福建省厦门市双十中学2023-2024学年数学九年级上册期末监测试题含解析

福建省厦门市双十中学2023-2024学年数学九上期末监测试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，QABCD的对角线相交于点O,且ABYAD,过点O作OELBD交BC于点E,若二CDE的周长为10,

则nABCD的周长为（）

A.14B.16C.20D.18

2.如图，AABC中，ZABC=50°,NAC6=60°,点。是AABC的外心.则N8OC=()

3.已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）

A4B•白•小D$

4.若二次函数丫=依2+6+｛。*0）的图象的顶点在第一象限，且经过点（0,1）和（-1,0）,则S=a+6+c的值的变化范

围是（）

A.0<S<2B.0<S<lC.1<S<2D.-1<s<1

5.如图，AABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm,底边BC长1（）cm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形

DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D,G分别在AB,AC上，则四边形DEFG的最大面积为（）

A

B.20cm2

C.25cm2D.10cm2

6.如图，为测量一棵与地面垂直的树0A的高度，在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角NAB0为a,则树

0A的高度为（）

30

A.——米B.30s勿a米C.30tana米D.30cosa米

tana

AH?

7.如图，在八A6c中，若DE//BC,—=-,DE=4cm,则8C的长是（）

DB3

A.7cmB.10cmC.13cmD.15cm

8.如图，在AABC中，过点A作射线AD〃BC,点D不与点A重合，且ADrBC,连结BD交AC于点O,连结CD,

设AABO、AADO.ACDO和ABCO的面积分别为§§,和1则下列说法不正确的是（）

A&=方

c

-S.+5,=S3+S.

9.如图，在△ABC中，NC=90。，ZBAC=70°,将AABC绕点A顺时针旋转70。，B,C旋转后的对应点分别是B，

和C，，连接BB，，则NABB，的度数是（）

B

10.已知抛物线y=x2—8x+c的顶点在x轴上，则c的值是()

A.16B.-4C.4D.8

11.方程f=2x的解是()

A.2B.0C.2或0D.-2或0

12.如图，直线1与x轴，y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=±(x>0)的图象交于点C,若SAAOB=SABOC

二、填空题(每题4分，共24分)

13.已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表:

X•••-i012•••

y・・・0343・・・

该二次函数图象向左平移个单位，图象经过原点.

14.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简J(a+c)2_|b+c|=

1III>

ab0c

15.已知抛物线1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-帆+5=____.

16.如图，点A、B、C是。。上的点，且NACB=40。,阴影部分的面积为2通则此扇形的半径为______

17.如图，△A5C内接于。0,若NA=a,贝ljN08C=

18.如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3,则反比例函数的解析式为

19.(8分)有一辆宽为2%的货车(如图①)，要通过一条抛物线形隧道(如图②).为确保车辆安全通行，规定货车

车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5加.已知隧道的跨度A3为8加，拱高为4〃?.

(1)若隧道为单车道，货车高为3.2加，该货车能否安全通行？为什么？

(2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4〃?的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.

-*-12m

□

图①

20.(8分)如图，一次函数:二》•的图象与反比例函数=二的图象相交于A(2,1),B两点.

X

(1)求出反比例函数与一次函数的表达式;

(2)请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.

21.(8分)为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态

环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况，学校随机抽取了部

分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图.

人数

(1)本次随机调查的学生人数是人；

⑵请你补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，“8”所在扇形的圆心角等于_____度;

(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概

率.

22.(10分)如图，AB是。O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点.

(1)依题意画出弦CD,并说明画图的依据；(不写画法，保留画图痕迹)

(2)若AP=2,CD=8,求。O的半径.

23.(10分)(1)计算：tan30—1j+sin60°—tan45

⑵解方程：2(x-l)2=V3(x-l)

24.(10分)如图，RtAABC中，ZABC=90°,以AB为直径作。O,点D为。。上一点，且CD=CB、连接DO并延

长交CB的延长线于点E

(D判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.

m

25.(12分)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=—(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(—4,

x

0),与y轴交于点C,PB_Lx轴于点B,点A与点B关于y轴对称.

