2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高三（上）段考数学试卷一（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高三(上)段考数学试卷(一)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x[l<3*W9},B={x|^|<0},则4C8=()

A.(1,2)B.(0,1)C.(0,2)D.[-2,2)

2.命题“Vx>0,%2一万+1>0”的否定为()

A.Vx>0,x2—x+1<0B.Vx<0,x2—x+1<0

C.3%>0,x2—x+1<0D.3%<0,x2—x+1<0

3.已知复数Zi=1+2i,Z2=2-i(i为虚数单位)，Z3在复平面上对应的点分别为4,B,C,若四边形04BC为

平行四边形(。为复平面的坐标原点)，则复数居为()

A.1-3iB.1+3iC.-1+3iD.-1-3i

4.设a,0均为锐角,则“a>20”是“sin(a一°)>sin."的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交

通拥挤，经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(50,100)；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，

路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N(60,16).该小区的甲乙两人分别有70

分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为()

A.①、①B.①、②C.②、①D.②、②

log1^3—%)血%V1

2''的值域为R,则m的取值范围为()

{%2-6%+>1

A.(0,8]B.(0号9

C.[|,8]D.(-8,-l]u(0,Q

7.设常数a使方程sm2x+\T-3COS2X=Q在区间[0,2兀]上恰有五个解々(i=1,2,3,4,5),则/位勺=()

A77r口257r厂.13TT卜147r

A-TB--C-D-

x2x

8.若函数/(%)="+aXe-ae(aGR)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.g+8)B.(A,l)

C.(0，W1)ugl1)D.(0，W1)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.若a>0>b>c,则下列结论正确的是()

A.->2B.b2a>c2a

cb

C.任D.a-c>2yj(a-h)(b-c)

io.已知d与3均为单位向量，其夹角为仇则()

A.0<|a+b|<2B.-1<a-K<1

C.\a+b\>l^ee(0，v)D.06G，TT)=I为一片>1

<5J

11.已知定义在R上的奇函数/(%)图象连续不断，且满足/(x+2)=/(x),则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的周期7=2

B./(2022)=/(2023)=0

C.f(x)在［-2,2］上有4个零点

D.(1,0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心

12.已知数列｛即｝，｛%｝的项数均为k(k为确定的正整数,k22),若%+a2+…+耿=一1,儿+尻+…+

k

bk=3-l,则()

A.%=1B.｛%｝中可以有A—1项为1

C.曲可能是以泌公比的等比数列D.曲可能是以2为公比的等比数列

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球

运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

14.已知函数/'(X)=ax?+(/-2x+2)〃，不论a为何值，曲线y=/(x)均存在一条固定的切线，则这条

切线的方程是.

15.若a>0,b>0,且=7+［7=1，则a+2b的最小值为___.

2a+bd+1

16.写出一个同时满足下列三个性质的函数/(x)=.

①/(尤)是奇函数；②/(x)在(2,+8)单调递增；③f(x)有且仅有3个零点.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1<%<10),每小时可获得的利润是100(5%+

1售元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

18.(本小题12.0分)

已知在△ABC中，角4,B,C的对边为a,b,响量m=(2cos(,-sin(A+B)),n=(cos",2s讥(A+B)),

且?n1n.

(/)求角C的大小.

(H)若a?=炉+^©2,求sin(A-B)的值.

19.(本小题12.0分)

已知等差数列｛即｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列｛an｝的通项公式；

(2)若a2,a3,4成等比数列，求数列｛|an|｝的前ri项和.

20.(本小题12.0分)

如图，直三棱柱A8C-&B1C1中，乙4cB=90。，=3,AC=BC=2,。为4B中点，E为8勺上一点,

nBE_】

且两~九

(I)当4=5时，求证：CE_L平面&GD；

(H)若直线CE与平面占0E所成的角为30。，求；I的值.

21.(本小题12.0分)

若函数为定义域D上单调函数，且存在区间阿0UD(其中a<b),使得当xe[a,0时，f(x)的取值范

围恰为则称函数/(x)是。上的正函数，区间[a,句叫做等域区间.

