2023-2024学年湖北省高二年级上册1月期末联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省高二上册1月期末联考数学模拟试题

一、单选题

1.若直线/的一个方向向量是（石』），则直线/的倾斜角是（)

7C_71_TCn5兀

A.-B.-C.一D.—

6436

【正确答案】A

【分析】根据直线的方向向量与直线的斜率之间的关系即可求解.

【详解】设直线/的倾斜角为。，因为直线/的一个方向向量是（行」,

1因为（兀），

所以直线/的斜率左=tana=耳二亍a€0,

所以a=9

6

故选.A

2.掷两枚质地均匀的骰子，设/=”第一枚出现奇数点"，5=“第二枚出现偶数点”，则A与

5的关系为（）.

A.互斥B.互为对立

C.相互独立D.相等

【正确答案】C

【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.

【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设/="第一枚出现奇数点"，8=“第二枚出现偶数点”,

事件A与8能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A,B错

、口

哄；

P（A\=-=~,P（5）=-=l,p（AB\=-x-=-,P（T4）-P（5）=-X1=1,

V762V762K7664V7K7224

因为尸（/）•尸（5）=P（Z8）,所以A与8独立，故选项C正确：

事件A与5不相等，故选项D错误.

故选：C.

3.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵、秀、湖、北''四个字，每次有放回地从中

任取一个小球，直到写有“湖”、“北”两个字的小球都被取到，则停止取球.现用随机模拟的

方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，

用0、1、2、3分别代表“灵、秀、湖、北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果.现

经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132203001

231130133231031320122103233

由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为()

52八1

A.—B.-C.一

1896

【正确答案】B

【分析】利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】由随机数可知：恰好取球三次就停止的有：023,13,203,132,共4组随机数，

42

所以恰好取球三次就停止的概率P=—=-,

故选.B

..人........八F1FF.F

4.如图，在四面体O/8C中，。4=a,OB=6,OC=c，且OE=万£4,3尸=,则E尸=()

A.蹙*UB.党*Udu1X3/X1>

D.——a+—c

344344344344

【正确答案】D

3x1>

【分析】利用空间向量基本定理求解出=从而求出

ixax]x

EF=OF-OE=一一a^-b+-c.

344

【详解】因为8尸=—BC,所以0F=05+BF=0B+-BC=0B+-(0C-05)=-b+-c,

44444

“x*,•x।*“k“夭”夭]Xax]〉

又OE=1EA=-a,所以EF=O尸-OE=--a+-b+-c.

23344

故选：D

5.P4P8,尸C是从点p出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线尸C与平面

尸48所成角的余弦值是()

A.史~B.正C.—D.7

3322

【正确答案】B

【分析】作图，找到直线PC在平面P48上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间

的关系，继而得到线面角；也可将「4尸民PC三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：

如图，设直线PC在平面尸48的射影为P。，

作CG_LP£＞于点G,CHLPA于点H,连接函,

易得CG1P/,又C〃cCG=C,CH,CGu平面CHG,则/"_L平面CHG,又aGu平面

CHG,则P4_L〃G,

cosNCPA=^~

PC

有

PGpHpH

cosZCPDxcosZAPD==

PCPGPC

故cosZ.CPA=cosZ.CPDxcosZ.APD.

已知AAPC=60°,ZAPD=3(y,

故”必普黑二鬻邛为所求・

解法二:

如图所示，把p4P8,PC放在正方体中，p4P民PC的夹角均为60。.

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则口1,0,0),C(0,0,1),/(1,1,1),5(0,1,0),

所以巾=(_1,0』),「/=(0/,1),必=(-1,1,0),

设平面P/8的法向量"=(x,y,z),贝।卜

令x=l,则y=1,z=-l,所以〃=(1,1,-1),

所以cos(PG^=晨"X="2=巫.

\PC\-\n\72x733

TX[7

设直线PC与平面尸/8所成角为。，所以sinO=|cos〈PC,〃)|=与，

所以cos0=Jl-sin*=.

3

故选B.

6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线

的焦点.已知抛物线f=4y的焦点为尸，一条平行于V轴的光线从点M(l,4)射出，经过抛

物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则经点B反射后的反射光线必过点

()

A.(-1,2)B.(-2,4)C.(-3,6)D.(T8)

【正确答案】D

【分析】求出/(6)以及直线“尸方程，然后将其与抛物线方程联立，解出交点横坐标，则

得到答案.

【详解】由抛物线方程得其焦点尸(0』)，当x=l时，y=^,则“1，

1-13

则分43,则直线.方程为》=-：工+1,

3言=一了4

卜=-4产1,、

联立抛物线方程解得,或1(舍)，则8-4,4,

U=4^y=-

根据题意则经B反射后的光线必平行于V轴，则其横坐标为-4,

故选：D.

