2023-2024学年四川省眉山市仁寿县铧强中学高三（上）数学试卷（理科）（9月份）（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市仁寿县锦强中学高三（上）诊断数学试卷

（理科）（9月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数z=sin，-icos*,则复数z的虚部是（）

OO

A.B.一？C.D.一?？

2.设全集（7=/?,集合A={x€N|x<4},B={x\x>2},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{1,2}B.[0,1,2）C.{x\x<2}D.{x|0<%<2}

3.已知m、n是平面a内的两条直线，则“直线11m且1_Ln”是〜!a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华

民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,

如图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.

廨敕人收（万人）

①平均每年减贫人数超过1300万；

②每年减贫人数均保持在1100万以上：

③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年递减的规律;

④历年减贫人数的中位数是1240（万人）.

A.1B.2C.3D.4

5.已知等差数列｛a九｝中，劭+。4=7,则%+%=()

A.4B.5C.6D.7

6.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数

题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()

A4Btc4Dl

7.若函数/(乃=以一》》在区间(2,+8)单调递增，则a的取值范围是()

A.g+8)B.(-8,-1]C.(-00,-2]D.[1,4-00)

8.函数fQ)=弊料的图象大致为()

9.已知sin(a+?)—cosa=则cos(a+勺=()

。50

A.|3B.i4c.-|3D.-i4

10.在AABC中，A=60。,AC=2,BC=，与，则△ABC的面积等于()

A.CB.yC.2<3D.fl

11.已知函数f(x)=2sin(a)x+9)(3>0,\(p\<兀)的部分图象如图所示，关于此函

数的下列描述：

①3=2：@(P=(③若*1+x2=贝叶(%1)=/(%2)；④若+*2=条则)(X1)+

/(亚)=0-

其中正确的命题是()

A.②③B.①④C.①③D.①②

12.已知函数/(%)=要二+1与函数g(x)=—/+12刀+1图象交点分别为：Pi(xi.yi),。2(小，力)，

2—2

「3(>3，%)，->PkOk，％)，则01+%2+…+%k)+(%+、2+.,•+旅)=()

A.-2B.0C.2D.4

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在(2—CT的展开式中，/的系数为.

14.已知函数f(x)=x3-3x,函数/(x)的图像久=0在处的切线方程是.

15.已知正三棱柱4BC-&B1C1的底面边长为6,三棱柱的高为2C，则该三棱柱的外接球的表面积为

16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德・黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎

鼻(p,q都是正整数，牌既约真分数)

曼函数定义在［0,1］上，其解析式为/?。)=在

，若函数/(x)是定义在

0,x=0,1或［0刀上的无理数.

R上的奇函数，且对任意的工,都有/'(2+x)+/(2-x)=0,当无€[0,1]时,f(x)=R(x),则/(2022)+

,,2023、,,,2024、

/(—)+/(—)=

三、解答题(本大题共7小题，共82.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=x3+ax2+b在x=-2时取得极大值4.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)在区间［-3,1］上的最值.

18.(本小题12.0分)

已知向量沅=(cos%si?i%),n=(cosx,\T~3cosx｝,xwR,设函数f(x)=沅•五+,.

(1)求函数/(%)的单调递增区间；

(2)设a,b,c分别为△力BC的内角A,B,C的对边，若/(A)=2,b+c=2V~2,△力BC的面积为求a的

值.

19.(本小题12.0分)

已知数列｛a“｝的前n项和为Sn,且满足%=2an-2(n€N*).

(1)证明：数列｛an｝是等比数列；

(2)记%=log2%i，数列｛金—)的前71项和为〃，求证：Tn>\.

Dnun+1乙

20.(本小题12.0分)

如图，扇形AOB的半径为2,圆心角4aOB=120。〃。_L平面20B,P。=门，点C为弧Q上一点，点M在

线段PB上，BM=2MP,且24〃平面MOC,4B与OC相交于点N.

(1)求证：平面MOC_L平面尸。8；

(2)求平面PtM与平面MOC所成二面角的正弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=等+卜的极大值为手，其中e=2.71828...为自然对数的底数.

