2023年中考数学《整式的运算与因式分解》知识回顾及练习题(含答案解析)

2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题(含

答案解析)

知识回顾

1.合并同类型：

法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2.整式的加减的实质：

合并同类项。

3.整式的乘除运算：

①单项式X单项式：系数相乘，同底数塞相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为

积的一个因式。

②单项式X多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式X多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单

项式。

④单项式+单项式：系数相除，同底数事相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的

一个因式。

⑤多项式+单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。

4.乘法公式：

①平方差公式：(a+bla-b)=a2-b2.

②完全平方公式：(a+b^=a2±2ab+b2.

5.因式分解的方法：

①提公因式法：a/n+Zwv+cvn=/77(a+Z?+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b2=(a+bXa-b)

完全平方公式：cr+2ab+b~=(a+/?)2o

③十字相乘法：在f+bx+c中，若。=，初?且，7?+”=。(机，〃均为整知，则：

x2+bx+c=(x+m\x+n)»

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专题练习

31.(2022•湖北)先化简，再求值：4xy-2xy-(-3盯)，其中元=2,y=-1.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x,y的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：^xy-2xy-(-3xy)

=4xy-2xy^-3xy

=5xy,

当x=2,y=-1时，原式=5><2X(-1)=-10.

32.(2022•盐城)先化简，再求值：(x+4)(x-4)+(x-3)2,其中--3x+l=0.

【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可.

【解答】解：原式=/-16+/-64+9

=2^-6x-7,

V?-3x+l=0,

Ax2-3x=-1,

-6x=-2,

・\原式=-2-7=-9.

33.(2022•长春)先化简，再求值：(2+a)(2-«)+a(a+1),其中&=拒-4.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把〃的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：(2+。)(2-a)+。(〃+1)

=4-J+J+q

=4+6?,

当。=亚-4时，原式=4+亚-4

=近.

34.(2022•北京)已知了+2%-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把/+2x=2代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：x(x+2)+(x+1)2

—X2+2X+X2+2X+1

=2xz+4x+l,

2

•・・/+2x-2=0,

AX2+2X=2,

・••当7+2X=2时，原式=2（?+2x）+1

=2X2+1

=4+1

=5.

35.（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x-y）+（xy2-2xy）其中x=l,y=.

【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将小），的值代入化简后

的式子计算即可.

【解答】解：（x+y）（x-y）+Cxy2,-2xy）-rx

=7-『+/-2y

=7-2y,

当x=Ly=["时，原式=»-2义工=0.

22

36.（2022•衡阳）先化简，再求值.

（。+6）（。-b）+b（2〃+匕）,其中a=1,b=-2.

【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把。=1,人=-2代入计算即可.

【解答】解：（〃+b）（〃-。）+b（2a+b）

=a2-序+2ab+序

=a2+2ab,

将〃=Lb=-2代入上式得：

原式=i+2Xl><（-2）

=1-4

=-3.

37.（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1-x）+x（x+2）,其中x=‘.

2

【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x=工代入计算即可.

2

【解答】解：（1+x）（1-x）+x（x+2）

=1-/+/+2¥

=1+2x,

3

当》=1时，原式=1+2X」=1+1=2.

22

38.(2022•南充)先化简，再求值：(x+2)(3x-2)-2JC(X+2),其中X=Q-1.

【分析】提取公因式x+2,再利用平方差公式计算，再代入计算.

【解答】解：原式=(x+2)(3JC-2-2X)

=(x+2)(x-2)

=/-4,

当-1时，

原式=(^3-1)2-4=-2M.

39.(2022•安顺)(1)计算：(-1)2+(n-3.14)°+2sin60°+|1-A/3|-V12.

(2)先化简，再求值：(x+3)2+(x+3)(x-3)-2x(x+1),其中x=‘.

2

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)(-1)2+(TT-3.14)°+2sin60°+|1-731--712

=1+1+2X号+y-1-2日

=2+a+a-1-2我

=1;

(2)(x+3)2+(x+3)(x-3)-2x(x+1)

=/+6x+9+/-9-2?-2x

=4xf

当*=工时，原式=4X^=2.

22

40.(2022•岳阳)已知J-2a+l=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值.

【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可.

【解答】解：a(a-4)+(67+1)(a-1)+1

-4a+a2-1+1

=2cr-4a

=2(a2-2a),

Va2-267+1=0,

P-2a=-1,

4

，原式=2X(-1)=-2.

2

41.（2022•苏州）已知#-2x-3=0,求（x-1）?+xCx+-）的值.

3

【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案.

【解答】解：原式=，-2X+1+W+2X

3

=2x2-—x+1,

3

：3，-2x-3=0,

二原式=2（x2-—x）+1

3

=2X1+1

=3.

42.（2022•荆门）已知x+'=3,求下列各式的值：

X

1.1

（1）（x--）o；（2）xH——.

XX4

【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（。-6）2=（〃+6）2-4访，用上述关系式解答即可;

（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可.

【解答】解：（1）:（XJ"）2=J+2・x♦工

XX/

=(xd)2-4x」

XX

=32-4

=5；

⑵•*2=乂2―2」^-,

XX

5

X

=5+2

=7,

=49-2

=47.

43.(2022•无锡)计算：

(1)|--|X(-V3)2-COS600；

2

(2)a(a+2)-(.a+b)(,a-h)-b(fe-3).

【分析】(1)根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可;

(2)根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可.

【解答】解：(1)原式=2X3-2

22

22

=1;

(2)原式=/+2〃-(〃2-庐)-庐+3〃

=c^+2a-c^+b2-

=2a+3b.

44.(2022•安徽)观察以下等式:

第1个等式：(2X1+1)2=(2X2+1)2-(2X2)2,

第2个等式：(2X2+1)2=(3X4+1)2-(3X4)2,

第3个等式：(2X3+1)2=(4X6+1)2-(4X6)2,

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第4个等式：(2X4+1)2=(5X8+1)2-(5X8)2,

按照以上规律，解决下列问题:

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含〃的式子表示)，并证明.

【分析】(1)根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；

(2)根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想.

【解答】解：(1)因为第1个等式：(2X1+1)2=(2X2+1)2-(2X2)2,

第2个等式:(2X2+1)2=(3X4+1)2-(3X4)2,

第3个等式：(2X3+1)2=(4X6+1)2-(4X6)2,

第4个等式：(2X4+1)2=(5X8+1)2-(5X8)2,

第5个等式：(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2,

故答案为：(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2；

2

(2)第〃个等式：(2«+1)2=[(w+l)X2n+1]-[(«+1)X2〃F，

证明：左边=4〃2+4"+1,

右边=[(n+1)X2n]2+2X(M+1)X2M+12-[(n+1)X2n]2

=4n2+4n+l,

...左边=右边.

等式成立.

45.(2022•西宁)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

将2a-3ab-4+6Z?因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2。-3")-(4-6b)

=a(2-3b)-2(2-3b)

=(2-36)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)

=2(a-2)-3b(a-2)

=(a-2)(2-3/?)

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因

式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值

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及方程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】（1）请用分组分解法将X2-a^+x+a因式分解：

【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a1-2ab-bx+b2因式分解；

【应用】（3