(1)求一次函数，反比例函数的表达式；

(2)求证：点C为线段AP的中点；

(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形.如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存

在，说明理由.

26.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长

的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(O<x<0.5).注：步

数x平均步长=距离.

项目第一次锻炼第二次锻炼

步数(步)10000①_________

平均步长(米/步)0.6②_________

距离(米)60007020

(1)根据题意完成表格;

(2)求x.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、c

【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD,BC=AD,OB=OD,再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE,

由CDE的周长得出BC+CD=6cm,即可求出平行四边形ABCD的周长.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

..AB=CD,BC=AD,OB=OD,

OE±BD,

BE=DE»

•.hCDE的周长为10,

.•.DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10,

平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20；

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的

性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

2、C

【分析】根据三角形内角和定理求出NA=70。,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：VZABC=50°,ZACB=60°

二ZA=70°

•.•点O是△ABC的外心，

AZBOC=2ZA=140°,

故选:C

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、外心的定义和圆周角定理.

3、D

【解析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出.

【详解】解：已知三角形的面积s一定，

12s

则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=-ah,即6=上；

2a

该函数是反比例函数，且2s>0,h>0；

故其图象只在第一象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=K的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k>o时，它的两个分支分

X

别位于第一、三象限；当kVO时，它的两个分支分别位于第二、四象限.

4、A

【分析】代入两点的坐标可得c=l,a=b—l,所以S=2Z7,由抛物线的顶点在第一象限可得-2>0且。<0,

2a

可得/?>0,再根据a=。-1、a<0,可得S的变化范围.

【详解】将点(0,1)代入y=G^+bx+c(a，O)中

可得。=1

将点(-1,0)代入>=62+乐+c(awO)中

可得a=/?-1

S=a+h+c=2b

•••二次函数图象的顶点在第一象限

b

.,♦对称轴x=--->0且a<0

2a

:.b>b

a=b—\>a<0

S-2a+2<0

.,.0<S<2

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键.

5、B

【解析】设矩形DEFG的宽DE=x,根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG,再根据矩形的面积列式整

理，然后根据二次函数的最值问题解答即可.

【详解】如图所示：

设矩形DEFG的宽DE=x,则AM=AH-HM=8-x,

•.,矩形的对边DG〃EF,

.'.△ADG^AABC,

.AMDG

••=9

AHBC

解得DG=』(8-x),

4

四边形DEFG的面积=』(8-x)x=--(x,-8x+16)+10=--(x-4)*+10,

444

所以，当x=4,即DE=4时，四边形DEFG最大面积为lOcml

故选B.

【点睛】

考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出

长是解题的关键.

6、C

【解析】试题解析：在RtAABO中，

•.,BO=30米，NABO为a,

AAO=BOtana=30tana(米).

故选C.

考点：解直角三角形的应用•仰角俯角问题.

7、B

【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出C—=一，可得』=一，根据DE的长即可求得8c的长.

AB5BC5

【详解】解：・---=~~9

DB3

.AD_2

••=9

AB5

■:DE!/BC,

.ADDE2

----=----=-9

ABBC5

■:DE=4cm,

:.BC=10cm.

【点睛】

Ano

本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得—是解题的关键.

AB5

8、D

【解析】根据同底等高判断AABD和AACD的面积相等，即可得到二十5-=5・+5/即5・二5」同理可得AABC和

ABCD的面积相等，即s—s二5.Tq「

【详解】•••△A/?。和AAa)同底等高，

>8?

S+5-=5,+5」

即&=»

△ABC和AOBC同底等高，

•,S_XBC=5-DSL

,,S.+S4=S3+S=

故A,B,C正确，D错误.

故选：D.

【点睛】

考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.

9、D

【解析】在AABB，中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，即可求得NABB，的度数.

【详解】由旋转可得，AB=AB',ZBAB'=70°,

.,.ZABB'=ZAB'B=-(180°-NBAB‘)=55°.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键.

