2022-2023学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷

1.下列图案中,是中心对称图形的是（

B.D.

2.下列各式中,是），关于x的二次函数的是（）

「12

A.y4xB.y=3%—5C.y=YD.y=2x2+1

3.如图，点A、B、C、。在。0上，Z.CAB=20°,则4。。8为（）

A.20°

B.50°

c.60°

D.70°

4.抛物线y=/+2x—3的对称轴的方程是（）

A.x=—1B.%=1C.x=|D.x=-2

5.如图，五边形ABODE是O。的内接正五边形，则正五边形的中心

角NCO。的度数是（）

A.72°

B.60°

C.48°

D.36°

6.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平

均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.200(1+x)2=242B.200(1-x)2=242

c.200(1+2x)=242D.200(1-2%)=242

7.用配方法解方程一一4尤一4=0,下列变形正确的是（）

A.0-2)2=8B.(x-2)2=0C.(x-2)2=6D.(%-2)2=4

8.如图，AB是O。的直径，弦CD14B于点E,如果4B=20,CD

16,那么线段OE的长为（）

A.4

B.6

C.8

D.9

9.已知与，%2是一元二次方程/-8x+3=0的两个根，则久62+X1+%2的值是()

A.-1B.11C.1D.-11

10.将抛物线y=x2-2向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为()

A.y=(x+1)2—2B.y=(x—I)2—2C.y=(x+2)2+1D.y=(x-2)2+1

11.如图△ABC绕点8顺时针旋转，旋转角是NABC,那么下列说法错误的是()

A.BC平分乙4BEB.AB=BDC.AC//BED.AC=DE

12.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x—1.

则下列结论正确的有()

①abc>0；

®2a+b=0；

③函数y=ax2+bx+c的最大值为一4a；

④若关于x的方程a/+bx+c=a+1无实数根，则<a<0.

13.习近平总书记在党的二十大报告中强调：“青年强，则国家强”.小明同学将

“青”“年”“强”“则,，“国”“家”“强”这7个字，分别书写在大小、形状完全相同

的7张卡片上，从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是.

14.若关于x的一元二次方程+=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件

的整数机的值______.

15.抛物线y=3(x-l)2-4的顶点坐标是.

16.圆锥底面圆的半径4,母线长12,则这个圆锥的侧面积为.

17.如图，△ABC绕点A顺时针旋转100。得到A/IEF,若NEAF=30。，贝此a=

18.如图，半径为4的。0中，CQ为直径，弦ABLCD且过半径0。

的中点，点E为。。上一动点，CF_LAE于点尸.当点E从点B出发逆

时针运动到点C时，点尸所经过的路径长为.

19.解下列方程：

(l)x2+2%-1=0；

(2)2--芯-3=0.

20.口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，黄球

有10个，绿球有若干个.请回答下列问题：

(1)摸出红球是,摸出蓝球是；(从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事

件”中选一个填空)

(2)若口袋中有7个绿球，任意摸出一个球是绿球的概率为；

(3)若从中任意摸出一个球是黄球的概率为求绿球有多少个.

21.如图，OA,08是。0的两条半径，点C为卷上的一点，连接AB,AC,OC,^BAO=25。.

(1)若C为检的中点，求NB0C的度数；

(2)若4C〃0B,

22.如图，一张正方形纸板的边长为8cm,将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角

形(图中阴影部分).设ZE=BF=CG=DH=%(cm),阴影部分的面积为'(cm?).

(1)求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；

(2)当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少.

23.如图，四边形ABC。内接于。0,AB=AC,点。在。。上.

(1)如图①，若4ACB=4BDC,求NBOC的大小；

(2)如图②，若BO为。。的直径，过点A作。。的切线，交CD的延长线于点E,求NAEC的

大小.

图①图②

24.如图，Rt△OABma.OA^.y^k,Z.AOB=30",OB=C，将RtAAOB绕原点顺

时针旋转得到△"OB',旋转和记作a,点A、B的对应点分别为点A、B'.

(1)如图①，当a=30。时，求点A和点B'的坐标；

(2)如图②，当a=45。时，求点4’的坐标；

(3)在(2)的条件下，直接写出点夕的坐标.

y,y

图①图②

25.如图，抛物线丫=/+以+(:与无轴分别交于点4(—1,0),点8,与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；

(2)若点尸为该抛物线对称轴上的一个动点，当P4=PC时，求点P的坐标；

(3)点M(m,n)(0<m<3)在抛物线上，当他取何值时，AMBC的面积最大？并求出AMBC面

积的最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形的概念，判断是否是中心对称图形要寻找对称中心，观察图形旋转180

度后是否与原图重合.

