2024年高考数学复习：10 导数压轴大题归类：不等式证明归类二（解析版）

10导数压轴大题归类：不等式证明归类(2)

目录

【题型一】不等式证明6：凸凹翻转型.......................................................1

【题型二】不等式证明7：三角函数与导数型.................................................4

【题型三】不等式证明8：极值点偏移(不含参)............................................6

【题型四】不等式证明9：极值点偏移(含参)..............................................9

【题型五】不等式证明10：三个“极值点”(零点)型........................................12

【题型六】不等式证明11：比值代换(整体代换等)型......................................15

【题型七】不等式证明11：非对称型(零点值xl与x2系数不一致)..........................18

【题型八】不等式证明12：韦达定理型.....................................................21

【题型九】不等式证明13：利用第一问构造(包括泰勒展开)................................23

【题型十】不等式证明14：含ex和Inx型...................................................26

【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明型..............................................28

【题型十二】不等式证明16：切线放缩证明“两根差”型....................................31

【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明..............................................34

【题型十四】综合证明：xl与x2综合......................................................37

【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型

【典例分析】

已知/(x)=xlnx,+ax-3.

(1)求函数的单调区间；

(2)对一切x«0,yo),2〃x)2g(x)恒成立,求实数a的取值范围；

12

(3)证明：对一切xe(0,+<»),都有In尤〉二一一成立.

''exex

【答案】(1)函数”X)在上单调递减，在B，+J上单调递增(2)(-双4](3)证

明见解析

【分析】

(1)求出/a)的导函数，令导函数小于0,可求得函数单调递减区间，导函数大于0,可

求得函数单调递增区间；

(2)把/(x)与g(尤)解析式代入已知不等式，整理后设g)=21nx+x+2(x>0),求出，(x)的

x

导函数，根据导函数的正负判断单调性，进而求出版X)的最小值，即可确定”的范围；

Y2

(3)所证不等式两边乘以心左边为了。)，右边设为双x)=W-三(xe(0,+8)),求出左边的

ee

最小值及右边的最大值，比较即可得证.

(1)

解:因为/(%)=xln%,所以/V)=lnx+l(x>0),

当f(x)<0,当x£(g,+oo],f\x)>0,

所以函数/(X)在上单调递减，在1%+8)上单调递增；

(2)

a

解：原不等式等价于2h皿...-/+ax-3,即④21nx+x+-对一切xe(0,+oo)恒成立，

设〃(%)=21nx+x+—(x>0),贝U//(%)=+_12,

xx

当工£(0,1)时，h\x)<0,为(九)单调递减，当%£(L+8)时，hr(x)>0,力。)单调递增，

所以④,(%)欣〃="(1)=4,

所以实数”的取值范围为(-双4]；

丫2

(3)证明：原问题等价于证明％lm>=——(%£(0,+^)),

ee

由(1)可知f(%)=Hm*£(。，+°°))的最小值是一L当且仅当九二1时取到，

ee

x21—x

设m(x)=—一一(％£(0,+co)),则mr(x)=——,

exee

当X£(O,1)时，加(%)>0,皿%)单调递增，当无£(1,+00)时，加(%)<0,小(x)单调递减,

所以相(尤)小=m(l)当且仅当％=1时取到，

e

19

所以对一切%£(0,+°0),都有Inx〉-7-二成立.

eex

【提分秘籍】

基本规律

类型特征：

(1)特殊技巧；

(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法

【变式演练】

1.已知〃x)=xlnx.

(1)求函数〃x)的极值；

%+,11--

(2)证明：对一切xe(O,e)，都有足尤上成立.

x+i--ex

xee

【答案】(1)极小值为二，无极大值(2)证明见解析

e

【分析】

(1)求导，令/(x)=0,解得x=(,分另I」讨论和+时，/(X)的正负，可得f(x)

X+]—

的单调区间，即可得答案.(2)问题等价于证明Hn%>e_2,xe(0,+oo).设

x+i--e

ee

%+]--

g^=______e_2,利用导数求得g(x)的单调区间和极值，分析即可得答案.

X+1--e

e

解(1)由/(x)=xlnx,x>0,得/(x)=lnx+l,令/(%)=0,得

当元曰时，/(x)<0,/)单调递减；

当x/L+co]时，f(x)>0,兀0单调递增.

