2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区八年级第一学期期末数

学试卷

一、选择题（共10小题.每小题3分，共30分）.

1.下列阿拉伯数字是轴对称图形的是（）

A.6B.0C.11D.69

2.若分式早有意义，则实数x的取值范围是（）

X+1

A.元#1B.xW-1C.x=1D.x=-1

3.0.000000301用科学记数法表示为（)

A.3.01X107B.3.01X106C.0.301X106D.30.1X107

4.下列运算正确的是（）

A.xi*x'5=x'2B.(3x)3=9x3

,3

/b\3_卜98

C.(-a']h2)3=a3h6nD.)-ba

a

5.如图,已知NAC3=NACD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABCgZVIOC的

B.AC平分NBA。C.AB=ADD.ZB=ZD

2

6.且土+（a2ab-b）计算结果为（)

aa

1

DR,-----------C.a-bD.

aa-ba

7.下列因式分解正确的是（)

A.a3-a=a(a2-1)

B.16f+24x+9=(8x+3)2

C.25X2-y2=(5x+y)(5x-y)

D.2m(m+n)+6〃(m+/?)=(2/n+6n)(m+n)(n?+〃)

8.如图，已知ACBE丝连接A3、NABE=65°,NBAO=30°,则NC8E的度数

C.35°D.65°

9.两个小组同时攀登一座480〃,高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第

二组早0.5〃到达顶峰，设第二组的攀登速度为即/疝小则下列方程正确的是（）

480480c「480480人「

A.-----+0.5B.=

1.5vv1.5V~v—U・5

祟』。D.普举-3。

1.5Vv1.5Vv

10.如图，在△ABC中，AO平分/CAB,下列说法:

①若CD：BD=2：3,则S&ACD：SAABD=4：9；

②若CD：BD=2：3,则AC：AB=2：3；

③若NC=90°,AC+AB=2O,C£>=3,则Sx8c=30；

④若/C=90°,AC：AB=5：13,BC=36,则C£>=10.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③©D.②③3）

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上

11.若分式二的值为0,则x的值为.

12.若正〃边形的每个内角的度数为140°.则〃的值是.

121

13.已知a」=3，则a—=.

aa

14.如图，已知NA3C=60°,03=12,DE=DF,若石尸=2,则5E=.

A

A_

BEFC

15.已知，在△OP。中，OP=OQ,OP的垂直平分线交OP于点O,交直线OQ于点E,

ZOEP=50°,则NPOQ=.

16.如图，△OOE的角平分线。尸、EF相交于点尸、若NDOE=60°,EF交OD于A、DF

交OE于艮直接写出A。、BE、OE的数量关系___________

D

OBE

三、解答题(共8小题.共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程

17.(1)计算：(〃+1)(4-3)；

(2)因式分解：(x+y)2-(2x)2.

18.(1)解分式方程：2/7.

Xx+3

a+4IQ

(2)先化简，再求值：2:其中。一5.

a-2a+la-l

19.如图，点8、E、C、尸在一条直线上，AB=DE,BE=CF,NB=NDEF,求证：NA

=ZZ).

AD

BECF

20.如图，在AABC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线m±并且有N8OA=NAEC

=a,若DE=8,BD=2,求CE的长.

/C

B

DAErn

21.如图是由小正方形组成的8X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△4BC的三个顶

点都是格点，E为AC上一格点，点。为A8上任一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中

完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示.

(1)在图1中，先将线段A8向右平移得到线段CE画出线段C居再在CF上画点G,

使CG=A。；

(2)在图2中，先画出点。关于AC的对称点“、再在AB上找一点G,使NGE4=/

DEC.

图2

22.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用

几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用.

例1：如图1,可得等式：a(6+c)—ab+ac；

例2：由图2,可得等式：(a+28)(a+匕)=。2+3岫+2坟.

(1)如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+Hc的正方形，

从中你发现的结论用等式表示为；

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知”+＞。=10,层+坟+/=36.求

ab+bc+ac的值.

(3)如图4,拼成4WGN为大长方形，记长方形4BCO的面积与长方形EFG”的面积

差为S.设C3=x,若S的值与C。无关，求。与b之间的数量关系.

图1图2图3图4

23.【问题提出】如图I,在△ABC中，AB=AC,。是BC延长线上的点.连40,以A。

为边作△AOE(E、。在4c同侧)，使0A=£>E、ZADE=ABAC,连CE.若NBAC=

90°,判断CE与AC的位置关系，并说明理由.

(1)【问题探究】先将问题特殊化.如图2,当。在线段BC上，ZBAC=60°时，直

接写出ZACE的度数；

(2)再探究具体情形、如图1,判断CE与AC的位置关系，并说明理由.

(3)如图3,在△ABC中，AB=AC.点E为aABC外一点，ACBE于。，NBEC=

ABAC,DE=3,EC=2.则8。的长为.

24.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A(a,0),B(0,b),且a,方满足(a-4)

2+\a-M=0.

(1)求点4、点B的坐标.

(2)P(0,f)为y轴上一动点，连接AP,过点P在线段4P上方作且PM

=PA.

①如图1,若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB,过点B作PM的平行

线交x轴于点R，求点R的坐标(用含f的式子表示).

②如图2,连接。M,探究当取最小值时，线段。例与AB的关系.

图1图2

参考答案

一、选择题（共10小题.每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有

且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.

1.下列阿拉伯数字是轴对称图形的是（）

A.6B.0C.11D.69

【分析】直接根据轴对称图形的定义判断即可.

解：6、0、11、69中，只有0沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关

键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对

称图形.