(1)求实数k的值；

(2)若函数g(x)=/一?对任意％6(0,+8),g(x)2af(x)恒成立.求实数a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合.曲线C的极坐标方程是1+

2sin20=黄，直线/的极坐标方程是pcos(。-令一。=0.

(1)求曲线C和直线，的直角坐标方程；

(2)设点P(2,0),直线］与曲线C相交于点M、N,求赢+高的值.

23.(本小题12.0分)

设函数f(x)=\2x+1|-|x-4|.

(1)解不等式/(x)>0；

(2)若f(x)4-3|x-4|>|m-2|对一切实数x均成立，求m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：z=sing—icosg=,——i,

6622

则复数Z的虚部为

故选：B.

化简复数z,即可得复数z的虚部.

本题主要考查虚部的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查Nen图，以及集合的运算，属于基础题.

根据集合4={xeN|x<4}={0,1,2,3},而图中阴影部分为"(ACB),即可解.

【解答】

解：根据集合4={x€N|x<4},

则集合4={0,1,2,3},

则4nB={3},

而图中阴影部分为服(408)={0,1,2},

故选：B.

3.【答案】B

【解析】解：由m、n是平面a内的两条直线，11a=直线I，m且11n,反之不成立，因为力与n不一定垂

直.

"直线/JLm且，_Ln”是“，_La”的必要不充分条件.

故选：B.

根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论.

本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由条状图易知：对于①，平均每年减贫人数超过1300万；

对于②，每年减贫人数均保持在1100万以上：

对于③，打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年递减的规律；

故①②③正确,

对于④，中位数应为1289(万)，故④错误，

故选：C.

直接利用条状图，条状图的规律，中位数的应用判断①②③④的结论.

本题考查的知识要点：条状图，条状图的规律，中位数，主要考查学生的视图能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由于数列｛an｝是等差数列,

所以由+a6=a3+a4=7.

故选：D.

根据等差数列的性质求得正确答案.

本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了概率问题的求解，主要考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握概率的计算公式，属于基础

题.

设事件4=”第1次抽到代数题”，事件B="第2次抽到几何题”，先分别求出P(4),P(AB)的概率，然后

利用概率计算公式求解即可.

【解答】

解：设事件4="第1次抽到代数题”，事件8="第2次抽到几何题”，

所以PQ4)=|,PQ4B)=2，

3

则P(B|4)=鬻=g=4

故选：C.

7.【答案】A

【解析】解：:函数y=ax-仇》在(2,+8)内单调递增，当1>2时，y'=Q-：NO恒成立，

即a>a>|,

x2

即a的取值范围为弓,+8),

故选：A.

求出函数的导数，利用导函数的符号，结合单调区间，求解即可.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，因为〃%)=舞骋的定义域为{x|x#O},

则/(-X)=蟹母=/。)，所以"X)为偶函数，

所以排除C、D；

xx

当x6(0,1)时，log0,s\x\>0,2+2->0,

所以“幻=黯?>0,排除人

故选：B.

根据题意，先分析函数的奇偶性，排除C、D,再分析函数的值域，排除4,即可得出答案.

本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值的判断，属于基础题.

9.【答案】D

4

=-

【解析】解：因为sin(a+?)—cosa=1s讥a+gcosa-cosa=-gcosa=/，即sin(a5

所以cos(a+1)=cos[(a一弓)+刍=-sin(a-^)=-1.

故选：D.

根据三角恒等变换得到sin(a-3)=I，再利用诱导公式求出答案.

本题考查了两角和差的正弦公式，诱导公式，考查了计算能力，是基础题.

10.【答案】B

【解析】解：在AABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AC-AB-cosA,

即3=4+叔-2x2x48x5

解得：AB=1,

所以SMBC=\-AB-AC-sinA=gxlx2x?=?・

故选：B.

在△ABC中由余弦定理可求得4B的值，再结合三角形面积公式可求得结果.

本题考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】解：由函数/(%)=2sin(a)x+@)的部分图象知,

5=居-(-.)=9所以T=冗,o)=尊=2,所以①正确；

又2x(—考)+0=2/CTT,kGZ,解得“=奈+2/£兀，keZ,

又|如<兀，所以9屋，②错误；

由函数/(x)=2sin(2x+1,

若%+%2=*则殁合屋，

由直线x=建函数〃x)的对称轴，

所以/(%)=1。2)，③正确，④错误.

