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文档简介
2023-2024学年辽宁省营口市高一上册期末教学质量监测数学试题
一、单选题
1.已知集合厶={X€用》(》+1)=0},B={xeZ|-2<x<l},则AB=()
A.0B.{0}C.{-1,0}D.(-l,+oo)
【正确答案】B
【分析】结合常用数集的定义可分别得到集合AB,由交集定义可得结果.
【详解】A={xeN|x(x+l)=0}={0},S={XGZ|-2<x<1}={-1,0,1),r.AB={0}.
故选:B.
2.某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了8个班的比赛得
分如下:91,89,90,92,93,87,91,94,则这组数据的80%分位数为()
A.87B.91C.92D.93
【正确答案】D
【分析】由百分位数的概念求解,
【详解】数据从小到大为87,89,90,91,91,92,93,94,而8x80%=6.4,所以80%分位数为93.
故选:D
3.已知塞函数“力的图象过点(3,27),则/(2)的值为()
A.8B.4C.2D.1
【正确答案】A
【分析】利用已知条件求出幕函数/(*)的解析式,然后代值计算可得出/(2)的值.
【详解】设=则"3)=3'"=27,则〃?=3,.•.〃力=总故"2)=8.
故选:A.
4.已知向量〃=(病,一9),6=(1,-1),则“机=一3”是""〃厂的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据充分条件及必要条件定义结合向量平行坐标表示判断即可.
【详解】若,〃=—3,则。=(9,—9)=90,所以“/力;
若。〃6,则>x(—1)—(―9)x1=0,解得〃?=±3,得不出/〃=—3.
所以“加=-3”是“a//”的充分不必要条件.
故选:A.
5.求“方程炉+》=34的解"有如下解题思路:设函数,(力=戸+X,则函数/(x)在(0,+8)上
单调递增,且/(2)=34,所以原方程有唯一解x=2,类比上述解题思路,方程
logy+log/nO的解集为()
A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{3}
【正确答案】A
【分析】设/(X)=10g2X+10g3X,结合对数函数单调性及/⑴=0可求得结果.
【详解】设/(x)=log2x+log3x,则/(x)在(0,+8)上单调递增,又/(I)=log,1+log,1=0,
.•.原方程有唯一解x=1,即方程log?皿3x=0的解集为{1}.
故选:A.
6.若存在非零的实数。,使得〃x)=/(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数可
能是()
A./(x)=2x+lB../'(x)=x2-l
C./(x)=2rD.f(x)=x2-2x-\
【正确答案】D
【分析】先由题意得到了(x)关于尤=](430)对称,再根据基本初等函数的性质依次分析判
断各选项即可.
【详解】因为存在非零的实数”,使得〃x)=〃a-x)对定义域上任意的x恒成立,
所以“X)关于、=夕。=0)对称,
对于AC,由一次函数与指数函数的性质可知,/(x)不存在对称轴,故AC错误;
对于B,由二次函数的性质可知关于x=0对称,不符合题意,故B错误;
对于D,因为/(X)=X2-2X-1=(X-1)2-2,所以/(X)的对称轴为X=1,符合题意,故D
正确.
7.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是几,经过一定
时间”单位:分)后的温度是T,则T-7;=(4-7;>e-",其中(称为环境温度,k为比例系
数.现有一杯90'C的热水,放在26c的房间中,10分钟后变为42℃的温水,那么这杯水从
42'C降温到34℃时需要的时间为()
A.8分钟B.6分钟C.5分钟D.3分钟
【正确答案】C
【分析】由已知条件列式求出进一步利用条件列式求得所需时间,得到答案.
1
【详解】由题意得:42-26=(90-26声叫解得:不
当(=26,T=34,4=42时,
贝IJ34-26=(42—26""(其中eT=(£p,
解得:t=5.
故选:C.
数学建模是高中数学六大核心素养之一,在高中数学中,应用题是常见考查形式:
(1)求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关
系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型;
(2)求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取
值范围.
8.对于方程[§/一》2一弓卢-(一左二。的解,下列判断不正确的是()
A.时,无解B.女=0时,2个解
C.-丄4k<0C.时,4个解D.%>0时,无解
4
【正确答案】C
【详解】A.当&<-;时,厶=1+必<0(*)无解,原方程无解,正确;
B.当%=0时,(*)为产-,=0,解得4=0,%=1(舍去),当:=0时,原方程有两个解,正确;
c.特殊值法,当%=-,时,(*)为产-『+!=(),解得/=:,此时原方程有一个根,c错误;
4742
D.当Z>0时,(*)由韦达定理得4+厶=1"2=-%<°,令4>。冉<°,
则4=1-弓>1,原方程无解,正确.答案为C.