7.已知点耳，骂分别是双曲线=力＞0)的左右两焦点，过点々的直线/与双曲

线的左右两支分别交于p,2两点，若P。尸2是以NP06为顶角的等腰三角形，其中

/尸06€[(,〃)，则双曲线离心率e的取值范围为()

A.[V7,3)B.[1,V7)C.[75,3)D.[旧，币)

【正确答案】A

【分析】根据P06为等腰三角形，设归。|=|。周=m，再利用双曲线的定义，分别求得|尸冏,

归闾，然后在△片尸£中，利用余弦定理求解.

由。为双曲线上一点，|。耳|一|。用=|「。|+|尸耳H。用=2%

所以用=2%

由尸为双曲线上一点，|「山-|「£|=2"，

所以俨闾=2a+|P周=4%

在△尸耳鸟中，由余弦定理得4c2=(2a了+(44)2-2x2ax4axcosN耳P&

所以c2=42(5-4cos/耳也)，gpe2=£_=5_4cosZ/j-/3/Z,

又因为NP06呜㈤，则/甲有=乃+/产e呼㈤，

所以cos""w(-l,-g,

所以©2€[7,9),

所以ewh/7,3),

故选：A.

8.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想

匕=2?"+1（〃=0,1,2,L）是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出

8=641*6700417,不是质数.现设勺=唾式£-1）,（"=1,2,L）,S“表示数列｛凡｝的前〃

项和.则使不等式方不+07+…+不-<」一成立的最小正整数〃的值是（提示

S3S2s3S„Sn+[2020

2,°=1024）

A.11B.10C.9D.8

【正确答案】C

【分析】先求出勺=2",再求出S,=2（2"-l）,=1再利用裂项相

消化简求出最小正整数n的值.

【详解】把£=22"+1代入。“二log2（£—I））,得见=log2（22"+l-l）=2〃，

故S“=」----1=2（2〃，

1-21）

E2〃If111

则不等式二一+2-+...+M^=L[i-1一]<2二成立，

SRS2s3S£q412n+,-1）2020

代入计算可得，当不等式成立时.〃的最小值为9.

故选C.

本题主要考查数列通项的计算，考查等比数列的前n项和，考查裂项相消法求和，意在考查

学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

二、多选题

9.等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,当首项4和公差d变化时，4+%+%是一个定值，则

下列各项中也为定值的是（）

A.@7B.%C.品D.Sl5

【正确答案】AC

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得的为定值，结合等差数列的前〃项和公式即可

得出结果.

【详解】•.,%+4+。9=3%+1/=%7，且4+6+。9是一个定值，

%为定值，

又无=空空式=13%，.•.用为定值.

故选：AC

22

10.设石，鸟分别是双曲线C:------匚=1的左、右焦点，且焦距为2,则下列结论正确

〃m-n

的有（）

A.m=2

B.当〃=0时，。的离心率是g

C.〃的取值范围是

D.4到渐近线的距离随着〃的增大而增大

【正确答案】BC

【分析】对A,由。、从c关系列式求解即可;

对B,由离心率公式直接求即可;

21A

a=—+n>0

2

对C,双曲线存在左右焦点，故有｛

,1

b2=——«>0

2

对D,与到渐近线的距离为6.

；，A错;

【详解】对A,/m^-riyb1-m-n,c-\,/.c2a2+b2D1=2wm

c1

『-亚一-历"，B对;

对B,〃=0，a~Jm=，••

2~T

a2=-+n>0

对C,双曲线存在左右焦点，故7，解得〃£，C对;

b2=----72>0

2

对D,可到渐近线的距离为b=,随着〃的增大而减小，D错.

故选：BC.

11.如图，设。是正方体底面内一动点,若直线"Q与直线£>C所成角为

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

【正确答案】ABC

【分析】根据向量的坐标运算即可求解轨迹方程为（y+l）2=212+/+i）co/0,根据。的不

同取值即可求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

设0（x,y,O）,C（0,1.0）,D,（0,0,1）,DtC=（0A,-}）,DtQ=

则DtC肛0=|L>,C|也0COS@C,A0,

所以y+1=&Jx?+/+Icos{2<£.同一@

由于卜os<£>&蝴=cos0,因此当仁时，①化简得V=2y,此时为抛物线，

当。=三时，①化简得8+2）2一工=[,故此时为双曲线，

333

当。=5时，①化简得包N11+X2=I，故此时为椭圆，

63

若为圆，①化简得（歹+l）2=2伏+V+l卜os20,则需要满足x2,y2的系数相等，即

2COS20=2COS20-1»显然不成立，故不可能是圆，

故选：ABC

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点48的距离之比为定值力(2*1)

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系X。中，已知

/(-4,2),5(2,2),点尸满足胃=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是()

A.圆C的方程是(x-8>+(y_2)2=72

IT

B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为§

C.过点A作直线/,若圆C上恰有三个点到直线/距离为2,则该直线斜率为土姮

15

D.过直线x=-2上的动点。向圆C引切线，切点为M,N,则直线MN过定点(g,2)

【正确答案】BCD

【分析】根据刈-4,2),8(2,2),点P满足瑞=2,设点P(xj),求出其轨迹方程，然后

再逐项运算验证.

