2023-2024学年北京市高二年级上册期末练习数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市高二上册期末练习数学模拟试题

一、单选题

1.若向量2=(1,l,0),⅛=(-l,0,2),则,+0=()

A.√5B.4C.5D.√Γ7

【正确答案】A

【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.

【详解】由题意，得α+8=(0,l,2),

.∙.∣α+⅛∣=ʌ/θ2+12+22=√5.

故选：A.

2.已知点A(l,()),直线/：x-y+3=0,则点A到直线/的距离为()

A.1B.2C.y∣2D.2√2

【正确答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】已知点41,0),直线/"-y+3=0,则点A到直线/的距离=2夜,

√12+12

故选.D

3.若直线y=x+%是圆/+y2+2y=0的一条对称轴，则用的值为()

A.—B.—1C.2D.1

2

【正确答案】B

【分析】依据题给条件列出关于〃?的方程，解之即可求得小的值

【详解】圆V+y2+2y=0的圆心坐标为(0,—1),

又直线y=x+帆是圆f+>2+2y=0的一条对称轴，

则圆心(。,一1)在直线y=χ+Μ上，则一1=0+∕π,则m=-l

故选：B

22

4.已知椭圆γ+%=ιe>o）的离心率为贝m=（）

A.√2B.√3C.2D.3

【正确答案】B

Y—力2

【分析】由/=幺3即可求解.

a-

2222

【详解】椭圆的离心率满足C?=£

tz-⅛_4-⅛_≡,即可解得力=√5e>o）.

β2-4-B

a

故选：B

5.如图，在直三棱柱48C-ABe中，若4A=1,AB=AC=叵,BlCI=2,则异面直线

AC与4G所成的角的余弦值为（）

C√3D考

Vz.----

3

【正确答案】C

【分析】因为5C〃BC,所以NACB或其补角为异面直线AC与4G所成的角，连接A1,

根据余弦定理即可求得答案.

如图，连接AB,则AB=+(0)2=5AC=Jl2+(02=GBC=2,

因为4G//BC,所以NACB或其补角为异面直线A1C与BC所成的角,

AC2+BC2-AB23+4-3√3

cos/ACB=ti

2A,CBC2×√3×2^3

则异面直线AC与Be所成的角的余弦值为

故选：C.

6.已知抛物线丁=8》的焦点为凡准线为/,点P在抛物线上，PQL/于点Q.若APQF

是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是()

A.(0,1)B.(l,"o)C.(0,2)D.(2,+∞)

【正确答案】D

【分析】在X轴上取点A(4,0),推导出Z4"为锐角，设点P(X,y),可得出E4∙FP>0,

可求得X的范围.

在X轴上取点A(4,0),由抛物线的定义可得IPQl=IPΛj,则NpFQ=/PQE,

由于4P0尸为锐角三角形，则NFP0为锐角，

由已知可得PQ〃X轴，所以NAFP=NFPQ,则ZAEP为锐角，

焦点方(2,0),设点P(x,y),则网=(2,0),FP=(x-2,y),

则E4∙FP=2(x-2)>0,解得x>2,

因此，点尸的横坐标的取值范围是(2,+8).

故选：D.

7.设直线4的方向向量为1(l,ɑ),4的法向量为；=(4T,2),则=2”是U”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】A

【分析】因为4所以α=2或α=T,再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】解:因为“d，所以4x(—=-1.∙,∙a2-a-2=0,.'.(a—2)(α+l)=O,

所以a=2或a=—1.

当a=2时，…成立,所以“a=2"是”的充分条件;

当/-4时，a=2不一定成立，所以“a=2”是“41。的非必要条件.

所以“a=2”是“，//的充分不必要条件.

故选：A

8.设A是圆U(x+lf+y2=9上的动点，E4是圆的切线,且照=4,则点P到点Q(8,θ)距

离的最小值为()

A.15B.6C.5D.4

【正确答案】D

【分析】本题首先可根据题意得出伊。=5,则点P的轨迹方程为(χ+lf+∕=25,然后用圆

心到点Q(8,0)的距离减去半径即可得出结果.

【详解】解：由圆的方程(x+iy+y2=9,易知圆心C(—1,0),半径为3,

因为PA是圆的切线，且∣P4∣=4,

所以Ipcf=IpAl2+32=25,IpCI=5,

所以，点户的轨迹方程为(χ+ip+y2=25,

点尸到点。(8,0)距离的最小值为J(8+1)?+0-5=4,

故选：D.

