2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1.（2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,

自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的

是（）

2.（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.mCa+b）—ma+mbB.3/-3x+l=3x（x-1）+1

C.7+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a~+4a+4

3.（2分）已知三角形的三边长分别为3,4,x,且x为整数，则*的最大值为（）

A.8B.7C.5D.6

4.（2分）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（）

A.节省材料，节约成本B.保持对称

C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮

5.（2分）下列运算结果为a的是（）

A30

A.优■矿B.C.（/）3D./

6.（2分）如图，点C在NAO8的边0A上,用尺规作出了CP〃O8,作图痕迹中，範是

)

E,

A.以点C为圆心、00的长为半径的弧

B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧

C.以点E为圆心、DW的长为半径的弧

D.以点E为圆心、。。的长为半径的弧

7.（2分）如图，点。是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点。在的平

分线上；②点。到△ABC的三边的距离相等；③OB=OC.以上结论正确的有（）

A.②③B.①②C.①③D.①②③

8.（2分）如图，等腰△ABC中，AB=AC,MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B

重合，点N不与点C重合），且"。丄BC交A8于点。，NE丄BC交AC于

2

点E,在从左至右的运动过程中，和△CNE的面积之和（）

A.保持不变B.先变小后变大

C.先变大后变小D.一直变大

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）如果等腰三角形一边长为3,另一边长为10,那么它的周长是

10.（2分）已知一正多边形的每个外角是36°,则该正多边形是边形.

11.（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小

正方形的顶点上，则表示△ABC重心的点是.

12.（2分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积

数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b）,则宽为.

2(a+b)

13.（2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”

由两根有槽的棒。4,0B组成，两根棒在0点相连并可绕0转动，C点固定，OC=C。

=DE,点、D,E可在槽中滑动，若NBDE=75°,则NCOD=°.

14.（2分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能

拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌.用一种或几种正多

边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3,3,3,3,3,3）；3个正三角

形和两个正方形，记作（3,3,3,4,4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形

的镶嵌方案.

15.（2分）如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，且A£>=17,E,P分别是AC,

4。上的动点，则CP+EP的最小值等于.

16.(2分)新年联欢，某公司为员工准备了4、B两种礼物，A礼物单价。元、重加千克,

B礼物单价(4+1)元，重("L1)千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲

盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲

盒的总价钱相差元，通过称重其他盲盒，大家发现：

称重情况重量大于小林与小林的盲盒重量介于小林与小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一样重和小李之间的一样重的盲盒的

盲盒个数05094

若这些礼物共花费2018元，则。=元.

三、解答题(共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每

题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分)

17.(8分)因式分解:

(1)3x1+6x+3；

(2)a3-9a.

18.(8分)计算：

(1)a3,a+(-a2)3-ra2；

(2)[(m+n)Cm-n)+(-n)2]-i-2/n.

19.(5分)已知f-x+l=0,求代数式(JC+1)2-(JC+1)(2x-1)的值.

20.(5分)如图，AB=AD,AC=AE,Z1=Z2.求证：BC=DE.

21.(6分)下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图

过程.

已知：如图1,线段4和线段从

求作：△A8C,使得AB=AC,BC=a,BC边上的中线为江

作法：如图2,

①作射线BM,并在射线BM上截取BC=a；

②作线段BC的垂直平分线PQ,PQ交8c于Q；

③以£>为圆心，b为半径作弧，交PQ于4

④连接AB和AC.

则△ABC为所求作的图形.

根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；

(2)完成下面的证明：

证明：由作图可知BC=a,AD=h.

为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，

：.AB=AC()(填依据).

又线段BC的垂直平分线PQ交BC于D,

...AD为BC边上的中线，且A£>=6.

.a,

.----------------------->BC7M

图1图2

22.（5分）如图，在Rt/XABC中，/C=90°,ZA=30°,80平分/ABC,AD-10,求

CO的长.

