝90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：∵DF＝BF，∴∠DOF＝∠FOB，连接OF，在半圆O中，OD＝OF＝OB，∴∠ODF＝∠OFD＝，∠OFB＝∠OBF＝（180°﹣∠FOB），∴∠ODF＝∠OFD＝∠OFB＝∠OBF，∵∠CFB＝180°﹣∠OFB﹣∠OFD＝180°﹣∠OFB﹣∠OBF＝∠FOC，又∵∠FCB＝∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴，又∵OF＝OB＝BC＝OC，∴；（2）解：连接DO交AF于点M，连接BF，∵点D平分，OD是半径，∴OD⊥AF于点M，AM＝MF，∵OA＝OB，∴OD∥BF，OM＝BF，又∵OC＝OB，BF∥OD，∴，设OM＝a，则BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF＝＝＝a，在Rt△DMF中，tan∠DFA＝；（3）解：由题意有∠DGO＝∠CGE，当∠ODG＝∠DCE＝90°时，∵OC＝2OB＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴∠AOD＝120°，当∠DOG＝∠DCE＝90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，在Rt△DOE中，OH＝，∴∠HDO＝∠HOD，在Rt△DOE中，CD＝CE，∴HC＝DE，CH⊥DE，∴HC＝DE＝HO，∴∠HOC＝∠HCO，∵四边形HCOD的内角和为360°，∴∠DOC＝135°，∴∠AOD＝45°．综上所述，∠AOD为120°或45°．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5.（2022青浦一模24）．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．当x＝0时，y＝﹣3．∴点C的坐标为（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．（i）当时，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）当时，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．6.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与y轴相交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣2），∵BC//x轴，∴点B的纵坐标是﹣2，∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），∵这个二次函数的图像也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解这个方程组，得a＝，b＝1，∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图像的对称轴是直线x＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x轴，∴∠OBD＝∠BOE，∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，②当时，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又点E在x轴的负半轴上，∴点E的坐标为（﹣10，0）；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），设直线AM的解析式为y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵点C的坐标为（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．7.（202崇明一模）24.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．【小问1详解】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=−x2+x+3，∵y=−x2+x+3=−(x-)2+，∴此抛物线对称轴为x=，顶点坐标为(，)；【小问2详解】解：设直线AB的解析式为y=px+q，把A（4，0），B（0，3）代入得，解得：，∴直线AB的解析式为y=，∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，−m2+m+3），P（m，），∴NP=−m2+3m，OB=3，∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，∴NP=OB，即−m2+3m=3，整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2；【小问3详解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），∴AB=5，BP=，而NP=−m2+3m，∵PN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当时，△BPN∽△OBA，即，整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此时M点的坐标为（，0）；当时，△BPN∽△ABO，即，整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，此时M点的坐标为（3，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）．8.（2022宝山一模）已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【小问1详解】解：抛物线经过点，，，设抛物线解析式为：，将点C代入可得：，解得：，∴，∴顶点坐标为：；【小问2详解】解：如图所示：为直角三角形且三边长分别为：，，，的三边长分别为：，，，∴，∴为直角三角形，∵，∴；【小问3详解】解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：∴，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，设，∴，，∴，整理得：①，=，即②，将①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合题意舍去），∴，，设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：，解得：，∴，∴联立两个函数得：，将①代入②得：，整理得：，解得：，，当时，，∴．9.（2022静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，则x＝，∴P（，0），设C（t，0），如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP过B点作BQ⊥x轴交于点Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，此时C（，0）；综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．10.（2021年宝山二模24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），∴S△ODE＝9﹣﹣＝