10、A

【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.

b-8

【详解】•.•二次函数y=/.8x+c的顶点的横坐标为x=--=—=4,

2a2

•.•顶点在x轴上，

二顶点的坐标是(4,0),

把(4,0)代入y=X?_8x+c中，得:

16-32+c=0,

解得：c=16,

故答案为A

【点睛】

本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单.

11、C

【分析】利用因式分解法求解可得.

【详解】解：•••X2=2X,

.•.x2-2x=0,则x(x-2)=0,

.•.x=0或x-2=0,

解得：xi=0,X2=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

12、D

【分析】作CD_Lx轴于D,设OB=a(a>0).由SAAOB=SABOC,根据三角形的面积公式得出AB=BC.根据相似三角

形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k.

.\AB=BC.

,.,△AOB的面积为1,

I

A-OA»OB=1,

2

OA=—

a9

VCD/7OB,AB=BC,

2

・・・OD=OA=—，CD=2OB=2a,

a

2

AC(-,2a),

a

k

;反比例函数y=—(x>0)的图象经过点C,

x

2

Ak=—x2a=l.

a

故选D.

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、2

【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为(2,0),可得结论.

【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=02+2-=l.

2

•••抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

...抛物线与x轴另一个交点为(2,0),

二该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点.

故填为2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解

决.

14、-a+b

【分析】根据数轴判断出a、氏c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对

值号，再进行计算即可得解.

【详解】解：由图可知：a<b<0<c,而且同>例>同，

.,.a+cVO,b+c<0,

**\]3+c)~~\h+cj——(a+c)+(h+c)=-a+Z?,

故答案为：—a+b.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出。、从C的情况是解题的关键.

15、1

【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2-m-1=0,贝!|加然后利用整体代入的方法计算m2-m+5的值.

【详解】•••抛物线产产--I与*轴的一个交点为（mo）,

m2-m-1=0,即m2-m=l,

m2-771+5=1+5=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a/+bx+c（a,b,c是常数，a。0）与》轴的交点坐标问题

转化为解关于x的一元二次方程.

16、3

【解析】根据圆周角定理可求出NAOB的度数，设扇形半径为x,从而列出关于x的方程，求出答案.

【详解】由题意可知：ZAOB=2ZACB=2X40°=80°,

设扇形半径为x,

QA7

故阴影部分的面积为也2x£J=±xm2=2几，

3609

故解得：X1=3,X2=—3（不合题意，舍去），

故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程，从而得到答案.

17、90°-a.

【分析】首先连接OC,由圆周角定理，可求得NBOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得NOBC的度数.

【详解】连接

r

肝-------/

VZBOC=2ZBAC9ZBAC=a,

:.ZBOC=2a.

VOB=OC,

.•.NO5C=g（180。-ZBOC）=1（180°-24z）=90°-a.

故答案为：90°-a.

【点睛】

此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质.此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

3

18、y--

x

【分析】根据从反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段和坐标轴所围成的矩形的面积是1口，且保

持不变，进行解答即可.

【详解】由题意得kl=3,左=±3

•.•反比例函数图象在第二象限

k=—3

3

.•.反比例函数的解析式为y=一—.

x

【点睛】

本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数k的几何意义，即可完成.

三、解答题（共78分）

19、（1）货车能安全通行，理由见解析；（2）最大安全限高为2.29米

【分析】（1）根据跨度求出点B的坐标，然后设抛物线顶点式形式y=ax?+4,然后把点B的坐标代入求出a的值，即

可得解；

（2）根据车的宽度为2,求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可.

【详解】（D货车能安全通行.

•••隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O,4）,

:.A、B关于y轴对称，

:.OA=OB=—AB=—x8=4,

22

...点B的坐标为（4,0）,

设抛物线顶点式形式y=ax2+4,

把点B坐标代入得，16a+4=0,

解得a=J,

4

所以，抛物线解析式为y=-!x2+4（-4<x<4）;

由x=l可得，＞=3.75.

3.75—05=3.25>3.2,

货车能够安全通行.

(2)当x=2+0.2=U时，y=—■-xf—+4=2.1.