23.(5分)课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线，把n

边形分成("-2)个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题.从而得到〃

边形的内角和等于(，L2)780。，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种,

再次证明“边形内角和定理.

方案一方案二

如图,P为“边形AlA2......An内一

点，连接B41,PA1,……，PAn,那么如图，尸为“边形A1A2……An边

〃边形被分成了______个三角形，A1A2上的任意一点，连接必3,PAi,

由此推理〃边形的内角和定理.……，PA,„那么〃边形被分成

了____________个三角形，由此推理

〃边形

的内角和定理.

证明：证明：

24.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3),

B(1,0),C(1,2),

(1)在图中作出△48C关于x轴对称的△48C1,其中41的坐标为；

(2)如果要使以8、C、。为顶点的三角形与△ABC全等(A、。不重合)，写出所有符

合条件的点力坐标.

IIIIIlli

--------------------4--------

25.(6分)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式/

-2r+3,由于，-2x+3=(x-1)2+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多

项式2%+3的值是相等的，例如，当x-l=±/,即x=2或0时，f-2x+3的值均为

3；当x-l=±2,即x=3或-1时，x2-2%+3的值均为6.

于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当X—取任意一对互为相反数的数时,

该多项式的值相等，就称该多项式关于x=l对称.例如》2-2%+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(/)多项式/-6x+10关于x=对称；

(2)若关于x的多项式/+2fcr+3关于x=4对称，求人的值；

(3)整式(W+8x+16)(?+4A-+4)关于X=对称.

26.(7分)在aABC中，。是2C的中点，且/8AOW90。，将线段A8沿A。所在直线翻

折，得到线段AB',作CE//AB交直线AB，于点E.

(1)如图，若A8A4C,

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；

(2)若A8VAC,上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式

表示线段48,AE,CE之间新的数量关系(不需证明).

A

B

27.（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线/为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对

称点称为P的一次反射点，记作P;P1关于直线/的对称点称为点P的二次反射点，记

作放.例如，点（-2,5）的一次反射点为（2,5）,二次反射点为（5,2）.根据定义，

回答下列问题：

（1）点（3,4）的一次反射点为,二次反射点为；

（2）当点A在第三象限时，点用（-4,1）,N（3,-1）,Q（-1,-5）中可以是点

A的二次反射点的是；

（3）若点A在第二象限，点Ai,A2分别是点A的一次、二次反射点，ZAIOA2=50°,

求射线0A与x轴所夹锐角的度数；

（4）若点A在y轴左侧，点4,A2分别是点A的一次、二次反射点，△44142是等腰

直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置.

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1.（2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,

自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的

是（）

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确;

8、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

。、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.mCa+b）—tna+mbB.3/-3x+l=3x（x-1）+1

C.7+3x+2=（x+1）（x+2）D.（a+2）2=a2+4«+4

【分析】利用因式分解的定义，将多项式和的形式化为积的形式，即可得到结果.

【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

8、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

C、是因式分解，故本选项符合题意；

。、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键.

3.（2分）已知三角形的三边长分别为3,4,x,且x为整数，则x的最大值为（）

A.8B.7C.5D.6

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，求出x的取值

范围，进而得到x的最大值.

【解答】解：：4-3=1,4+3=7,

.,.l<x<7,

为整数，

.••X的最大值为6.

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.（2）三角形的两边差小于第三

边.

4.（2分）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（）

A.节省材料，节约成本B.保持对称

C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮

【分析】桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故主要是利用了三角形的稳定性.

【解答】解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是三角形的稳定性.

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性.

5.（2分）下列运算结果为/的是（）

A.”力/B.49-/C.（a2）3D.al8-i-a3

【分析】分别根据同底数嘉的乘法法则，合并同类项法则，塞的乘方运算法则以及同底

数募的除法法则逐一判断即可.

【解答】解：A.。3.“2=05,故本选项不合题意；

B./与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

C.（/）3=/,故本选项符合题意；

D.a's-ra3—a'5,故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数暴的乘除法以及幕的乘方与积的乘方，熟

记累的运算法则是解答本题的关键.