所以人劝的极小值为无极大值.

1I

X+1n(1

(2)证明：问题等价于证明Wnx2_____e_2,xe(0,+oo).由(1)可知/(工焉=/一

-e

x+i-le<

ee

x£(0,+oo),

111/、

x+1—o—x(1A

设g(%)=_____^二，贝ljg，(x)=«---，当问0,一时，g'(x)〉0,g(x)单调递增；

'x+1--ex+i--\e7

eeee

当无eg,+，|时，g'(x)<0,g(x)单调递减.易知g(x)2=ggj=-］当且仅当x=(时

取到.

,1

元+191

从而对一切x£(0,+oo),xinx>_____—4成立，当且仅当％=—时等号成立.

-

x+i-lee

ee

11

%+1--

即对一切xe(0,+oo),都有inx2-----成立.

x+i」ex

xee

2.已知函数f(%)=lnx-%.

(1)讨论函数g(x)=f(.x)--(a^0,aeR)的单调性；

(2)证明：|/(x)|>^+1.

【答案】(1)答案见解析.(2)证明见解析

【分析】(1)g'(x)=X+^+a,令m(x)=_》2+无+a=_[x_g)+。+；,分别讨论a=C-；,

-1<a<0,a>0,解不等式机(x)>0或m(x)<0即可得单调增区间和减区间，进而可得单

调性.

(2)设g(x)=¥+g分别求/‘(X),g'(x)利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求

出g(x)a<V(X)L即可求证・

解(1)因为/(%)=ln%—x,所以@(%)=/(%)-@=山工-％-色，x>0,

Xx

2

/(x)=g_l+?=—X+%+。

2

+6Z+—,当aW-L时,

令m(x)=-x2+x+a=-X-1g'(x)W0恒成立，此时g(x)在(0,+8)

44

上单调递减，

|+〃+工>0可得:1-Jl+4a1+J1+44

当-时，解不等式一---------<x<---------,

匕匚I、［/、入(八1-Jl+4a1—Jl+4a1+Jl+4a

所以g(x)在0,---------上单调递减,在上单调递增，在

2

72}

1+Jl+4〃

I2,+00上单调递减,

7

’11-Jl+4〃_1+J1+4”

当。>0时，解不等式+a4—>0可得:---------<0<x<----------

422

LLrtzXC1+Jl+4a1+Jl+4a、

所以g(x)在0,---------上单调递增，在,+8上单调递减,

2

I)7

综上所述：当aW-；时，g(x)在(0,+e)上单调递减，

当-J_<a<0时，g(x)在(0,三学和(1+上单调递减，

4I2JI2J

1—\/1+4〃1+J1+4〃］L,品、由、油4•吊

在——-——,——-——上单倜递增，

I22)

当。>0时，g(x)在0,1±2乎近上单调递增，在l+V^,+8上单调递减,

I1—x

(2)由/'(x)=lnx—x可得:(尤)=L-1=—,由TOO可得0<x<l,由/(无)<0可得

XX

X>1,

所以〃尤)在(0,1)上单调递增,在(1收)上单调递减，

所以/(初山=〃1)=1皿-1=-1,所以|/(尤晨=1,设g(x)=F+g,贝U

由/(%)>。即1—lnx>0可得0<x<e；由g'(x)<0即1—ln%<0可得%>e,

所以g(x)=?+；在(0,e)上单调递增，在(e,+a))上单调递减，所以

g(x)=^(e)=+-=-+—<1,

v7maxv7e2e2

所以g("max所以|/W|>F+1对任意的(。，+s)恒成立•

【题型二】不等式证明7：三角函数与导数不等式

【典例分析】

已知函数〃x)=e*-av-cosx,g(x)=/(x)-x,aeR.

(1)若在［0,+功上单调递增,求a的最大值；

(2)当a取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在衣上的零点个数，并证明g(x)>一夜.

【答案】(1)1;(2)2个，证明见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，转化为导函数，(尤)=e，-a+sinx2。在［0,+◎上恒成立，再

求导求其最小值即可；(2)利用导数分析函数在X40,尤>0上的单调性，根据两点的存在性

定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证.