故选：C.

由函数/(X)的部分图象求出7、3和8的值，写出函数f(x)的解析式，再判断题目中的命题是否正确.

本题考查了三角函数的图象与性质，也考查了推理与判断能力，是基础题.

12.【答案】D

【解析】解:很明显函数y=袈;,y=-x3+12x都是奇函数,故题中所给的函数/(x)和g(x)都关于点(0,1)

对称，且x=0时，函数f(x)没有定义，

考查当x>0时两函数的性质：

由于/(©=卷摆+1=关综=仔力故函数人无)在区间(°，+8)上单调递减；

g'(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2),

故当0<x<2时，g'[x)>0,g(x)单调递增，当*>2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

故函数f(x)与函数g(x)在区间(0,+8)上有两个交点，

由对称性可知，f(x)与函数g(x)在区间(-8,0)上也有两个交点，

且四个交点的横坐标之和为0,纵坐标之和为4,

即(%+x2+,,,+xk)+(乃+y2+…+%)的值为4.

故选：D.

由题意首先确定函数的对称中心，然后确定函数交点的个数，据此即可求得所给代数式的值.

本题主要考查函数的对称性，函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13.【答案】10

所以/(4+x)=fQ),所以/Xx)的周期为4,

因为/(2+x)+/(2-x)=0,所以令久=0,可得f(2)=0,所以“2022)=/(2)=0,

因为/(等)=/(-1)=-/(1)=-1,f管)=6)=1,

所以/(2022)+/(等)+/(*)=一+

故答案为：-4.

根据奇偶性及/(2+x)+/(2-£)=0得到/(x)的周期为4,根据周期性及所给函数解析式计算可得.

本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：⑴((x)=3/+2ax,由题意得/二鼻=3：2~1aI)，解得a=3,b=0,

7(f(一2)=-8+4a+b=4

此时/(x)=x3+3x2,fr(x)=3x2+6x=3x(x+2),

当无e(—8,—2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-8,-2)单调递增,

当尤6(—2,0)时,f'(x)<0,所以f(x)在(—2,0)单调递减，

当x6(0,+8)时,f(x)>0,所以/(x)在(0,+8)单调递增，

所以/(X)在x=-2时取得极大值.

所以a=3,b=0.

(2)由(1)可知，/'(X)在［—3,-2)单调递增，在(—2,0)单调递减，在(0,1］单调递增.

又因为/(一3)=0,/(-2)=4,/(0)=0,/(I)=4,

所以函数/'(x)在区间［一3,1］上的最大值为4,最小值为0.

【解析】(1)先求导，根据匕；(二9二:，解方程组求出a，b的值；

(2)根据函数/(%)在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.

本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1),・,记=(cosx,sinx),n=(cosx,y/~3cosx^

・••/(%)=m•n4-1=cos2%+yT^sinxcosx+1

l+cos2x>/~3.11,y/~3.】

=——-------F—sin2nx+-=-cosn2x+—stn2nx+1

=sin(2x+*)+1,

令2kH—<2%4-<2kn+kEZf

解得kjr—<x<kn+£,kEZ,

3o

•••/(乃的单调递增区间是生兀-l，kn+^,k€Z；

(2)由(1)知：/(%)=sin(2x+看)+1,

,•"(4)=2,

sin(24+?)+l=2,

O

即sin(24+[)=1,

•・•0<4<7T,

・•・0<2/1<2TT,

・・・△/BC的面积为

1.•41.1

**•7TucsvnA.=~be=

242

解得be=2,

•・•匕+c=27-2,

・•・由余弦定理得标=ft24-c2-2bccosA=(b+c)2—2bc—2bccosA=4-2A/-3»

va>0,

・•・a=J4-2A/~^=V-3—1»

综上所述，a=3—1.

【解析】(1)根据向量数量积公式及三角恒等变换得到f(x)=Sin(2x+3)+1,从而利用整体法求出函数单

调递增区间；

(2)在(1)基础上，求出4=看结合三角形面积公式求出几=2,进而由余弦定理求出答案.

本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理的应用，属中档题.