(1)是否存在实数使得函数g(x)=/+血是(_8,0)上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若

不存在，请说明理由.

(2)若九(x)=/++m,且不等式aWh(x)Wb的解集恰为［a,b］(a,beZ),求函数九。)的解析式.并判

断［a,b］是否为函数h(x)的等域区间.

22.(本小题12.0分)

设函数f(x)=N+区其中常数a>0,且aAl).

(1)若常数m〉3,当a=10时，解关于％的方程/(%)=m；

(2)若函数/(乃在(-00,2］上存在最小值，且最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4={x|0<x<2},B=(x\-2<x<2},

AC\B=(0,2).

故选：C.

根据指数函数的单调性可求出4根据分式不等式的解法可求出B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了指数函数的单调性，分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：Vx>0,一一%+1>o”的否定为三%>o,x2-x+1<0.

故选：C.

根据全称量词命题的否定判断各选项.

本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设Z3=x+yi(x,yeR),

复数Z]=1+2t,z2=2—i,

则4(1,2),B(2,-l),

故荏=(1,-3).

0(0,0),C(x,y),

OC=(x,y)，

•••四边形048c为平行四边形，

OC=AB，即C(l,-3),

・••z3=1—

:.z3=1+3i.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的几何意义，向量的坐标运算，求出Z3,再结合共辄复数的定义，即可求解.

本题主要考查共规复数的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了条件关系的判断，正弦函数的单调性，属于中档题.

分别说明充分性和必要性，即可解出.

【解答】

解：因a,£均为锐角，若］>a>20>O,则］>a一d>0>0,

・•・sin(a-6)>sinp,

若Q,/?均为锐角，即一5<a-/?<5，0<夕<去又sin(a-0)>si印，

:・a-0>0,即a>2/7,

故a,6均为锐角,则“a>20”是“sin(a—/?)>sin£”的充要条件,

故选：C.

5.【答案】C

【解析】解：对于甲：有70分钟可走，

若走第一条路：则P(X<70)=P(X<50+2x10)=1-1-詈"=0977,

若走第二条路：贝UP(X<70)>P(X<68)=P(X<60+2x4)=1一二等=0.977,

故甲走路线②，

对于乙：有64分钟可走，

若走第一条路：则P(X<60)=P(X<50+10)=1-汽”③=0.8415,故P(X<64)>P(X<64)=

0.8415,

若走第二条路：贝i」P(X<64)=P(X<60+4)=］—「683=08415,

故乙走路线①.

故选：C.

分别计算两条路的P(XW70),P(X<64),然后比较即可.

本题主要考查了正态分布的性质，以及将非标准正态分布转化为标准正态分布比较大小的问题，属于基础

题.

6.【答案】B

【解析】解：①若m>0：

则当X<1时，f(x)=，og“3-单调递增，

2

当％之1时，f(x)=--6x+机=(%-3尸+机一9在(3,+8)上单调递增，在［1,3)上单调递减,

若函数值域为R则需/⑶=机-9Wmloai(3-1)=一叫解得。<7n我；

22

②若m<0,

则当汽<1时，f(x)=log^3一%)根单调递增，

2

当％之1时，f(%)=/-6%+771=(%-3)2+771-9在(3,+8)上单调递增，在［1,3)上单调递减，

不满足函数值域为R,不符合题意，舍，

综上：nt的取值范围为(0,5,

故选：B.

讨论m>0和时函数的单调区间，得到mW0时不成立，m>0时需满足/⑶=机一9W加0%(3-

1)=—m,解出即可

本题考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：sin2x+V_3cos2x=2(^sin2x+?cos2x)=2(sm2x+g)，

由图像可知，s讥2%+V~^cos2x=a在区间上恰有五个解，只有a=时才能成立,

由2(sin2%+卞=e[0,2n]

解得：=0,%2==71>X4~誓，％5=2几，

।।।77rc13TT

Xi=i/=0+石+兀+至+2〃=—，

故选：C.