解(1)由题意可知，/'(x)=e*-a+sinxW。在［0,+oo)上恒成立，

因为/'"(x)=ex+cosx>l+cosx>0,所以/1(x)单调递增,

所以尸(0)=1-此0,解得这1,所以。的最大值为1.

(2)

易知a=l,所以g(x)=e*—2x-cosx,

当立0时，g，(x)=e*-2+sinxW-l+sinx40,所以g(x)单调递减，

当x>0时，g'(无)=e*-2+sin无，则g"(x)=e*+cosxN1+cos尤20,所以g'(x)单调递增,

因为g'(0)=T<0,g'(l)=e-2+sinl>0,所以存在尤。e(0,1),使得g'(x°)=0,

g(x)在(-℃,%)上单调递减，在(%,+<»)上单调递增，

又g(0)=0,所以g(x0)<。，

因为g(2)=e?-4-cos2>0,所以存在&e(%,2),使得g(xJ=0,

所以g(x)有两个零点，又因为e*。-2+sinx。=0,

所以g(x)min=g(Xo)=*-2Xo-COSXo=2-2Xo-SinXo-COSXo，因为不<1,

所以gQo)>-sin无o-cos无0=-A/^sin(无o+?)N-0,故g(x)>-0成立.

【提分秘籍】

基本规律

1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

【变式演练】

1.设函数〃x)=xln(l—x).

(1)求y=/(x)的极值点；

(2)设函数/("=京+：-$也彳.证明：F(X)<2.

【答案】(1)x=0；(2)证明过程见解析.

【分析】(1)利用二次求导法，结合函数极值的定义进行求解即可；

(2)利用构造函数法，结合导数的性质分类讨论进行证明即可.

解⑴函数y=〃x)的定义域为:

由/(x)=xln(1-x)n/(x)=ln(l-,设g(x)=ln(l-x)-ng'(x)=，

因为xe(-oo,l),所以g'(x)<0,g(x)是单调递减函数，

因此当l>x>0时，g(x)<g(0)=0=>/'(%)<0,/(x)单调递减，

当x<0时，g(x)>g(0)=0nf\x)>0,/(%)单调递增，

因此当x=。时，函数y=/(x)有极大值，极大值为"0)=0；

X111

(2)函数/((=»1+--sinx的定义域为:(_*0)J(0,l),gpF(x)=­—-+—sinx,

f[x)xIn(l-x)X

要想证明/(x)<2,只需证明+：<2+sinx,

ln(l-X)x

构造函数—：+__]J+ma」),由(1)可知当xe(—8,l)时，函数

ln(l-x)xxln(l-x)

y=/(力的极大值为/(o)=o,

即〃%)=%皿1一x)W0,当了£(-8,0)(0,1)时，xln(l-x)<0,

t(x)=x+ln(l-x)-xln(l-x),XG(-(X),1),/(x)=-ln(l-x),

当1>%>0时，/(x)>0,t(x)单调递增,即有t(x)>t(0)=0,

因此此时有人(x)<0成立，

当％<0时，i(x)<0/(%)单调递减，即有t(x)>t(0)=0,

因此此时有。(%)<0成立，

所以当(—8,0)(0,1)时，/?(%)=-/+--1<0,即/?(%)=」/

ln(l-X)xln(l-x)x

设机(%)=2+sinx,当(-oo,0)(0,1)时，显然有—iWsinxWl,

因止匕有lW2+sinxV3,即血而7z(%)vl,

所以当(-8,0)(01)时，不等式丁」［+,<2+sinx成立，即尸(力<2成立.

ln(l-X)x

2.已知函数/(x)=lnx,g(x)=er-e^

⑴若*g(x)</(a)成立,求实数”的取值范围；

(2)证明：/7(月=/。)+$皿,工有且只有一个零点%,且g卜in$］<|'.

【答案】(1)«>1(2)证明见解析.

【分析】

(1)把已知条件转化成大于g(x)在［0』上的最小值即可解决；

(2)先求导函数，判断出函数的单调区间，图像走势，再判断函数零点，隐零点问题重在

转化.

解(1)由g(x)=e，—/得g'(x)=eX+eT>0,则g(x)在［0(上单调递增,g(x)在［0,1］上

最小值为g(0)=e°—e°=0

若玉目0,1］,g(x)</(a)成立,则必有〃叫>0由〃a)=lna>0,得0>1故实数。的取值

范围为〃〉1

(2)/(x)=lnx,在(e,+8)上单调递增，且人元)>1恒成立，y=sin(兀最小正周期

T--4en

冗，在(e,+8)上最小值为-1由此可知〃(x)=/(尤)+sin歹X在(e,+co)恒为正值，没

2ee

有零点.