19.【答案】证明：(1)依题意方=2与一2,

当九>2时，Sn_i=2an_1-2,

两式相减，得an—2an-20nt，即=2an_1(n>2),

当九=1时，有Si=2%-2,解得%=2,

所以数列｛an｝是以2为首项，2为公比的等比数列；

n

(2)由(1)可知Qn=2,所以与=log2an=n,

1111

nhlill---------------------=-----------.

n(n+l)nn+1

所以〃=(1"4)+&-4)+d)+…+(；-缶)=1-京，

由n+1N2,则0<=7^4,

n+l2

所以1二Z/，

n+l2

故”4

【解析】(1)根据Sn和册的关系推导可得a4=2即-1即可证明；

(2)易得当=兀，再裂项相消求和即可.

本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题.

20.【答案】解:⑴证明：•••P4〃平面MOC,P4在平面P4B内，平面P4Bn彳

平面MOC=MN,

PA//MN,/：1zj\

vBM=2MP,/：y

—/甯…力6

在AAOB中，由余弦定理有，AB=田/'/，

VOA2+OB2-2OA-0B-co$120°=J4+4-2x2x2x(一、=、'U/

2^3,

2.n4/3X’

:.BN=—AB="--»

又在AOBN中,Z.OBN=30°,由余弦定理有，ON=7OB2+BN?-20B•BN•cos30°=

J4+y-2x2x—x—=-)

OB2+ON2=BN2,故OB1ON,

又P。_L平面力BC,ON在平面ABC内,

PO1ON,

又POCOB=0,且PO,OB都在平面POB内,

•••ON，平面POB,

又ON在平面MOC内，

•••平面MOC_L平面POB；

(2)以点。为坐标原点，OC,OB,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),「(0,0,4),8(0,2,0),4(二,一1,0),加(0,|,亨)，

则加=(0,0,口)，次=(AT3,-1,0).OM=(0,亨)，而=(亨,0,0)，

设平面PO4的一个法向量为记=(x,y,z),贝,竺="?z二°,可取沅=(i,q,o)；

(m-0i4=V3%-y=0

(n-OM==0

设平面MOC的一个法向量为元=(a,b,c),贝*I3，可取元=(0,—门,1),

(记•而=答。=0

.，一一、।|沆同<15sTTO

・••尔<如71>|=丽=疗%=.

・•・平面P04与平面MOC所成二面角的正弦值为华.

4

【解析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度，进而得到。8,ON,又P。1ON,由此得到ON1平

面POB,再利用面面垂直的判定得证;

(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式得解.

本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角的余弦值，同时也涉及了余弦定理的应用，考查逻辑推

理能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)/(x)=三#，%>0,

当久6(0,e)时，f(x)>0,f(x)递增;

当xG(e,+8)时，/(%)<0,f(x)递减；

所以/"(X)的极大值为/(e)=：+k=：+1,故k=1；

(2)根据题意,任意x6(0,+8),g(x)>af(x),

即e*—->@竺+a,化简得xe*—alnx-ax-a>0,

XX

令九(％)=xex—alnx—ax—a,%>0,

/i(x)=elnxex-alnx—ax—a=elnx+x—a(lnx+x)-Q,

令济x+%=3tER,

设H(t)=e，—at—Q,H'(t)=e*—Q,

只需H(t)N0,t6/?,

当QV0时，当t<0时，H(t)<1—at—a,

所以-l)<l-a(i-l)-a=0,不成立；

当a=0时，H(t)NO显然成立；

当a>0时，由H'(t)=e±-a,

当tw(—8」na),H(t)递减,te(lnat+oo),H(t)递增,

H(t)的最小值为H(!na)=a—alna—a=—alna,

由H(mQ)=—alna>0,得0VQW1,

综上0<a<1,

所以实数a的取值范围是

【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值以及函数的恒成立问题，属于拔高题.

(1)根据函数/(X)=9+k的极大值为管，利用极值的定义求解；

(2)将对任意％E(0,+8),g(x)之af(x)恒成立，转化为对任意x€(0,+8),-。伍%-a%-aN0恒成

立求解.

22.【答案】解：(1)线C的极坐标方程是l+2sin2”微，整理