二、多选题
9.下列说法错误的是()
A.a+b-c=a+(b-c^
B.两个非零向量〃涉,若卜-耳=闷+忖,则a与厶共线且反向
C.若a〃b,bile>则a〃c
D.若a"b,则存在唯一实数2,使得〃=効
【正确答案】CD
【分析】由向量加减法运算律可知A正确;将已知等式平方后,由向量数量积定义和运算
律可求得<a,b>=*知B正确;通过反例可说明CD错误.
【详解】对于A,由向量加减法的运算律知:A正确;
对于B,a,b为非零向量,,一b卜同+网,同+忖),
即,-24m+卢=同2+2同似+1『,.•.冋.网=-〃./?=_冋似8$<。,0>,
解得:cos<a,b>=-1,即<a,b>=7t,二a与6共线且反向,B正确;
对于C,当〃=0时,由a//。,b//c无法得到W/C,C错误;
对于D,若6=0,"H0,则a〃很,但不存在唯一实数2,使得(/=〃>,D错误.
故选:CD.
10.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设厶={三件产品全不是次品},B={
三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中正确的是()
A.A与C互斥B.B与C互斥
C.任何两个都互斥D.A与B对立
【正确答案】ABC
【分析】根据已知条件,根据互斥事件和对立事件的定义,即可求解.
【详解】解:由题意可知,c={三件产品有次品,但不全是次品},包括1件次品、2件次
正品,2件次品、1件次正品两个事件,
A={三件产品全不是次品},即3件产品全是正品,8={三件产品全是次品},
由此知,A与C互斥,B与C互斥,故A,B正确,
A与B互斥,由于总事件中还包含“1件次品,2件次正品”,“2件次品,1件次正品”两个
事件,故A与8不对立,故C正确,D错误,
故选:ABC.
11.若ceR-则下列关系式中一定成立的是().
11
A.->-B.a3>b3
ab
c.ln(a2+l)>ln(/,2+l)D.c1a<c1b
【正确答案】AC
根据题意,求得a<b<0,结合不等式的性质和对数函数的性质,逐项判定,即可求解.
【详解】因为由指数函数y=(夕的性质,可得。<6<0,
对于A中,由丄-4=号>0,可得丄>《,所以A正确;
ababab
对于B中,由a<b<0,可得/<尸,所以B不正确;
对于C中,由可得从,根据对数函数的性质,可得ln("+i)>ln仅?+1),
所以C正确;
对于D中,当c=0时,可得c%=c2b,所以D不正确.
故选:AC.
12.已知函数〃x)=ln(^/?石+x)+x5+3,定义在R上的函数g(x)满足g(—x)+g(x)=6,
则()
A./(Ig7)+f(lg;)=6
B.函数g(x)的图象关于点(3,0)对称
C.若实数以力满足/(。)+/3)>6,贝!]。+匕>0
D.若函数“X)与g(x)图象的交点为(西,y)、(孙%)、(王,%),则菁+%+W+必+4+%*=9
【正确答案】ACD
【分析】计算得出〃f)+〃x)=6,可判断A选项;利用函数对称性的定义可判断B选项;
分析函数/(X)的单调性,可判断C选项;利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项,对任意的xeR,Jd+1+*>W+xNO,
所以,函数/(x)=ln(A/?=+x)+V+3的定义域为R,
+=In(Jx?+1-x)+(-x)5+3+In[\/x2+1+xj+x5+3
=In(x2+l-x2)+6=6,
所以,/(lg7)+/^lg^=/(lg7)+/(-lg7)=6,A对;
对于B选项,因为函数g(x)满足g(r)+g(x)=6,故函数g(x)的图象关于点(0,3)对称,
B错;
对于C选项,对于函数力(x)=ln(^/?W+x),该函数的定义域为R,
A(-x)+/?(%)=InVx2+1-xj+In7x2+1+xj=ln(x2+l-x2)=0,即7Z(-JC)=-/Z(X),
所以,函数〃(x)为奇函数,
当xNO时,内层函数”=丿叫+1+%为增函数,外层函数y=1nw为增函数,
所以,函数/z(x)在[0.+8)上为增函数,故函数力(力在(YO,0]上也为增函数,
因为函数〃(x)在R上连续,故函数/?(x)在R上为增函数,
又因为函数y=x$+3在R上为增函数,故函数“X)在R上为增函数,
因为实数“、方满足/(。)+/e)>6,则/(4)>6—/。)=/(一3,可得。>一。,即“+》>0,
C对;
对于D选项,由上可知,函数〃x)与g(x)图象都关于点(0,3)对称,
由于函数与g(x)图象的交点为(占,匕)、(巧,%)、(不,必),
不妨设王<々<*3,若々W0,则函数〃x)与g(x)图象的交点个数必为偶数,不合乎题意,
所以,x2=0,则必=3,由函数的对称性可知,点(士,匕)、(W,%)关于点(0,3)对称,
则%+鼻=0,%+%=6,故%+乂+々+%+*3+%=9,D对.