下面看M尤)=/(x)+sin*x在(0,e]上的零点情况〃(x)=lnx+sinfx,xe(0,e],则

兀/r\兀

——XG(0,—

2e2_

/?(%)=—+—cos=％>0即/z(%)=In冗+sinC%在(0,e]单调递增,

x2e2e2e

/z(1)=In1+sin^-=sin>0,

i1711.7t1.万八

=In—j=+sin---T==---1-sin---产<---1-sin—<0

Ve2e\/e22eve26

故//(x)=In%+sin/尤在(0,e]上有唯一零点.综上可知，g)=/(%)+sin(兀在(0,+oo)上有

且只有一个零点.

令In/+sin二/=0,则sin—x0=-lnx0o

2e22e

(兀Xc、sin2e2e,]

gsin-=e-e-e^=—-x0

k2e；x0

令"(%)=,一羽x£([,l),贝ij〃(x)=--?--l<0o即〃。)=」一％在(±1)上单调递减，

x2xxe

心)=——x<n(-)=2--=-

x222

故有g(sin皆

【题型三】不等式证明8：极值点偏移之不含参型

【典例分析】

.已知函数〃x)=xlnx.

(1)求曲线y=/(x)在点。了⑴)处的切线方程；

(2)设再，9为两个不相等的正数，且/&)=/(%),证明：-<x}+x2<1.

【答案】(1)X—y—1=0；(2)证明见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义即可求；

(2)①对不等式右侧可以采用切线放缩来进行证明；②不等式左侧变形转化为证明

解(1)切点为(1,0)，/'(x)=lnx+l,左="1)=1,切线方程为y=x-l,即x一厂1=0；

(2)/'(x)=lnx+l,令f(x)=0=>x=J,且当0<x<1时，/(%)<0,〃x)单调递减;

当尤>：时，/''(“>。，/'(X)单调递增.：/&)=/(&)，不妨设西<三，,。<玉<〉<龙2<1，

对不等式右侧可以采用切线放缩来进行证明.

注意到玉In%=々In/>%2，而不In再<一玉=>一玉>%xx+x2<l.

22121

再证左边：要证：玉+工2>—，只需证明：%>——*•*0<——玉>一.

eeeee

又•••马>」,当时，/(x)单调递增，故只需证明一看］.

eeveJ

=—玉］，构造函数尸(x)=/(x)—/R-x］,工403，

F(x)=xlnx-^—

Fr(x)=lnx+l+ln--x\+l=]n+2<ln4+2=0

e

—X)在(o,£|上单调递减，尸⑺>U=0,

F(A-1)>0^>/(X1)=/(X2)>/|--Xj|^>x2>--Xj,：.-<x1+x2<l.

<eJee

【提分秘籍】

基本规律

1.求出函数/(X)的极值点X。；

2.构造一元差函数/(X)=/(/+x)—/(%—x)；

3.确定函数B(x)的单调性；

4.结合口(0)=°,判断/(幻的符号，从而确定"/+x)、"%—©的大小关系

【变式演练】

1.已知函数/(%)=e"+COSX—a(QGR).

(1)当。=1时，判断“%)在区间(0,+8)上的单调性;

(2)当a=e时，若石e(0,万)(百彳%)，/(石)=/(々)，且,⑴的极值在了=%处取得，证

明：xt+x2<2x0.

【答案】(1)/(x)在(0,+到上是增函数.(2)证明见解析.

【分析】(1)求出导函数/(X),设g(x)=/'(无)，再求导g'(x),由g'(x)>0恒成立得，(x)

单调递增，得/(无)>/'(。)=。，从而得〃x)的单调性;

(2)利用导数得出了。)的极小值点看,注意((尤。)=。，题设中/(占)=/(%),满足

0<x1<x0<x2<7T,考虑到2%-X1>尤0,引入新函数力(x)=/(x)-/(2%-x),0<x<x0,

利用导数确定力(X)是单调增函数，得以功<以％)=0,即得〃占)<定(2尤。一再),再利用占三

的关系，及函数的单调性可证得结论成立.