【详解】因为/(T2),8(2,2),点P满足第=2,

.J(X+4)2+(^-2)2

设点Pxj,则*====^===2,

7-2)，(-

化简得：V+/一81一4^+4=0,即(x-4)2+(^-2)2=16,故A错误；

过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为a,因为ZC=8,A=4,所以sin1=C；=]，

2AC2

则==解得a=[故B正确；

263

易知直线的斜率存在，设直线/：履-夕+44+2=0,因为圆。上恰有三个点到直线/距离为2,

则圆心到直线的距离为：d=-ff==2,解得左=±巫，故C正确;

y]k2+\15

依题意，DN1CN,DM1CM,则M,N都在以。C为直径的圆尸上,

t+2

。是直线/：x=-2上的动点，设。(-2,1),则圆尸的圆心为1,

即圆的方程为(x-琛+yg=36+(/-2),又因为加，N在曲线

24

(x-4『+(y-2)2=16上,

(X-4)2+(^-2)2=16

22

由，才+I_36+(/-2)，

(I),+y2

24

x2+y2-8x-4y+4=0,、

即得2/、，,可得6x+(T+2)y+2,—12=0,

X+/-2X-(Z+2)JV+2Z-8=0'"

即直线MN的方程为6x4-(—/+2)歹+2/-12=0,

4

2—y=0x=—

由fER且［2—歹)+6x+2y-12=0,可得6x；2>72=。,解得3,

y=2

所以直线九W是过定点/，2),故D正确;

故选：BCD

三、填空题

13.二(-1,0,2)在，1(1,2,2)方向上的投影向量的坐标为

【正确答案】忤,)

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】f=(T0,2)在，二(1,2,2)方向上的投影向量为:

XXX

4-1+0+4

1+4+4

14.一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序员设计的程序是让机器人以“先前进3步,

再后退2步”的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动(1步

的距离就是1个单位长度)，令/(〃)表示第〃秒机器人所在的点对应的实数，记/(o)=o,

贝.

【正确答案】407

【分析】根据5秒一个运动周期即可求解.

【详解】有题意可知：此运动以5秒为一个周期，一个周期向前运动一个单位长度，故

2023,5=4043,故/(2023)=404+1+1+1=407,

故407

15.2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天

员乘组首次实现“太空会师若执行下次任务的3名航天员需要在3名女性航天员和3名男

性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为

9

【正确答案】—##0.9

【分析】利用对立事件和古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】由题意可得：在3名女相航天员和3名男性航天员中选择3名航天员，

则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率P=1-理==白，

9

故答案为.记

2

16.设点P(xQi)是椭圆?+/=]上的动点，点。(马,为)是直线x+2y-8=0上的动点，

则由-演|+|乃-必|的最小值是.

【正确答案】4-72

【分析】首先令玉=2cosO,%=sin。，则目标式可改写为;(2]x2-2cosq+2|%-sinq),再

应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件.

【详解】设芭=2cos/必=sin。且。£[0,2乃),

二昆一七|+|%-凹|=|工2-2COS。|+|y2-sin0|=；(2"-2cos0|+2|^2-sin6j)

N；(|x>-2cose|+2,2—sing)>^-|x2+2y2-2cos6-2sin0\

=；|8-2(cose+sin9)|=，8-26sin(8+-①,

当且仅当sin(0+2)=l且X2-2COS®=0时等号成立.

4

故4-近

四、解答题

17.已知圆C的圆心在直线y=-2x上，圆C经过点42,-1)并与直线x+y=l相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线卜=辰被圆C截得的弦长为赤，求人的值.

【正确答案】(l)(x-l)2+(y+2)2=2

(2)左=-1或-7

【分析】(1)设圆心C(“,-2。)，由过切点的半径与切线垂直求得。，再求出半径后得圆标

准方程；

(2)由圆中弦长公式求得4.

【详解】(1)设圆心C(a,-2a),点4(2,-1)在直线+y=l上，

则Me=3^=1，解得

a-2

则圆心C(l,-2),半径R=夜，所以圆C的标准方程为(x-l)2+(y+2)2=2.

或：设圆C的标准方程为口-。)2+3+2幻2=汽，

则有(2-a)?+(-1+2a>=火°,号1=R.

解得a=l,则圆C的标准方程为(x-I)2+(y+2尸=2.