故选:ACD.
三、填空题
13.函数y=V在区间[1,2]上的平均变化率为.
【正确答案】3
【分析】利用平均变化率的定义求解.
【详解】函数y=f在区间[1,2]上的平均变化率为
22-12,
2-1
故3
14.将某位同学的9次数学周考成绩去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平
均分为81,现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以加表示,
则7个剩余分数的方差为.
65
797
加
8042
963
【正确答案】—
【分析】根据7个剩余分数的平均分为81,可求出m,再根据方差公式即可求解.
【详解】去掉96和65,余下7个分数的平均值为
;[79+77+(70+%)+80+84+82+93]=81,求得m=2,
22222
所以方差为丄K81-79)+(81-77)2+(81-的+(81-80)+(81-84)+(81-82)+(81-93)]
-7
1nCZ
=-(4+16+81+1+9+1+144)=—.
77
…宀丄
故答案为256
本题考查数据分析能力,考查方差的计算,属于基础题.
15.如图,△W3C中,延长CB到。,使即=3C,当E点在线段上移动时,若
AE=AAB+〃AC,则1=/.-U的最大值是.
D
B
E\/
A。
【正确答案】3
【详解】试题分析:^AE=kAD=k(AC+2CB)=k[AC+2(AB-AC)]=2kAB-kAC>
0<k<l;
_,f入=2k
又AE二入AB+WAC;•”H__,;・・・t=九-卩=3k,OWksl;,k=l时t取最大值3.
|卩二一k
即t=^-n的最大值为3.
平面向量的基本定理及其意义.
16.若实数a,b,c满足£+*=1,,+,7+*=1,贝I"的最大值是-------------
4
【正确答案】logq
【分析】由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得2’的范围,据此即
可确定c的最大值.
【详解】由题意可得:2"+2%=2"叱2"+2"+2'=2"+"。,
由基本不等式可得:2«+2空2*后手,即:2"*"22x2若,
据此可得:t=2"+h>4,
结合2"+2〃+2°=T+b+c可得:2"+"+2C=2a+bx2C,
t1t4
则2'=--=1+—-,由于£24,故1<-,
r-1t-lt-\3
44
即据此可得c的最大值为log。1
JJ
本题主要考查均值不等式求最值的方法,换元法的应用等知识,意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
四、解答题
17.在①0<x<l,②-l<x<0,③x>l这三个条件中选一个合适的条件,补充在下面问题
中,并解答.问题:若x满足丁-》-1=0,且_________,求出下列各式的值.
⑴X+一;
X
⑵丄.
X
【正确答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】解方程可求得两根,并确定两根的范围;将符合条件的根代入所求式子即可求得结
果.
【详解】(1)由x-l=O得:x=(一1,0)或X=笥叵>1;
若选条件①,没有x满足0<x<l,故无法求出x+丄;
X
若选条件②,则x=土至,.”+丄=匕叵+-1尸=匕在一匕虫=一石;
2x21-V522
若选条件③,则》=出叵,.”+丄=匕@+亠=匕在一上毡=石.
2x2I+V522
(2)若选条件①,没有x满足0<x<l,故无法求出];
X
若选条件②,则》=上至121+>/5
2x~\-4s~2
(3+>/5)(1+>/5)
=-2—A/5;
4
若选条件③,则x=T,[熹二程
X石-1(3-石)(6-1)
=-2+75.
24
18.已知向量。4=(3,-4),08=(6,-3),OC=(5-x,-3-y).
(1)若点A8,C不能构成三角形,求应满足的条件;
(2)若AC=2BC,求无丫的值.
【正确答案】(1)x-3y+l=0;(2)x=T,y=-1
【分析】先求出向量AC、8C,(1)利用向量共线列方程即可;(2)直接列方程组即可解得.
【详解】因为04=(3,-4),08=(6,-3),OC=(5-苍一3-y),
所以AC=OC-OA=(5-x,-3-y)-(3,-4)=(2-x,l-y),
BC=OC-OB=(5-x,-3-y)-(6,-3)=(-1-x,—y).
(1)因为点A,8,C不能构成三角形,
所以4C、8c共线,
所以(2-x)(-y)=(l-),)(-l-x),即x-3y+l=0,
所以x,y应满足的条件:x-3y+l=0;
(2)因为AC=28C,
(2,—x=-2—2x[x=-4
所以Ic,解得.,
[\-y=-2y[y=7
所以x=-4,y=-l.