解(1)xe(0,+oo),a=l时，/(%)=e'+cosx-x,/\x)=e'-sinx-1,

设g(x)=e*-sinx-I,则g'(x)=e*+cosx>0,尤>0时，g'(x)>0恒成立，

所以g(x),即/(x)在(0,+电)上单调递增,又((0)=0,所以x>0时，((0)>0恒成立，

所以f(x)在(0,+co)上是增函数.

(2)a=e,f(x)=e%+cosx-ex,f'(x)=eT-sinx-e,由(1)知/''(x)在(0,+℃)上是增

函数，

/,(l)=-sinl<0,-O)=e"-e>0,所以/''(x)在(L兀)，即在(0,万)上存在唯一零点吃,

f'(.x0)=e&—sinx0-e=0,

0<了<尤0时，f\x)<0,/(尤)递减，Xo<x<"时，f\x)>0,/(x)递增.

%是函数/(x)的唯一极小值点.若%,马€(0,万)(外H%)，/(石)=/(马)，贝I]

0<<XQ<x2<7Tf

h(x)=f(x)-f(2xQ-x),0<x<x0,

x2xx

h(x)—f(x)—f(2x0—x)=e+cosx—ex—e0~—cos(2x0—x)—e(2x0—x)

x2x-x

=e—e°+cosx—cos(x-2x0)—2ex0,

r2xx

h(x)=e*+e°~—sinx+sin(x—2x0)

A

>2je".e2L-sinx+sin(冗-2x0)=2e%—sinx+sin(x-2x0)

由/'(%o)=e殉-sinx0-e=0得e*=sinx0+e,所以/(%)>2e+2sinx0-sinx+sin(x-2x0),

由0<%<工0<»,得Ovsin/Kl,0<sinx<l,又TWsin(x—2xo)(1,

所以hf(x)>2e+0-l+(-l)>0,所以h(x)是增函数,

当。<玉<%o时，h(xl)<h(x0)=0,

所以/(%)—/(2/一玉)<。，/(x1)</(2x0-x1),又于(x"f(x”fQxo-xJ,

。<玉</<%2，所以2%0-%>%0，又％2>/，/(%)在(%,+8)上单调递增，

所以％2<2%—%，所以为+%2<2%O.

2.已知函数"x)=lnx-g依2+1.(1)讨论函数的单调性；

(2)当。=1时，设函数的两个零点为七，马,试证明：xx+x2>2.

【答案】(1)当时，/(x)在(0,+e)上单调递增；当。>0时，/(x)在，上单调

递增，在(逅,+s]上单调递减；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出导函数尸(无)无，讨论。的取值范围，利用导数与函数单调性之间的

X

关系即可求解.

(2)利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设xax2,

则有0<%<1<9，构造函数"x)=〃x)—/(2—x),xe(0,l),利用导数判断出函数单调递

增，从而可得〃不)<〃2-玉)，再由〃玉)=/仁)=。即可求解.

解：(1)易得函数的定义域为(。,+s).对函数求导得：f\x)=--ax.

X

当时，/(%)>0恒成立，即可知/(%)在(。,+e)上单调递增；

当〃>0时，当——时，/((%)>0,当xe,+00时，/,(x)<0.

Ia)

7

故f(x)在|0,上单调递增，在,+QO上单调递减.

\7\7

11I—丫2

(2)当4=1时，f(x)=\nx—x2+l,尸(x)=L-x=匕匚，此时“X)在(0,1)上单调递

2xx

增，在(1，+8)上单调递减.

极大值=〃1)=3>°，又/<0,/(e)<0,不妨设&<三,则有。<不<1<三,

令尸(x)=y(x)-/(2-x),xe(o,l),

1-x2l-(2-x)\2(1-X)2

F(x)=/'(x)+—)=

x2—xx(2-尤)

当xe(O,l)时,F(x)>0,尸(x)单调递增,^£(0,1),.'.F(^)=/(A1)-/(2-X1)<F(1)=0,

又Q/(%)=/(w)=O,.•"(w)</(2f),

■.1x2>1,2->1,在(l,+8)上单调递减，，％>2-项，即为+3>2.