9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴

的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为64的

矩形ABa>截某圆锥得到椭圆r,且T与矩形A8C3的四边相切.设椭圆r在平面直角坐标

22

系中的方程为芯+方=l(a>6>0),下列选项中满足题意的方程为()

A.Xb∙⅛+τ=1

6416

22

C.工+匕=D-⅛4=1

25616

【正确答案】B

【分析】由题意可得到对于椭圆有曲=16成立，由此一一验证各选项是否满足，即得答案.

【详解】•・・用面积为64的矩形AHC。截某圆锥得到椭圆L且7与矩形ABCD的四边相切,

.*.4ab=64,即H?=16,

对于A,—+—=\Λ=8,b=4,不满足出?=16,故A错误；

6416

对于B,—+ɪ=1,a=8,⅛=2,满足a>b>0,ub=16,故B正确;

644

22

对于C,三一+匕=1,O=16,b=4,不满足必=16,故C错误；

25616

22

对于D,—+ɪ-=1,a=8,h=4∖∣2不满足=故D错误.

6432

故选：B.

10.在等比数列｛%｝中,at=-9,%=T记北=W36…%ι(〃=1，2,…).则数列｛4｝

()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【正确答案】A

【分析】根据题意易求得等比数列几｝的公比4,设数列也,｝为等比数列｛为｝的奇数项

al,a3,a5,...,a2n,l(»=1,2,...),则数列也｝是以外为首项，为公比的等比数列，再分

奇偶讨论数列｛1｝的项，即可得出结论.

【详解】解：设等比数列也｝的公比为9,

则,F4=J所以d=；,

ɑl-×ɔ

设数列也｝为等比数列｛叫的奇数项4，如为，…(〃=1，2,...),

则数列｛d｝是以-9为首项，；为公比的等比数列，

则a=-9χ(g)=-

所以<=aΛa5•••a2,,-l=h,h2b3hn，

当“≥4时，闻<1,当1≤n≤3时，∣M≥1,

当”为奇数时，Tn<0,因为&=-1,

所以<≥4=-27,

当〃为偶数时，Tn>0,因为a=-1,

所以(≤(=27,

综上所述，数列｛1｝有最大项4=27和最小项7；=-27.

故选：A.

II.在正方体ABCO-ABCA中，点P在正方形BCe百内，且不在棱上，则()

A.在正方形DCG。内一定存在一点。，使得「。〃AC

B.在正方形。CGR内一定存在一点Q,使得尸Q_LAC

C.在正方形。CG。内一定存在一点Q,使得平面PQG〃平面ABC

D.在正方形。CGR内一定存在一点。，使得ACL平面PQG

【正确答案】B

【分析】对于A,通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B,找到特

殊点，说明在正方形。CCQ内一定存在一点。，使得尸QLAC,判断B;利用面面平行的性

质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.

【详解】A、假设在正方形OCG"内一定存在一点Q，使得PQ〃AC，

作，垂足分别为E,F,连接Ei,则PEF。为矩形，且所与AC相交,

故PQ〃EF,由于P0/AC,则AC〃所，这与AC,E尸相交矛盾，故A错误；

B、假设尸为正方形BCCg的中心，。为正方形QCGR的中心，

作P”，BC,QG_L8,垂足分别为4,G,连接”,G,则尸”GQ为矩形，

则PQ〃//G,且”,G为8C,8的中点，连接GH,BD,

则Gb〃B。,因为AClBf），所以G〃LAC,即PQLAC,故B正确;

C、在正方形OCClA内一定存在一点。，使得平面PQG〃平面ABC,

由于平面ABCC平面QCCQ=C，平面PQG平面。CGR=G。,

故Cr>〃G。，而60〃c。，则Q在GA上，这与题意矛盾，C错误;

D、假设在正方形OCGR内一定存在一点。，使得AC，平面P0G，

GQU平面PQG,则AC，G。，

又CG，平面ABCZZACi平面43C。，故GCJ.AC,

而CCCIQ=CI，CC,GQu平面。CGR,故ACJ_平面OCGR,

由于AD，平面。CGR,故c,£>重合，与题意不符，故D错误，

故选：B

22

12.已知片，F?分别椭圆a+方=l（">人>0）的左右焦点，尸为椭圆上一点，满足

ZPΛΛ=∣）线段W交y轴于点Q，若IQ同=缶，则椭圆的离心率是（）

A.ɪB.也C.匕在D.应7

223

【正确答案】D

【分析】由题意得Pg垂直于X轴，OQ"PQ。为P耳的中点，利用直角三角形斜边上中

h1

线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得IPEI="，由勾股定理和离心率公式，计算可得

a

答案.