6.（2分）如图，点C在NAOB的边0A上，用尺规作出了CP〃OB,作图痕迹中，而是

B.以点C为圆心、0M的长为半径的弧

C.以点E为圆心、DW的长为半径的弧

D.以点E为圆心、。。的长为半径的弧

【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断.

【解答】解：由作图可知作图步骤为：

①以点。为圆心，任意长为半径画弧QM,分别交0B于M,D.

②以点C为圆心，以0M为半径画弧EN,交。4于£

③以点E为圆心，以为半径画弧尸G,交瓠EN于N.

④过点N作射线CP.

根据同位角相等两直线平行，可得CP〃。艮

故选：C.

【点评】本题考查作图-基本作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

7.（2分）如图，点。是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点。在NA的平

分线上；②点。到△ABC的三边的距离相等；③OB=OC.以上结论正确的有（)

A.②③B.①②C.①③D.①②③

【分析】过0点作0。丄4B于D,0E丄BC于E,0F1AC于F,如图，根据角平分线

的性质得到0D=0E,OE=OF,则0D=0F,于是根据角平分线的性质定理的逆定理可

对①进行判断；同时可对②进行判断；由于不能确定/ABC=/AC8,则不能确定/OBE

=ZOCE,则可对③进行判断.

【解答】解：过。点作。力丄AB于。，0E丄BC于E,。尸丄4c于凡如图，

平分NZJBC,0D1BD,0E1BC,

：.OD=OE,

同理可得0E=0凡

：.OD=OF,

...点。在NA的平分线上，所以①正确；

OD=OE=OF,所以②正确；

,/不能确定/ABC=NACB,

不能确定/OBE=ZOCE,

.,•不能确定OB=OC,所以③错误.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考

查了角平分线的性质定理的逆定理.

8.（2分）如图，等腰△48C中，AB^AC,MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点8

重合，点N不与点C重合)，且MN=2BC,丄BC交A8于点。，NE丄BC交AC于

2

点E,在MN从左至右的运动过程中，△BMC和aCNE的面积之和()

A.保持不变B.先变小后变大

C.先变大后变小D.一直变大

【分析】妨设BC=2a,ZB—ZC—a,BM—m,则CN=a-机，根据二次函数即可解决

问题.

【解答】解：不妨设8c=2a,NB=NC=a,BM=m,则CN=”-机，

则有S阴=」•〃?•〃?tana+』(a-m)*(.a-m)tana

22

=Atana(m2+a2-2am+m2)

2

=_Ltana(2m2-lam+a1),

2

阴的值先变小后变大，

故选：B.

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键根据二次函数的性质得出面积改变规律.

二、填空题(每小题2分，共16分)

9.(2分)如果等腰三角形一边长为3,另一边长为10,那么它的周长是23.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10和3,而没有明确腰、底分别是多少，所

以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：分两种情况：

当腰为3时，3+3<10,所以不能构成三角形；

当腰为10时，3+10>10,所以能构成三角形，周长是：3+10+10=23.

故答案为：23.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；己知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.

10.（2分）已知一正多边形的每个外角是36°,则该正多边形是十边形.

【分析】多边形的外角和等于360°,因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成

36°n,列方程可求解.

【解答】解：设所求正〃边形是"边形，

则36°"=360°,

解得〃=10.

故正多边形是十边形.

故答案为：十.

【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确

运算、变形和数据处理.

11.（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小

正方形的顶点上，则表示△A8C重心的点是点。.

【分析】利用三角形重心的定义进行判断.

【解答】解：根据图形，点。为AB和BC边上的中线的交点,

所以点力为aABC重心.

故答案为点D.

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；三角形的

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

12.（2分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积

数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b）,则宽为

【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab,由题意可求右边场地的宽=（q2+/+2M）

+2(a+b),按此计算便可.