【题型四】不等式证明9：极值点偏移之含参型

【典例分析】

1

已知函数〃x)=—+—Inx-l(meR)的两个零点为冷羽(不<乐).(1)求实数m的取

值范围，”

4112

(3)求证：一+—>—.

玉/e

【答案】(I)[o,掾](2)见解析

【详解】(i)y(x)=—彳+工=土孚，当加(0时，/'(力>0,

x2x2x

/(%)在(0,收)上单调递增，不可能有两个零点；

当相>0时，由/'(尤)>0可解得尤>2w，由/'(尤)<0可解得0<%<2m，

所以/(%)在(0,2m)上单调递减，在(2加,转)上单调递增，所以

2m+ln2mL

/Wmin=/()=^1-

要使得〃尤)在(0,+8)上有两个零点，则g+gln2m—1<0,解得0<m，

则m的取值范围为

(2)令/=工，则/(x)=加工-gln

=,由题意知方程

xx2

皿-匕皿-1=0有两个根,

2

即方程加=蚂土2有两个根，不妨设％=工，h=-1令/?(>)=则±2,

2t%%2t

则当卜寸，力⑺单调递增，卜寸，丸⑺单调递减，综上可知,

八〉一〉,2>0，

112221(2

要证---1--->—,即证％，即％〉----即证(

+L>—Z2>—,/Z/J</Z-----t2

xix2eeeeIe

(P⑺=/z(x)+/z

故原不等式成立.

【提分秘籍】

基本规律

1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;

2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

【变式演练】

1..已知函数/(x)=lnx.

(1)设函数g(x)=；-lnMfeR),且g(x)4〃”恒成立，求实数，的取值范围；

1o

(2)求证：/(x)>4--；

eex

(3)设函数y=/(x)-依-'(acR)的两个零点尤i、马,求证：再%>2/.

,2

【答案】(1)t<—(2)证明见解析(3)证明见解析

e

【分析】(1)利用变量分离法得出Y2xlnx,利用导数求出函数/<x)=2xlnx的最小值,

即可得出实数/的取值范围；

x2

(2)证明出xlnx>土-*,即可证得结论成立；

(3)分析可得In(须々)-I%+%)=迤,证得土土三In三>2,利用基本不等式可

玉％2々一玉玉/一玉再

得出In/高-薪丁>1,构造函数Q(x)=lnx-彳，分析看可知函数0(x)在(0,+功上为增

函数，分析得出9(斥)>0(、&),结合函数0(x)的单调性可证得结论成立.

解：(1)由g(x)4/(x)可得上-卜天4Inx,可得Y2xlnx,令=2xlnx,其中x>0,

X

贝i"/(x)=2(l+lnx),

当0<x<』时，//(x)<0,此时函数〃(x)单调递减，当时，//(x)>0,此时函数〃(%)

单调递增，

所以，MM1nm=(：)=~|，所以，芯-1；

(2)解：要证f(x)>—---,即证xlnX>——,由(1)可知，xlnx>—,当且仅当x=—

eexeeee

时，等号成立，令机(x)=W-2,其中x>o,贝IJN(X)=L^,当Ovxvl时，m(%)>0,

eee

此时函数加(%)单调递增，

当x>l时，m(A:)<0,此时函数机(%)单调递减，所以，m(x)max=m(l)=—,

因为jdnx之一,和相(％)V取等的条件不同，故xlnx>W—2,即〃X)>二一2；

eeeeeex

11

(3)解：由题知In%—-=咐①，lnx2---=%②，①+②得

国X2

X,+x

In（玉马）-2=。(占+9)③,

再入2

X(龙2-玉)④.③+④得心(内尤2)—"'+')='+x；ln卫,

②-①得In।2—不—a

百毛XrX2%2一再再

不妨设。<玉〈尤2,记/=上>1.令*f)=ln"丑二则

玉t+1

/⑺=>4（I）一

>0,

（f+1厂

所以尸⑺在。，+8)上单调递增，所以尸⑺>/⑴=0,则lnr>^^,即In三>2（。一占）

r+1玉％+%

2(%+%)=%七三］n强>2.因为

所以足优马)-

%泡

也(*2)_2(%+/)<4

'一‘%超7^

2212

所以21nJ%%/>2,即MJ%%-I--->1.令0（x）=ln%一一,^（x）=-+—>0,贝（J

，百%2［玉X2XXX

°（%）在（0,+e）上单调递增.

r\1

—<1,所以In^^--^=>l>ln（>/2）2

又In（缶）--^=-ln2+l-e存即

'）yjle2Y人1人2

夕(瓜京)>°(缶)，所以占马

2.已知函数/(%)=卜一4一工+。,。£氏,(1)若/(I)=2,求。的值；

(2)若存在两个不相等的正实数玉,々，满足/(%)=〃/)，证明：

①2<%+/<2a；②生■<a?+1.