令f(x)=sin2x+y］~^cos2x=2(s讥2x+》作出函数在［0,2兀］上的图像，判断方程s讥2x+V_3cos2x=a

在区间［0,2网上恰有五个解的条件，解方程.

本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：显然x=0不是f。)=0的解，令产+axe*—de2*=0,

则2+a-a•J=0,

exx

设t(%)=续,则t+Q-7=°，即产+Qt-Q=0，

又t'(x)==爱，故当X<1时，t，(x)>0,t(x)单调递增，当X>1

(_ex)匕

时，t'(%)V0,1(%)单调递减,

且£(1)=：，%->-OO0't，t(x)-00,XT+8时，t(%)T0,作出函数t(%)的大致图象如图所示,

设方程产+砒一Q=0的两根为口，12,则要使y=/(%)有三个零点，则需①口<o且o<12Vm或②G=；

且0<七2v)

/e

1(_QV01

当ti4。且o<12V-时,则需解得o<QV2_；

c(-2"一au一Q

当t］=；且0<t2<；时，则。=葭三，1t2=-a=^2>解得12=白仁(。3)，不合题意.

综上，实数a的取值范围为(0,*).

故选：D.

令7(x)0,可得a+a-a《=0,设出)=/，可得t2+at—a=0,利用导数作出函数t(x)的大致图象,

结合题意可知方程户+at-a=0的两根为J需满足①匕<。且0<七2<；，或②匕=；且0<12<；，然

后利用二次函数根的分布求解即可.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：Q>0>b>c,

6—c>0,be>0,

_.a_aa(fe-£)>Oj即”,故A正确；

cbbecb

不妨取a=l,b=-2,c=-3,b2a=(—2)2=4,c2a=(-3)2=9,显然4<9,故B错误;

va>0>&>c,

・•・c—bV0,a—c>0,

=即厘>口，故c正确；

a—ccc(a—c)a—cc

va>0>b>C,

/.a-c>0,a—b>Ofb—c>0,a—c—2y/(a—6)(b—c)=(Q-b)+(b-c)-2yl(a—b)(b—c)=

(Va—b—7b—c)2>0,

a-c>2J(a—b)(b—c),D正确.

故选：ACD.

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4：五与B均为单位向量，其夹角为。，则|五+3|2=।J|2+2a-6+|b\2=2+2cos6，

v6e[0,n],则cos。则2+2cos。W[0,4],则0工|苍+方|42，故A正确；

对于8：3与族均为单位向量，其夹角为仇a-K=|a|-|K\cosO=cosd»

v0E[O,TT],则cos。E[-1,1],故-故8正确;

对于C：益与族均为单位向量，其夹角为仇贝万+方|2=|初2+2五.9+|石|2=2+2COS。，

•••9e[O,TT],则cosee[-1,1],则2+2cose>1,解得cos。>则。e[o,y),故c错误;

对于D：・••eWG，/r),cosJe(—1,；),则|1一3|2=|五|2一2五.E+|E|2=2-2cos8e(l,4)，

|a-K|>1.故。正确，

故选：ABD.

根据向量的线性运算和数量积运算，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：4因为函数/(为满足f(x+2)=/(x),所以函数是周期函数，周期7=2,故A正确；

8.因为函数是定义域为R的奇函数，所以"0)=0,且/(—1)=—/(I),

又函数是周期为2的函数，所以f(—l)=f(l),所以/(1)=0,

/(2022)=/(1011x2)=/(0)=0,f(2023)=/(1011X2+1)=/(I)=0,

所以/(2022)=/(2023)=0,故8正确；

C根据周期可知/(-2)=/(2)=/(0)=0,且/(一1)=/(I)=0,所以函数在区间[一2,2]上至少有5个零点，

故c错误；

D因为函数周期为2的奇函数，所以/(%)=且/(x)=f(x+2),

所以f(x+2)=-f(-*),

所以函数人为关于点(1,0)对称，故。正确.

故选：ABD.

首先判断函数的周期，再根据函数的周期和奇函数的性质，计算特殊值，并结合中心对称的性质，判断选

项.