【解答】解：左边场地面积=/+/+2",

：左边场地的面积与右边场地的面积相等，

，宽=(c^+b2+2ab)4-2(“+〃)=Ca+b)2+2Ca+b)=丄(a+b)=—

故答案为：ya-t^-b,

【点评】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键.

13.(2分)借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”

由两根有槽的棒0A,。8组成，两根棒在。点相连并可绕。转动，C点固定，OC=CD

=DE,点、D,E可在槽中滑动，若/BDE=75°,则/COD=25".

【分析】由等腰三角形的性质分别求出NCO。，/OEC的度数，由外角的性质可求解.

【解答】解：设NCOD=x,

：OC=CD=DE,

：.ZCOD^ZCDO=^x,NDCE=NDEC,

■:NDCE=NC0D+NCD0=2x,

：.ZDEC=2x,

"：NBDE=ZDEC+ZC0D=3x,

；.3x=75°,

；.x=25°,

故答案为：25.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解

题的关键.

14.(2分)当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能

拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌.用一种或几种正多

边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作(3,3,3,3,3,3)；3个正三角

形和两个正方形，记作(3,3,3,4,4)；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形

的镶嵌方案(3,3,3,3,6)(答案不唯一).

【分析】一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为360。的约数即可；两种正多边形能

否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°,找到这样的正多边形或组合即

可.

【解答】解：正三角形的一个内角度数为60。，正六边形的一个内角度数为120°,那

么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做(3,3,3,3,6),

故答案为：(3,3,3,3,6)(答案不唯一).

【点评】此题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多

边形的一个内角的度数是360。的约数；两种或两种以上的正多边形能组成镶嵌，同一顶

点处的几个角之和为360°.

15.(2分)如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，且40=17,E,P分别是AC,

上的动点，则CP+EP的最小值等于17.

【分析】作BE丄AC于E,交A。于P,根据等边三角形的性质得到A。丄8C,求得点8,

C关于AO为对称，得至IJ8P=CR根据垂线段最短得出CP+EP=8P+EP=BE=AC,即

可得到结论.

【解答】解：8E丄AC于E,交AO于尸，

「△ABC是等边三角形，AO是BC边上的中线,

:.AD丄BC,

：.AD是BC的垂直平分线，

.•.点8,C关于AQ为对称，

：.BP=CP,

根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE,即此时CP+E尸的值最小，

；△ABC是等边三角形，

：.AC^BC,

'：S^ABC=^BC-AD=1AC'BE,

22

：.BE^AD=\1,

即CP+EP的最小值为17,

故答案为：17.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称

的性质是本题的关键.

16.（2分）新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价。元、重加千克，

B礼物单价（。+1）元，重（m-1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲

盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲

盒的总价钱相差1元,通过称重其他盲盒，大家发现：

称重情况重量大于小林与小林的盲盒重量介于小林与小李的盲盒重量小于小李

的盲盒的一样重和小李之间的一样重的盲盒的

盲盒个数05094

若这些礼物共花费2018元，则“=50元.

【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元，再

根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件A礼物和1件B

礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可.，

【解答】解：礼物重胆千克，8礼物重（〃L1）千克，

...A礼物比B礼物重1千克，

：每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，

.•.小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物；或小李的盲

盒中为2件8礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；

•••不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1-4=1(元)，

由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1

件8礼物，不可能为2件8礼物，

.•.小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，

.•.重量小于小李的盲盒为2件B礼物，

•••与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李

的盲盒有4盒，

；.2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，2件A礼物有6盒，

A2X4(a+1)+10Xa+10(a+1)+2X6a=2018,

解得4=50,

故答案为：1,50.

【点评】本题主要考查数据的收集与整理，能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒

中的礼物时解答此题的关键.

三、解答题(共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每

题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分)

17.(8分)因式分解：

(1)3/+6x+3；

(2)a3-9a.

【分析】(1)先提公因式，再用公式法因式分解即可；

(2)先提公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：(1)3/+6x+3=3(?+2x+l)=3(x+1)2；

(2)a3-9a—a(a2-9)—a(a-3)(a+3).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题

的关键.