【详解】由题意可得PF?垂直于X轴，。。〃P8，

因为。为耳招的中点，则。为PE的中点，可得IPG=2∣QG∣=2√Σc,

由X=C可得鼻+当_=[,JjIlIy=+⅛/][—£_.=±—,BP¾^∣PF2|=—»

（2h-∖a2aa

在直角三角形尸耳尸2中，可得I丹;I2=IF+|时F,

A4

即有8C2=4+4C0可得。2=2讹，即/+2〃c—∕=o,

CT

由e=—可得，/+2e-l=0,解得e=0-l或6=-夜-1（舍去）,

a

故选：D.

13.一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲

V2»2公

面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为/+%+∕=l（α>O*>O,c>O）,

中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1）,若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2）,

半椭球面方程为]+[+z2=l（z≥0）,该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位:

m）,则该建筑的占地面积为（）

A.l(X⅛m2B.5000万m2C.8000Λ-∏I2D.10000^∙m2

【正确答案】B

【分析】令z=0,得到XOy平面上的曲线方程为/+丁=2,为一个圆，求出面积即可求解.

【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积，

所以，至IJXQy平面上的曲线方程为V+=2,为一个圆，

所以，该半椭球面的底面是一个半径为灰的圆，

因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m）

所以，建筑时选的半径为夜x50=500米，

所以，建筑的占地面积为nx（50√2）2=50007平方米.

故选：B

二、填空题

14.已知a=（x,|,3）,b=（-l,y,2）,若α与b共线，则.

【正确答案】2.5

【分析】由向量共线的坐标表示得出x-N的值.

x=-λ

335

【详解】解：因为〃与b共线，所以〃即5=-左八解得x=-],y=ι,则元一y=—].

3=2λ

M5

故一].

15.在公差为d的等差数列｛q｝中，‰=35,1则3等于.

【正确答案】3

【分析】根据等差数列求和公式即可求解.

【详解】由SH)=得IO"+等d=3(5q+等，nq=3d,所以号=3.

故3.

16.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为/,P为抛物线上一点，PALI,A为垂足.若直

线AF的斜率为-石，则IPFl=.

【正确答案】4

【分析】设准线与X轴焦点为8,可得8的坐标为(TO),忸H=2,

由直线AF斜率为-石，可得NAF3=60°,结合抛物线的定义，

可得ARA尸是等边三角形，即可得答案.

【详解】如图

由抛物线方程为V=4x,可得其焦点为F(l,0),准线方程为x=-1,

设准线与X轴焦点为B,则B的坐标为(TO),∖BF∖=2

由直线AF斜率为-石，所以NAF8=60°,可得∣4F∣=∙忸。=4,

cos60

因为A尸〃X轴，所以NPAF=ZAFB=60°,又由抛物线的定义有IM=IP尸|,

所以△%产是等边三角形，故IRAl=IP尸I=4,

故答案为∙4

17.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符

号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，

曲线C：χ2+y2=2k∣+2∣y∣(V+y2≠())就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下

结论：

①曲线C关于坐标轴和直线y=±A∙均对称：

②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

③曲线C围成的图形的面积是4+4乃；

④曲线C上的任意两点间的距离不超过4；

⑤若P(，％〃)是曲线C上任意一点，则∣m+"-6|的最小值是2.

其中正确的结论序号是.

【正确答案】①⑤

【分析】对绝对值里面的χ,y进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线c.

根据曲线C是四个半径为四的半圆围成的图形，由图即可判断①；

曲线C恰好经过8个整点(-2,0),(2,0),(0,-2),(0,2),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2)即可判断

②；

曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2&的正方形的面积之和，即可判断③；

由图可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可

判断④;

∣∕n+n-6∣

因为P(m,〃)至IJ直线X+y—6=0的距离为d=~1Γ~，所以∣∕n+"-6∣=夜d,转化为圆上

的点到直线的距离最小的问题，求解即可判断⑤.

【详解】由于/+y2=2∣x∣+2∣y∣,则

当x≥0,y≥0时，曲线C的方程可化为V+y2=2x+2y,化简得(X-I):+(y-lf=2,表示

圆心为(1,1),半径为夜的半圆；

当X≥O,y<O时，曲线C的方程可化为/+y2=2χ-2y,化简得(X-I)2+(y+1)2=2,表示

圆心为(1,-1),半径为行的半圆；

当x<0,y≥0时，曲线C的方程可化为V+y2=-2χ+2y,化简得。+1尸+(y-l)?=2,表

示圆心为(-1,1),半径为0的半圆；

当x<0,y<0时，曲线C的方程可化为χ2+y=-2χ-2y,化简得(x+l∕+(y+l)?=2,表

示圆心为(T,T),半径为正的半圆.