54(5j

•••2.79—0.5=2.29,

货车能够通行的最大安全限高为2.29米.

答：货车能够通行的最大安全限高为2.29米.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图

象上点的坐标特征，比较简单.

2

20、(1)y=—，y=xT；(1)B(-1,-1),x<-1或

X

【分析】(D先将点A(1,1)代入y=A求得k的值，再将点A(1,1)代入>=X+〃7,求得m即可.

X

(1)当反比例函数的值大于一次例函数的值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，X的取值范围.

【详解】解：(1)将A(1,1)代入)，=A中，得k=lxl=l,

X

2

二反比例函数的表达式为丫=一，将A(1,1)代入y=x+"?中，得l+m=L

x

:.m=-1,

,一次函数的表达式为y=x-l-

2

y——x=2x=-l

（1）解《JX得,或＜

[y=i

y=x-]。=2

所以B(-1,-1)；

当xV-1或OVxVl时，反比例函数的值大于一次函数的值.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

21、（1）60；（2）见解析；（3）108；（4）y.

4

【分析】（1）用A的人类除以A所占的百分比即可求得答案；

⑵求出c的人数，补全统计图即可；

⑶用360度乘以B所占的比例即可得；

⑷画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.

【详解】⑴本次随机调查的学生人数=15+25%=60人，

故答案为60；

⑵60—15—18—9=18（人），补全条形统计图如图1所示：

（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角=360°X£；=108°,

60

故答案为108；

（4）画树状图如图2所示：

ABCD

图2

共有16个等可能的结果，

小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，

41

.•.小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率

164

【点睛】

本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的

信息是解题的关键.

22、(1)画图见解析，依据：平分弦(非直径)的直径垂直于弦；(2)。。的半径为1.

【分析】(1)过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论.

(2)设OO的半径为r,在RSOPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【详解】(1)过P点作AB的垂线交圆与C、D两点，CD就是所求的弦，如图.

依据：平分弦(非直径)的直径垂直于弦；

(2)如图，连接OD,

,.•OA_LCD于点P,AB是。O的直径，

AZOPD=90°,PD=-CD,

2

VCD=8,

/.PD=2.

设。O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-2,

在RtAODP中，NOPD=90。，

.,.OD2=OP2+PD2,

即r2=(r-2)2+22,

解得r=L

即。。的半径为1.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

23、(1)立；(2)xi=l,x=.2+G.

6-2

【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可；

(2)利用提公因式法解方程即可.

【详解】(1)J(tan3Cf-、+sin60-tan450

&V3

1-------1-----

32

百

__•»

6

(2)2(x-l)2=AA(X-1)

2

移项得：2(X-1)-V3(X-1)=0>

提公因式得：(X-1)(2X-2-73)=0,

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算、一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次

方程的解法是解题的关键.

24、（1）相切，证明见解析；（2）672.

【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD_LCD,利用全等三角形的性质即可证明；

0BCD

（2）设。。的半径为r.在RtAOBE中，根据OE2=EB2+OB2,可得（8-r）2=^+42,推出r=3,由tanZE=—•=-

EBDE

3CD

推出二=k，可得CD=BC=6,再利用勾股定理即可解决问题.

48

【详解】解：（1）相切，理由如下，

.'.△OCB^AOCD,

.•.ZODC=ZOBC=90°,

.,.OD±DC,

；.DC是。。的切线；

(2)设。O的半径为r,

在RtAOBE中，VOE2=EB2+OB2,

:.(8-r)2=r2+42,

二r=3,AB=2r=6,

,OBCD

•tanNE==----,

EBDE

•2CD

••一二,

48

.*.CD=BC=6,

在R3ABC中，AC=ylAB2+BC2=A/62+62=672•

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应

用相关知识解决问题是关键.

28

25、(1)j=-x+l；j=-(2)证明见解析；(3)存在，D(8,1).

4x

【分析】(1)由点A与点B关于y轴对称，可得AO=BO,再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，

将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b

的值，确定出一次函数解析式；

(2)由AO=BO,PB//CO,即可证得结论；