【解答】

解：一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫

做中心对称图形.

选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原图重合，所以不是中心对

称图形；

选项。能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原图重合，所以是中心对称图形：

故选：D.

2.【答案】D

【解析】解：4根据二次函数的定义，y=4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意.

B.根据二次函数的定义，y=3x—5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意.

C.根据二次函数的定义，y=丝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意.

。.根据二次函数的定义，y=2/+i是二次函数，故。符合题意.

故选：D.

根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c是二次函数，其中“b与c是常数，a*0）解决此题.

本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：•••点A、B、C、。在。。上，/.CAB=20°,

Z.CDB=/.CAB=20°,

故选：4

利用圆周角定理即可解决问题.

本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.【答案】A

【解析】解：•・•y=/+2x-3,

••・抛物线对称轴为直线X=-|=一1，

故选：A.

由二次函数对称轴为直线X=-及求解.

2a

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

5.【答案】A

【解析】解：•五边形ABCOE是。。的内接正五边形，

，五边形A8CQE的中心角“0。的度数为嗒=72。，

故选：4

根据正多边形的中心角的计算公式：逆计算即可.

n

本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：迎是解题的关键.

n

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，可列方程：200(1+x)2=242,

故选：A.

设该快递店揽件日平均增长率为x,关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数x(l+揽件日平均增

长率产，把相关数值代入即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题

的关键.同时要注意增长率问题的一般规律.

7.【答案】A

【解析】解：-4x-4=0,

:，x2—4x=4,

则/一钮+4=4+4,即(x-2/=8,

故选：A.

先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左

边写成完全平方式即可得.

本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理.

根据垂径定理可得，DE=^CD,在以△DOE中，根据勾股定理，0E=70D2-DE2,计算即可

得出答案.

【解答】

解：TAB=20,

:.OD=10,

vCD1AB,

11

:.DE=^CD=^X16=8,

在&△DOE中，

22

OE=VOD-DE=J102-82=6.

故选：B.

9.【答案】B

【解析】解：根据根与系数的关系得与+亚=8,xxx2=3,

所以刀1》2+X1+芯2=3+8=11.

故选：B.

先利用根与系数的关系得打+右=8,打次=3,然后利用整体代入的方法计算.

本题考查了根与系数的关系：若%,亚是一元二次方程。％2+陵+©=0(£1羊0)的两根时，X1+

b_c

x2=X1X2=

10.【答案】B

【解析】解：抛物线y=/_2向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=(x-I)2-2.

故选：B.

直接根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键.

I1.【答案】C

【解析】解：,：△ABC绕点8顺时针旋转，旋转角是NABC,

AB4的对应边为BD,BC的对应边为BE,

:.BD=BA,BE=BC,Z.DBE=Z.ABC,

所以A,B,D选项正确，C选项不正确.

故选：C.

由^ABC绕点8顺时针旋转，旋转角是4ABC,根据旋转的性质得到BD=B4,BE=BC,乙DBE=

^ABC,即可对选项进行判断.

本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转

角，对应点到旋转中心的距离相等.

12.【答案】C

【解析】解：••・抛物线开口向下，

a<0,

•・・抛物线交y轴于正半轴，

c>0,

v->0,

2a

:.b>0,

abc<0,故①错误；

•・・抛物线的对称轴是直线％=1,

bq

・一五j

・•.2Q+/?=0,故②正确；

•・・抛物线交x轴于点(-1,0),由对称性可知抛物线与无轴的另一交点为(3,0),

工可设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-3),

・•・当x=l时，y的值最大，最大值为ax(1+1)x(1-3)=-4a,故③正确；

•・,关于x的方程QM+人工+。=@+1无实数根，

・•・a(x+1)(%—3)=a+1即a——2ax—4a-1=0无实数根，

:.4=4a2—4a(—4a—1)<0,

:.a(5a4-1)<0,

A-1<a<0,故④正确.

故选：C.

①根据抛物线的开口方向与位置分别判断出a,4c的正负，即可得结论；

②根据抛物线的对称轴判断即可；

③设抛物线的解析式为丁=QQ+1)(X—3),可知当x=l时，y的值最大，最大值为一4Q；

④根据一元二次方程根的判别式小于0,解不等式即可得结论.

本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

13.【答案】|

【解析】解：根据7张卡片中，恰好写着“强”字的有两张，

••・从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是於

故答案为：p

根据概率公式计算即可.

此题考查了简单概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键.