作出曲线c：f+y2=2∣χ∣+2∣y∣如图所示：曲线C是四个半径为正的半圆围成的图形，

由图易知曲线C关于坐标轴和直线y=±χ均对称，故①正确;

曲线C恰好经过8个整点(-2,0MZO),(0,-2),(0,2),(Z2),(2,-2),(—2,2),(-2)—2),故②错

误；

曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2及的正方形的面积之和，从而曲线C所

围成图形的面积为4x1x(√∑)2+(2拒)2=8+4兀，故③错误；

由图可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即

√2×2+2√2=4√2，故④错误；

因为P(〃?,〃)到直线x+y-6=0的距离为d=写W="言®,所以+6∣=0d,

当&最小时，易知尸(〃?,〃)在曲线C的第一象限内的图象上，

因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为(1,1),半径为r=√∑的半圆,

|1+1-6|_4

圆心(1,1)到x+y-6=0的距离4==2近,

√12+12

从而4而=4一r=拒，即I机+〃一6LtI=0x0=2,故⑤正确.

故①

18.己知等比数列｛qj的公比4=且则使4+生+…+4,>L+L+----成立的

24cι2atl

正整数〃的最大值为.

【正确答案】8

【分析】根据等比数列通项代入等式化简得4=16,再分别求出数列｛q｝和的前〃项

的和，代入不等式即可求出〃的范围，则得到其最大值.

【详解】解：因为等比数列｛%｝的公比4=；,且

所以(402=4g6,整理得：卬/=*=1,解得q=16,

因为｛%｝为等比数列，

所以，数列∣,∣是以L为首项，公比为，的等比数列，

%q

,、4-邛

所以原不等式等价为：4二£1>①，

"qi_l

q

因为q=；，q=i6

所以，将其代入①式整理得:2"<32x16=23解得“<9,

由"∈N∙,所以正整数〃的最大值为8,

故8

19.P为抛物线y=2χ2上一动点，当点P到直线4x-y-4=0的距离最短时，P点的坐标是

【正确答案】(L2)

【分析】设P(XO,2∙√),求出尸到直线/距离，结合绝对值变形后配方可得最小值.

【详解】设P(Xo,2%2),则点P(Xo,2Λ∕)到直线4x-y-4=0的距离为

∣4Λ-2X2-4∣_1

00∣2(⅞-∣)2+2∣

√Γ7—历

当％=1,即当P(l,2)时,

抛物线y=2x2上一点到直线4Λ-J-4=0的距离最短为ɪ=亚

√Γ717

故(1,2).

20.设等比数列｛%｝满足4+4=12,al-ai=-n,记0为｛4｝在区间(0,，叱机wN")中的

项的个数，则数列也｝的前50项和S50=.

【正确答案】144

【分析】根据已知条件求出等比数列伍“｝的首项和公比，得出。“=2向，

讨论当lVw≤3时和2-'≤m<2"2时勿值，代入计算即可得出结果.

fα+α,=α(1+^)=12

【详解】由题意得，「；、〜所以解得4=4,4=2,

MW(I一1)=-12

所以｛4｝是首项为4,公比为2的等比数列，

所以α,=2"”，因为粼为血｝在区间(0,"W"eN")中的项的个数

所以当1≤,"≤3时，bm=O；当2"'≤∕M<2"2时，bm=n,

所以S50=(4+4+4)+(d+么+4+4)+(4+%++⅛∣5)+0∣6+⅛7++⅛∣)+(⅛2+⅛++%),

234

即S50=0×3+l×2+2×2+3×2+4x(50-31)=144.

故答案为：144

三、双空题

>>r>

21.已知直线/：x+y+%=O是双曲线C：］-与=1的一条渐近线，则机=;

a^b

双曲线C的离心率为.

【正确答案】0√2

【分析】根据双曲线的渐近线过原点，即可求得〃?的值，由题意可得4,b的关系，即可求得

离心率.

【详解】由题意可知双曲线C:「一5=ι,a>0*>o的渐近线方程为y=±-X,过原点，

a~b-a

由于直线/：x+y+m=0是双曲线C：「一马=1的一条渐近线，

ab~

故m=0,--=-1,即。=匕,故C=Ja2+)2=血々

a

所以离心率为e二£=血.