18.(8分)计算：

232

(1)(-a)-?a；

(2)[(m+n)(in-n)+(-n)2]-r2m.

【分析】(1)根据同底数幕的乘除法，新的乘方和积的乘方即可得出答案；

(2)根据平方差公式和整式的除法计算即可.

【解答】解：(1)a^*a+(-a?)3+/

=a4+（-a6）-ra2

=a4-a4

=0；

（2）[（m+n）Cm-n）+（-〃）2]4-2m

—（序-ir+ir）

=nr—2m

2

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幕的乘除法，幕的乘方和积的乘

方，平方差公式是解题的关键.

19.（5分）已知/-x+l=0,求代数式（x+1）2-（x+i）（2x7）的值.

【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值.

【解答】解：原式=/+2x+l-+x~2x+1

=-/+x+2,

当/-x+l=0,即-/+x=l时，原式=1+2=3.

【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式.

20.（5分）如图，AB=4O,AC=AE,/1=N2.求证：BC=DE.

D

【分析】要证明BC=OE,只要证明三角形ABC和4OE全等即可.两三角形中己知的条

件有AB=">,AC=AE,只要再得出两对应边的夹角相等即可.我们发现N4BC和ND4E

都是由一个相等的角加上ND4C,因此NABC=ND4E,这样就构成了两三角形全等的

条件（SAS）,两三角形就全等了.

【解答】证明：；N1=N2,

,Z\+ZDAC=Z2+ZDAC.

即：ZBAC=ZDAE.

，AB=AD

在△ABC与又△AOE中，<ZBAC=ZDAE>

AC=AE

：.BC=DE.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是

解此类题的常用方法.

21.（6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图

过程.

已知I：如图1,线段〃和线段从

求作：△ABC,使得A8=AC,BC=a,8c边上的中线为江

作法：如图2,

①作射线BM,并在射线BM上截取BC=a；

②作线段BC的垂直平分线PQ,PQ交BC于D；

③以。为圆心，b为半径作弧，交PQ于4；

④连接AB和AC.

则△ABC为所求作的图形.

根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；

（2）完成下面的证明：

证明：由作图可知BC=a,AD=b.

为线段8c的垂直平分线，点A在PQ上，

：.AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）（填依据）.

又•.•线段BC的垂直平分线PQ交BC于D,

-BD=DC.

为8c边上的中线，且

.a,

-k------!Bc7M

图1图2

【分析】（1）根据要求作出图形即可;

（2）利用线段的承载着平分线的性质，等腰三角形的性质解决问题即可.

（2）证明：由作图可知BC=a,AD=b.

为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，

：.AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），

又•线段BC的垂直平分线PQ交BC于D,

：.BD=DC,

为BC边上的中线，且

故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，BD,DC.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知

识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.（5分）如图，在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,平分/ABC,AD=10,求

CO的长.

【分析】在RtZXABC中利用NC=90°,ZA=30°易求N4BC=60°,再利用角平分线

性质可求乙4B£）=NOBC=30°,从而可得进而可求BD,在Rt/XBDC中，

利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD.

【解答】解：在RtZ\48C中，：NC=90°,/A=30°,

.•./A8C=60°,

：8。是NABC的平分线，

.,.NA8O=/£）BC=30°,

ZABD^ZA,

：.BD=AD=\O,

又,../£>BC=30°,

.\DC=ABD=5.即DC的长是5.

2

【点评】本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质.解题的关键是得出2。

=AD=10.

23.（5分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线，把n

边形分成（〃-2）个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题.从而得到〃

边形的内角和等于（“-2）-180°,现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，

再次证明〃边形内角和定理.

方案一方案二

如图，尸为"边形A|A2.........An内一

点，连接附1,PA2,……，PAn,那么如图，P为"边形A1A2……An边

”边形被分成了〃个三角形,A1A2上的任意一点，连接办3,以4,

由此推理〃边形的内角和定理.……，PA„,那么〃边形被分成

了（〃-1）个三角形,由此推理

“边形

的内角和定理.