14.【答案】1

【解析】解：根据题意得A=2?+4m>0,

解得m>-1,

所以当加取1时，方程有两个不相等的实数根.

故答案为：1（答案不唯一）.

先根据判别式的意义得到A=22+4m>0,解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即

可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0（a#0）的根与A=b2-4ac有如下关系：

当4>。时，方程有两个不相等的实数根：当4=0时，方程有两个相等的实数根；当A<。时，方

程无实数根.

15.【答案】（1,一4）

【解析】解：抛物线y=3（%—-4的顶点坐标是（1,一4）.

故答案为：（1,一4）.

根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（儿/c）直接写出即可.

本题考查了抛物线的顶点求解方法，掌握抛物线的顶点求解方法是解题的关键.

16.【答案】487r

【解析】解：•••圆锥的底面半径为4,

二圆锥的底面圆的周长=27rx4=8n,

•••圆锥的侧面积=之x8兀x12=487r.

故答案为：487r.

本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇

形的半径为圆锥的母线长.结合扇形的面积公式S=为弧长）计算即可.

17.【答案】70

【解析】解：•・・△ABC绕点A顺时针旋转100。得到△?!•,

・•・Z.CAF=100°,

•・•Z.EAF=30°,

・•・4a=Z.CAE=Z-CAF-Z.EAF=70°,

故答案为：70.

由旋转的性质可得4a4F=100°,根据NEAF=30°,即可得4a=/.CAE=Z.CAF-^EAF=70°.

本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.

18.【答案】主/兀

【解析】解：连接AC,AO,

D

"AB1CD,

•••G为AB的中点，即4G=BG=^4B,

••-O。的半径为4,弦4B1CO且过半径。。的中点，

・•.OG=2,

.•.在Rt△40G中，根据勾股定理得：AG=VAO2-OG2=2，马，

又；CG=CO+GO=4+2=6,

在RtAAGC中，根据勾股定理得：AC=VAG2+CG2=4/3，

•••CFLAE,

••.△4CF始终是直角三角形，点尸的运动轨迹为以AC为直径的半圆,

当E位于点B时，CG14E,此时尸与G重合；

当E位于。时，CALAE,此时尸与A重合，

••・当点E从点B出发顺时针运动到点。时，点F所经过的路径长念,

在RM4CG中，tanUCG=^=?，

LACG=30。，

念所对圆心角的度数为60。，

•••直径AC=4C，

...然的长为竺喘O=号兀,

1803

则当点E从点B出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为亨7T.

故答案为：弓3兀.

连接AC,AO,由ZB1C。，利用垂径定理得到G为4B的中点，由中点的定义确定出0G的长,

在直角三角形40G中，由A0与0G的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，

由CO+G。求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE,

得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示,

当E位于点B时，CG14E,此;时尸与G重合；当E位于。时，C4JL4E,此时尸与A重合，可

得出当点E从点B出发顺时针运动到点。时，点F所经过的路径长念，在直角三角形ACG中，

利用锐角三角函数定义求出NACG的度数，进而确定出京所对圆心角的度数，再由AC的长求出半

径，利用弧长公式即可求出念的长，即可求出点尸所经过的路径长.

此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长

公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点8出发顺时针运动到点。时，点厂所经过的

路径长念，是解本题的关键.

19.【答案】解：(1)移项，得/+2x=l,

配方，得它+2x+1=2,

(x+I)2=2,

由此可得％+1=

=—1+y/~~2fx2=—1—

(2)2x2—%—3=0.a=2,b=—1,c=-3,

A=b2-4ac=(-1)2-4x2x(-3)=25,

_-b±Jb2-4ac_-(-1)±<75_1±5,

X=2a=2x2=~

31

,%2=—

【解析】(1)采用配方法即可求解；

(2)采用公式即可求解.

本题主要考查了采用配方法和公式求解一元二次方程的解的知识，掌握配方法和公式法是解答本

题的关键.

20.【答案】随机事件不可能事件£

【解析】解：(1)根据题意摸出红球为随机事件；口袋中没有篮球，所以摸出篮球是不可能事件,

故答案为：随机事件，不可能事件；

(2)若口袋中有7个绿球，

则摸出绿球的概率为晨小=L

/十0十1UZD

故答案为：

(3)设绿球的数量为x,

则根据题意得儡"，

解得：x=22,

故绿球有22个.

(1)根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为

不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答；

(2)根据摸出一个球是绿球的概率为建驾磬；

(3)设绿球的数量为x,则根据题意得江^匚=；,求解即可.

H十JLU十X4

本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率=

所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键.