%

【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.

【分析】(1)代入/(1)=2即可求出a的值；(2)①分情况讨论，得到x<。时满足题意，

根据函数单调性，不妨设0VAi构造差函数，证明极值点偏移问题；②在第一

问的基础上进行放缩即可证明..

解(1)由=l+a=2,化简得：[1—4=3一即两边平方，解得：a=2.

(2)不妨令石<乙，

①当x>a时，"x)=x-a-L+a=x一!在(0,+e)上单调递增，故不能使得存在两个不相等

XX

的正实数七,三，满足/(占)=/(9),舍去；

当尤=。时，f(x)=a-L为定值，不合题意；

a

当尤<a时，/'(x)=2a-[x+：j,由对勾函数知识可知：当aW1时，/(x)=+在(0,a)

上单调递增，/(劝=尤-：在(。,y)上单调递增，两个分段函数在x=a处函数值相同，故函

数/(x)在(0,+8)上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数为多，满足了(再)=Ax?),

舍去；

当时，函数“X)在(0,1)上单调递增，在(1,。)上单调递减，在(。,+8)上单调递增，且

/(a)=2a-|«+即分段函数在x=a处函数值相等，要想存在两个不相等的正实

数占,三，满足/(%)=/(尤2),则不，三有三种类型，第一种：。<玉<1<无2<。，显然玉+工2<2。，

4A(x)=/(x)-/(2-x),则硝)=0,当xe(O,l)时，

1192

hf(x)=f(x]+f(2-x]=-2+—+------>-2+———->-2+----------=0/、

LL'V(2-x)2x(2-x)广+2-xj,即蛆)在

xw(O,l)单调递增,所以=BP/(x)</(2-x),由于所以

/(^)</(2-^),乂因为/(%)=/(9)，所以/(9)</(2-因为％>1,2-玉>1,而

在(L+CO)上单调递减，所以即％+々>2,综上：2<+%2<2a；第二种

情况：显然满足占+%>2,

接下来证明％+々<2a,令g(x)=/(%)—〃2。一力，则g(a)=0,当xe(l,a)时，

112

,,,

g(x)=/(.x)+/(2a-x)=-l+-7+l+-J=-7>0,即g(x)=/(x)-/(2a-x)^xe(l,a)

单调递增，所以g(x)=/(x)—/(2a—x)<g(a)=0,又所以石)</(2。一%)，

又f®)=f(xj,所以,因为%>“，2a-x,>a,在(a,+oo)上单调

递增，所以9<2。-玉，即%+无2<2a,综上：2<xx+x2<2a■第三种情况：。<尤]<1<a<W，

由第一种情况可知满足玉+%>2,由第二种情况可知：x,+x2<2a,则2<X]+X2<2a,

综上：2<^+x2<2a,证毕.

②由①可知：当0<x<尤2<°时,由/(网)=/(无2)得：2a—IH—|=2a—Ix2-i|,整理

得：即强=生<二<1+42；

玉x2%1+玉1+玉

1(C11

当。<F<Q<%2时，x2---=2a—玉H—,整理得：x+x=2a-\,整理得:

%(占J12%玉

个+修叽1+

——=—%2—%入2+2txX2+1=「+1+包2。)，因为0<玉<。，所

玉44

以Ji-24<1+/,综上：三</+i,证毕.

4%

【题型五】不等式证明10：三个“极值点(零点)”不等式

【典例分析】

已知函数/'(幻二分班+人在匕©处的切线方程为2x-y-e=0.

(1)求函数“X)的解析式；

(2)当0<相<：时，若函数G(x)=%等的3个极值点分别为再，%，尤3(%<Z<鼻),

2八%)

求证：0<2X1<X2<1<X3.

【答案】(1)〃x)=xlnx(