证明：证明：

【分析】在〃边形内任取一点0,并把。与各顶点连接起来，共构成〃个三角形，这〃

个三角形的角和为"780。，再减去以点0为顶点的一个周角，就可以得到“边形的内

角和为("-2)*180°；

连接P点与其它各顶点的线段可以把“边形分成(„-1)个三角形.

【解答】证明：方法①在”边形内任取一点0,并把。与各顶点连接起来，共构成〃个

三角形，这〃个三角形的角和为“780°,再减去以点。为顶点的一个周角，就可以得

到〃边形的内角和为("-2)780°.

故答案为：n；

方法②在n边形的任意一边上任取一点P,连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形

分成1)个三角形，

这1)个三角形的内角和等于(〃-,

以P为公共顶点的(〃-1)个角的和是180°,

所以”边形的内角和是(〃-1)780°-180°=(n-2)H80°.

故答案为：(n-1).

【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转

化为三角形中解决.

24.(6分)如图，在平面直角坐标系X。)，中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3),

B(1,0),C(1,2),

(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△4BC1,其中Ai的坐标为(2,-3)；

(2)如果要使以8、C、。为顶点的三角形与△ABC全等(A、。不重合)，写出所有符

合条件的点。坐标.

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A8C关于x轴对称的△AiBiCi,进而可以得

Ai的坐标；

（2）根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点。坐标.

【解答】解：（1）如图，△AiBiCi即为所求；4的坐标为（2,-3）；

故答案为：（2,-3）；

（2）所有符合条件的点。坐标为：（0,3）或（0,-1）或（2,-1）.

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关

键是掌握轴对称的性质.

25.(6分)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式/

-2x+3,由于f-2x+3=£-1)2+2,所以当x-1取任意一对互为相反数的数时，多

项式2%+3的值是相等的，例如，当x-l=±/,即x=2或0时，/-2x+3的值均为

3；当x-l=±2,即x=3或-1时，--2%+3的值均为6.

于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-f取任意一对互为相反数的数时，

该多项式的值相等，就称该多项式关于x=l对称.例如/-2%+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(/)多项式7-6x+10关于x=3对称;

(2)若关于x的多项式/+26x+3关于x=4对称，求6的值；

(3)整式(/+8x+16)(X2+4X+4)关于x=-3对称.

【分析】(1)对多项式进行配方，根据新定义判断即可；

(2)求出/+2&V+3的对称轴，令对称轴x—4即可；

(3)对多项式进行配方，根据新定义判定即可.

【解答】解：(1)/-6x+10=(x-3)2+1,

则多项式关于x=3对称.

故答案为：3；

(2)：/+2厶+3=(x+b)2+3-b2,

关于x的多项式x^+2bx+3关于x=-h对称，

Z.-6=4,

:.b=-4；

(3)原式=(x+4)2(x+2)2

=[(x+4)(x+2)]2

=(/+6x+8)2

=[(x+3)2-I]2,

.•.关于x--3对称.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴

是解题的关键.

26.(7分)在△ABC中，。是8C的中点，且N84E>W90°,将线段A8沿所在直线翻

折，得到线段4B，，作CE〃AB交直线于点E.

(1)如图，若AB>AC,

①依题意补全图形；

②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；

(2)若48VAC,上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式

表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系(不需证明).

【分析】(1)①依照题意补全图形；

②由“ASA”可证△8DF纟△CDE,可得CE=BF,DF=ED,由“A4S”可证△AOG丝

/\ADH,可得DG=DH,AG=AH,由HL可证RtADFG注RtADEH,可得GF=EH,

可得结论；

(2)分两种情况讨论，由“ASA”可证△BDF纟△(?£)£：,可得CE=BF,DF=ED,由“AAS”

可证△AQG丝△4£>//