(2)由题意圆心到直线y=丘的距离为d=J(逅)2-(6)2=1=金三L,

V22V*2+l

解得人=T或-7,则左=-1或-7.

18.已知数歹ij{q,}满足4=0,%•

⑴记。=%,,求证:数列也+1｝为等比数歹数

(2)求数列｛4｝的前20项和多).

【正确答案】(1)证明见解析

(2)4062

【分析】(1)根据递推式可得々的值，再由等比数列的定义化简即可证明;

(2)由(1)可得b»=2"-1,再用分组求和法即可求得结论.

【详解】(1)由已知，b,=a2=l

目b”+i+1_02"+2+1_”2"+i+2_2a2“+2_0

H------------------------------N,

4+1%,+1。2"+1。2“+1

则数列｛2+1｝构成首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知，4+1=2",即£=?“=2"-1.

520=(4+/++卬9)+(02+〃4++°20)=242+24++2fl|g+(flj+674++)

+4)+々0=3—9+2|0-1=2,2-34=4062

=3佃+A+

19.如图，已知边长为6的菱形488,//8c=1203C与以)相交于O,将菱形沿

对角线ZC折起，使BD=3日

(1)求平面,48。与平面8DO的夹角的余弦值；

(2)在三棱锥D-/8C中，设点N是8。上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4jI.

【正确答案】(1)[

(2)答案见解析

【分析】(1)建系，利用空间向量求面面夹角;

（2）根据设点N的坐标，再结合空间向量的模长公式运算求解.

【详解】（1）依题知，0B=0D=3,因为5。=3&，所以彳08,0。,

又因为四边形Z8CQ为菱形，所以O8_L/C,OD，/C,

建立空间直角坐标系0-xyz,如图所示，

则/(36,0,0),0(0,3,0),8(0,0,3),

所以AB=(-3瓜0,3),AD=(-373,3,0).

X

V°,即

Sn=0

—3J^x+3z=0,—.-，'//-I-\

「,令X=l,则歹=0/=百，所以N=.

-3V3x+3^=0-'

因为NC_LO8,/CJ.O。，所以AC_L平面80。，

平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的一个法向量为"。=(1,0,0),

则平面ABD与平面BDO的夹角的余弦值为巨.

7

（2）设N（x”必,zj,因为N是线段8。上的一个动点，设BN、=2.BD，

即(石,切,4-3)=4(0,3,-3),所以须=0,必=32,21=3-32,

••▼、

则N(0,3人3-32),CN=(3石,32,3-32),

由CN=46，得：j27+9.2+(3-3;l)2=4近,

12

即9万一92+2=0,解得：义=；或

toriuuuruuir7uuur

即1BN=：BD或BN=：BD,故点N为线段BD的两个三等分点

20.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时、

负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为;，各局比赛的结果都相互独立，

第1局甲当裁判.

（I）求第4局甲当裁判的概率；

（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.

【正确答案】（D!（II）|

48

【详解】（I）记4表示事件“第2局结果为甲胜”，

4表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”.

则1=4•A.

P（/）=P（"4）=P（4）尸（4）=；.

（II）记名表示事件“第1局结果为乙胜”，

当表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

4表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.

则B=B[•B3+B]•B2•B3+B、•B2.

P⑻=P区•B3+B[•B2•瓦+B]•瓦）

二P（瓦•员）+P3・巴•瓦）+P3•瓦）

=尸（瓦）・尸（员）+尸（外・尸（82）・尸（瓦）+尸区）・尸（瓦）

111

=一+一+一

484

5

=­

8-

（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A表示事件“第4局甲当裁判”和4表示事

件“第2局结果为甲胜”，4表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系;

（2）明确X的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.

【考点定位】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题

和计算能力.

21.已知数列｝的前〃项和为=2a,2.

(1)求数列｛6｝的通项公式；

(2)若数列也｝的首项为1,其前〃项和7；满足+当W,若存在正整数〃使

不等式+劲'+L+也■成立,求实数机的最大值.

4«24,

【正确答案】(1)%=2"；

(2)不存在.

【分析】(1)由S,与%的关系可得。的=2,，由等比数列通项公式得解：

(2)由递推关系可得数列j为等差数列，求出7",，由乙与6”的关系求出5，

再由错位相减法求出4,，作差得出数列｛4｝递增，根据不等式能成立求解即可.

⑸=2见一2

【详解】(1)由Si=2q-2nq=2,"",作差得《川=2a“+I-勿…即%=2a.

区+i=2““|-2n

所以数列｛%｝构成首项为2,公比为2的等比数列,则a,=2".

(2)由〃7；”一(〃+1)7；=^11得务一?=；，

所以数列::卜勾成首项为1，公差为g的等差数列

则上=1+===，即北=」——L

n22”2

当〃22时，b„=T„-T„_t=^—L-^—L=n,b.=1符合该式，

贝IJb„=n.