19.某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为AB两类(评定标准见表1).根据男女
学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为A的学
生中有40%是男生,等级为4的学生中有一半是女生.等级为A和4的学生统称为A类学
生,等级为用和层的学生统称为B类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为A类学生的人数;
(H)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人
组成乙组,求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率;
(IH)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%,B类女生占女生总数的比例为勺,B
类男生占男生总数的比例为后,判断勺与&的大小.(只需写出结论)
【正确答案】(1)8万人;(iiR;
【详解】试题分析:⑴根据直方图可得样本中8类学生所占比例为(0.()2+().04)xl()=60%,
所以A类学生所占比例为40%,再根据总人数可估计在该项测评中被评为A类学生的人数:
(H)利用列举法列举出按要求分成两组,分组的方法数为10种,其中“甲、乙两组各有1名8
类学生”的方法共有6种,由古典概型概率公式可得结果;(川)根据直方图,结合表格数据可
得结论.
试题解析:(1)依题意得,样本中5类学生所占比例为(0.()2+().()4)xl0=6()%,
所以A类学生所占比例为40%.因为全市高中学生共20万人,
所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人.
(2)由表1得,在5人(记为a,6,c,d,e)中,B类学生有2人(不妨设为b,d).
将他们按要求分成两组,分组的方法数为10种.
依次为:(ab,cde)人ac,bde),(ad,bee),(ae,bed),(bc,ade),(bd,ace),[be,acd),(cd,abe),
(ce,abd),(de,abc).
所以“甲、乙两组各有一名8类学生”的概率为指=|.
(3)k[<k?.
20.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则
4321
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为彳、彳、
且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(注:本题结果可用分数表示)
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(注:本题结果可用分数表示)
【正确答案】(1)为96
625
…101
(2)----
125
【分析】本题考查相互独立事件,互斥事件的概率计算问题(1)选手第四轮被淘汰,意味
着前三轮回答正确而第四轮回答错误;(2)选手至多进入三轮的事件分成三种互斥事件的情
况,即只进第一轮,第二轮,第三轮,分别求出三个概率后相加.
【详解】⑴记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i=l,2,3),
则p(a)=丁汽&)=;,P(&)=丁P(a)==
所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:
p=p(A4A4)=尸(AJP(4)P(4)P(4)
432496
=—X—X—X—=・
5555625
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率
=P(4)+P(A)P(X)+P(A)P(4)P(4)
142433101
=—HX1X—X—=.
555555125
21.已知函数"力=>+?$+")为偶函数.
(1)求实数”的值;
(2)记4=lg22+lg21g5+lg5-:,E={y\y=f(x),xe{-i,l,2}},判断4与E的关系;
⑶令/?(x)=x2/(x)+or+。,若集合A={x|x=〃(x)},集合8={工|》=/?[a(力]},若4=0,
求集合8.
【正确答案】(1)-1
(2)2eE
⑶8=0
【分析】(1)运用偶函数的定义,化简可得;
(2)运用对数的运算法则,化简可得/I,再计算E,即可得到结论;
(3)令g(x)=〃(x)-x,运用零点存在定理可得我e8,x2),使g(%)=0,可得〃(x)>x,再
由二次函数的图象可得加〃(x)]=x无实数根,即可得到所求集合5.
【详解】(1)解:因为f(x)为偶函数,可得解x)=r(-x),
Fin(x+l)(x+a)(―x+1)(—x+a)
即-----;----=-------;------
XX
可得2(a+l)x=0,
由于xeR且xwO,
可得a=—1;
⑵解:由(1)可知:/'(x)=土=,因为£={y|y=/(x),xe{-l,l,2}},
XT
3
当工=±1时、fM=O;当%=2时,/(%)=-,
4
所以E={o,*.
因为/l=lg22+Ig21g5+lg5_J=lg2(Ig2+lg5)+lg5=lg2+lg5_J=]_[=],
44444
所以/IwE;
(3)解:若存在眞,使〃(司)<士,则力(玉)-><0,
令g(x)=〃(x)-x,则g(X)<0,
又g(x)=f+(Q_i)x+b-l图象的开口向上,
则必存在切々"),使得g(/)>°,
由零点存在性定理知我e(X,七),使飲不)=0,
即〃(%)=玉),
这与A=0矛盾.又〃《二x无解.
综上所述万(x)>x,
则由h(x)=x2+ax+b-1(«,bwR)开口向上,
因此存在X,使〃(x)>x,
.•./?[〃*)]>h(x)>x,于是h[h(x)]=X无实数木艮,
即8=0.
22.已知函数〃x)=loga;W(其中Q>0且awl),g(x)是F(x+2)的反函数.
(1)已知关于X的方程log,,«+
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