21.【答案】解：(1)•••0A=OB,Z.BAO=25。，

•••乙B=ABAO=25°,

Z.AOB=180°-ZB-乙BAO=180°-25°-25°=130°,

C为触的中点，

•••AC=BC，

1

•••乙BOC=AAOC=/AOB=65°.

(2)vOBHAC,48=25°,

乙BAC=4B=25°,

•••乙BOC=2乙BAC=50。.

【解析】(1)根据三角形的内角和可知乙40B的度数，再利用同弧所对的圆心角相等即可求得NBOC；

(2)根据平行线的性质可知4B"的度数，再利用圆周角的性质即可求得4BAC和NBOC的度数.

本题考查了三角形的内角和，同弧所对的圆心角相等，平行线的性质，圆周角的性质，利用圆周

角的性质进行等角转换是解题的关键.

22.【答案】解：(1)AE=BF=CG==xcm,

・•・BE=CF=DG=AH=(8—%)cm,

y=4x1x(8—x)=-2/+16x(0<%<8),

(2)y=-2x2+16%=—2(%—4)2+32,

va=-2<0,

，当％=4时，y有最大值为32,

故当久=4时，阴影部分面积最大值为32CM2.

【解析】(1)由4E=BF=CG=DH=%(cm)得出BE=CF=DG=AH=(8-%)(cm),然后根据

三角形面积求解.

(2)将解析式配方求解.

本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握正方形的性质，掌握二次函数求函数最值的方法.

23.【答案】解：(1)v乙ACB=乙BDC,乙BDC=Z.BAC,

•••乙ACB=Z-BAC.

-AB=AC.

:.Z.ABC=Z.ACB.

:.Z.ABC=Z.ACB=Z.BAC.

・•・ABAC=60°.

・•・(BDC=60°.

•・・45是0。的切线,

・•・0A1AE,

・・・Z.OAE=90°.

•・•四边形ABCQ内接于。0,

・•・/.ABC+/-ADC=180°.

又•・・N4DE+44DC=180°,

:.Z-ADE=/.ABC,

vZ-BDA=乙ACB,乙ABC=乙ACB,

:.Z-BDA=Z-ABC.

・•・Z.ADE=Z.BDA

vOA=OD,

・•・Z.OAD=Z-ODA.

・••Z.OAD=Z.ADE.

・・・OA//EC.

/.Z.E=180°-Z,OAE=90°.

【解析】（1）根据圆周角定理和等弦所对圆相等可得出2BC=2CB=NB4C,从而可得出埒；

（2）连接0A,可得。414E；由圆内接四边形的性质可得/4DE=N4BC,再根据圆周角定理可得

Z.ADE=ABDA,由。4=。。得ZZMD=NO£M,从而可得40AD=4ACE,即可判断（M//EC,进

一步可得结论.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

24.【答案】解:(1)vZ-ABO=90°,Z.AOB=30°,

•••OA=2AB>

设AB为x,则OA为2x,

则(2x)2-%2=(-3)2,

解得=1.X2=—1(舍)，

•••OA-2,AB=1,

由旋转的性质可知，OB'=OB=C，AB=A'B'=1,^.A'B'O=/.ABO=90°,

(2)解：如图②，过4作4'E1x轴于点E,

由旋转的性质可知，/.AOA'=45°,OA=OA'=2,

/.A'OE=45°,

•••NA'EO=90",

•••Z-OA'E=45°,

•••A'E=OE,

在Rt"E。中，A'E2+OE2=4,

解得，A'E=OE-V_2>

(3)解：作8'Mly轴于点M,作ANlx轴于点N,交直线B'M于点G,

由旋转的性质知=45°-30°=15°,^OB'A=/.OBA=90。,

Z.OB'M=75°,

/.A'B'G=150=NB'OM,

v乙B'MO=4MON=LONG=90",

二四边形OMGN为矩形，

4G=90°=/OMB',

•••△0MB's&B'GA',

OMMB'OB'OBr

・'屈F=而=而=C'

OM=yTlB'G.MB'=yflGA',

设GA'-a,B'G-b,

OM=y/~3b,MB'=y/~3a，

•••四边形OMGN为矩形，

•••OM=GN,MG=ON,

\/-3b=a+2,y/~3a+b=V-2»

由qb=a+/^,得3b=qa+/7，即/3a=3b-G，

•••3b—V-6+b=A/-2'

444

B'M=g=0M=Cb=红学工

34s4

•••点夕的坐标为(史与口,34口).

【解析】(1)由旋转的性质结合含30度角的直角