本题考查了奇函数的性质、抽象函数的对称性、周期性及函数的零点，属于中档题.

12.【答案】AC

kfe-1

【解析】解：由题意可得%+a2++ak=2—1①，%+a2+■■■+ak-i=2-1②，k>2

①一②得以=>2,同理可得为=2x3"T,/C>2,

2

对于4,«1+a2=2—1=3,a2=2,所以%=1,故A正确；

n-1

对于B,瓦+尻=32-1=8,^=2x3=6,所以瓦=2,bn=2x3>2,故B错误；

对于C、D,==2xA)k-i,所以当上22时，｛%｝是以,为公比的等比数列，故C正确，£»错误.

故选：AC.

利用an=Sn-Sn-i求出数列｛斯｝,｛%｝,再根据k的取值判断即可.

本题主要考查等比数列的前n项和，属于基础题.

13.【答案】12

【解析】【分析】

本题考查了集合的混合运算，属于基础题，关键是运用集合的知识求解实际问题.

设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-乃人，只喜爱乒乓球的有(10-X)人，

由此可得(15-乃+(10-x)+x+8=30,解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不

喜爱乒乓球运动的人数.

【解答】

解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-%)人，只喜爱乒乓球的有(10-X)人，

由此可得(15-%)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,

所以15-％=12,

即所求人数为12人，

故答案为：12.

14.【答案】y=2

【解析】解：•・•f(%)=ax2+(x2—2X+2)e%,

2x2x

・•・f(x)=2ax+(%—2x+2+2%—2)e=2ax+xef

则f'(0)=0,/(0)=2,这两个值均与a无关，

则不论a取何值，曲线y=/(尢)均存在一条固定的切线为y=2.

故答案为：y=2.

求出导函数f'Q),求出与a无关的导数值，可得切点以及斜率，得到切线方程；

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】史尹

【解析】【分析】

本题考查基本不等式，属于中档题.

把a+2b变形为a+2b=2岁电西_3再利用已知可得&=3+”3(匕+1).1+士)_弓，利

222、2a+bb++2rb2(

用基本不等式即可得出.

【解答】

11

解：「a>。，b>0,且引+闲=1,

(2a+b)+3(b+l)3(2a+b)+3(b+1)113

"a+2b=22=2(2a+b+KT1)-2

13(b+l)2a+b3

=2[1+3+2a+b+~b+T]~2

I3(b+l)2a+b、34+2C32>T3+1

毛(4+n2J=——―2=-^—

当且仅当芈要=鬻，a>0,b>0,且』+m=1，

2a+bb+12a+bb+1

即a=g+?时取等号.

a+2b的最小值为弯2

故答案为驾±1.

16.【答案】x(x+l)(x-1)(答案不唯一)

【解析】解：根据题意，f(x)是奇函数，不妨设/(%)的定义域为R，则有/(0)=0,且函数图象关于原点对

称；

又/。)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称,

又由/(x)在(2,+8)单调递增，

符合题意的函数如/(X)=x(x+1)(%—1),

其定义域为R，有/(—x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，

若/(乃=0,则有x=0或±1,即/(%)有3个零点，

其导数(。)=3/—1,当x>2时，有尸(x)>0,即函数f(x)在(2,+8)单调递增，

即函数f(x)=x(x4-l)(x-1)满足3个条件，

故答案为：x(x+l)(x—l)(答案不唯一)

根据题意，根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证(2,+8)单

调递增即可写出解析式.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的零点和单调性，属于基础题.

17.【答案】解：(1)生产该产品2小时获得的利润为100(5%+1-,)x2=200(5万+1-今

根据题意,200(5%+1-令23000,BP5X2-14X-3>0

x>3或x<

V1<x<10,3<x<10；

(2)设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100(5x+1-1)x

=90000(-多+；+5)=9x10453c-y+软

•••1WxS10,x=6时，取得最大利润为9XIO,x胃=457500元

故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.

【解析】(1)求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；

(2)确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润.

本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键.

18.【答案】解：(/)由m-n=0得2cos29-2sin2(A+B)=0,

即1+cosC-2(1—cos2C)=0；整理得2cos2c+cosC—1=0

解得cosC=一1(舍)或cosC=1

因为OVCVTT,所以C=60。

(II)因为sin(4—B)=sinAcosB-sinBcosA

由正弦定理和余弦定理可得

222222

.4a.ba+c-bb+c-a

sinA=痛，smB=-,cosB=-^--,cosAA=

代入上式得sin（4—B）=喘〃+c2-#bN+C2-_2（4一力2）

2R2ac2R2bc4cR

又因为。2—炉=2C2,

故sin（A-B）=^=提=/讥。=?

所以sin(4—8)=

【解析】(1)先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0,可得到关于cosC的方程，进而得到答案.

(2)先表示出sin(A-B)的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案.

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.三角函数和向量的综合题是高考的热点问题，要给予重视.

19.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,则a2=ai+d,a3=ai+2d

由题意可得，｛盘K7+2d…

解得或修(3T

由等差数列的通项公式可得，an=2—3(n—1)=—3n+5或0?1=—4+3(n—1)=3n—7

(2)当即=-3九+5时，a2,a3,%分别为-1,-4,2不成等比

当册=3九一7时，的，。3,%分别为一1，2,一4成等比数列，满足条件

故1匐=吁7|吨"篙/2

设数列｛|an|｝的前九项和为Sn

当n=1时，S]=4,当九=2时，$2=5

当？iN3时9Sn=|%|+\a，21+…+|un|=5+(3x3—7)+(3x4—7)+…+(3n-7)

=5+5-2)[2；(3n-7)]=3储-11+20,当„=2时，满足此式

(4,几=1

综上可得%=j3n2—lln+20?

【解析】本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的

综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用.

(1)设等差数列的公差为d,由题意可得，(aX+d)(^+2d)=8,解方程可求的，d,进而可求通项；

(2)由(1)的通项可求满足条件a?,。3,为成等比的通项为an=3n-7,则|即|=|3n-7|=｛二

根据等差数列的求和公式可求.

20.【答案】(I)证明：建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0,0),

24(2,0,0),8(020),4(203),8式0,2,3),(0,0,3),

22

•••谓=(0,2,|)...(3分)

又打=(2,0,0),m=(1,1,-3)

•••CE•GA】=0,CE-C1D=0>

•••CE_L平面&GD；...(6分)

(0)解：由题知E(0,2,总)，荏=(0,2,法)，布=(一1,1,一3)，DE=

(TL勃

・•・平面&DE的一个法向量为元=(3+自,3+法,0)...(9分)

1+A1+4

n-CE._1

\n\\C'E\'=2

即，2(3■)_=；解得;I=2....(13分)

J4+(祟)2”(3+各

【解析】(I)建立空间直角坐标系，证明无•不7=0,方•弓万=0，即可证明CEJL平面4G。；

(II)求出平面&DE的一个法向量，直线CE的向量，根据直线CE与平面&DE所成的角为30。，利用向量的夹

角公式，即可求;I的值.

本题考查线面垂直，考查直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，确定向量的坐标是关键.

21.【答案】解：⑴因为函数g(x)=小+M是(-8,0)上的减函数,

所以当%€口句时，既广，，即6+m=。

(g(b)=Q(h2=a

2

两式相减得〃—b=b—af即b=—(a+1),

代入a?+m=b得

Q2+Q+7N+I=O,

由a<Z?<0»且力=—(a+1)得一1<a<—

故关于a的方程a?+a+m+l=0在区间(一1,一分内有实数解,

记h(a)=a2+a4-m+l,

祖―1)>03

则［%(,)<0，解得血€(-1,-力

(2)/i(x)=x2+2mx+m

由不等式QW以%)Wb的解集恰为［a,0(©hGZ),且九(乃为二次函数,

得/i(a)=b,h(b)=b且-2m=a+b,2m=—(a+b),m=—.

所以a?+2ma+m=b,①/+2mb+m=b,②

将2m=—(a+b),m=—代入