2.若分式工二有意义，则实数x的取值范围是（）

x+1

A.xWlB.xW-1C.x=\D.x=-1

【分析】先根据分式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

解：•.•分式已有意义，

x+1

.♦.x+lWO,解得xW-1.

故选：B.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解

答此题的关键.

3.0.000000301用科学记数法表示为（）

A.3.01X10-7B.3.01X10-6C.0.301X106D.30.1X10-7

【分析】科学记数法的表示形式为aXl（T的形式，其中1＜同＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，”是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

解:0.000000301=3.01X10-7,

故选：4

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXl（T的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，正确确定。的值以及〃的值是解决问题的关键.

4.下列运算正确的是（）

A.x3>x"5=x'2B.（3x）3=9x3

K3「

C.（-小/）3=a-3b6D.心y）3=b9a8

a

【分析】分别根据同底数幕的乘法和积的乘方计算后判断即可.

解：A.一♦£5=口2,故原选项符合题意；

B.（3元）3=27X\故原选项不合题意；

C.（-小属）3=-a”,故原选项不合题意；

,3

D.（%）3=b9a-6,故原选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了同底数募的乘法和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

5.如图，已知N4CB=N4CD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC丝△AOC的

是（）

7L

A.CB=CDB.AC平分NBA。C.AB=ADD.ZB=ZD

【分析】分别根据全等三角形的判定方法判断即可.

解：A.VZACB^ZACD,CB=CD,C4=C4,根据SAS可判定△ABC四△ADC,不符

合题意；

B.；AC平分/BAO,：.ZBAC=ZDAC,'：ZACB=ZACD,CA=CA,根据ASA可判

定△ABC四△ADC,不符合题意；

C."：ZACB^ZACD,AB=AD,CA=CA,根据SSA不能判定AABC丝ZvlOC,符合题

意；

D.VZACB=ZACD,NB=ND,CA=CA,根据AAS可判定△ABCg/VlOC,不符合

题意.

故选：c.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法(即SSS.SAS.ASA,

AAS和”乙)是解题的关键.注意：A44、SSA不能判定两个三角形全等.判定两个三角

形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角.

2

6.义士+Q/ab-b)计算结果为()

aa

3

A(a-b)1,八a-b

A.-----BD.---nC.a-bD.----

a-ba

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果.

2

解：亘。(a也」-)

aa

a-b.a2-Zab+b)

a'a

1

a-b

故选：B.

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.下列因式分解正确的是()

A.a3-a=a(4-1)

B.16X2+24X+9=(8X+3)2

C.25/-V=(5x+y)(5x-y)

D.2m(m+n)+6/7(m+n)=(2m+6n)(m+n)(m+n')

【分析】根据因式分解的方法和步骤，依次判断各个选项即可.

解：A、a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1),故A不正确，不符合题意；

8、16/+24x+9=(4x+3)2,故8不正确，不符合题意；

C、25A2-/=(5x+y)(5x-y),故C正确，符合题意；

£＞、2m{m+n')+6〃(m+n)—2(m+n)(m+3n),故。不正确，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤，因

式分解的方法主要有：提取公因式法，公式法.

8.如图，已知△C8E四△D4E,连接AB、ZABE=65°,ZBAD=30°,则NCBE的度数

C.35°D.65°

【分析】先根据全等三角形的性质求出B£=AE,NCBE=NDAE,再根据等腰三角形的

性质求出N84E=NA3E=65°,最后根据N3AO=30°计算即可.

解：VACBE^ADAE,

:.BE=AE,NCBE=NDAE,

VZABE=65°,

：.ZBAE=65°,

VZBAD=30°,

AZ£>AE=65°-30°=35。,

：.ZCBE=ZDAE=35°.

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题

的关键.

9.两个小组同时攀登一座480〃?高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第

二组早0.5万到达顶峰，设第二组的攀登速度为的/疝〃，则下列方程正确的是（）

.480480480480_

A..........,—Bn

+0.5B・it--------0.5

1.5vv1.5Vv

480480

C.+30D.祟―30

1.5vv1.5Vv

【分析】设第二组的速度为加/加小则第一组的速度是L5制/疝小根据第一组比第二组

早30加〃，列出方程即可.

解：设第二组的速度为w%/加小则第一组的速度是1.5wn/加〃，由题意，得

1.5Vv

故选：D.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等

量关系是解决问题的关键.

10.如图，在△ABC中，AO平分/CAB,下列说法：

①若CD：BD—2：3,则SAACD：SA/ISD—4：9；

②若C£＞：BD=2：3,贝l」4C：AB=2：3；

③若/C=90°,AC+AB=20,CD=3,则SAABC=30；

④若/C=90°,AC：AB=5：13,BC=36,则C£＞=10.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.①③®D.②③®

【分析】分别根据角平分线的性质结合三角形面积法进行求解即可.

解：①设BC边上的高为〃，贝1JS5CD：SAABD=)：(yBD-h)=CD：BD,

若CD：BD=2：3,则SAABO=2：3,故①错误；

②过。作DFLAC,

〈A。平分NC4B,

：.DE=DF,

•**S^ACD：S^ABD—2：3

yAC-DF

AC2

-j-AB'DEAB"3

因此，若C£＞：BD=2：3,则ACAB=2：3,故②正确;

③若/C=90。,过。作

：A。平分/CAB,

：.DE=CD=3,

•••SAABC-7AC-CD-^AB«DE=y(AC+AB)-CD=yX20X3=30,故③正确;

④若NC=90°,AC：AB=5：13,BC=36,

...设AC=5x,AB=13x,则由勾股定理得：BC=⑵，

・,.⑵=36,解得x=3,

：.AC=\5fAB=39,

***S^ACD^S^ABD=S^ABC,

二口AC・CD,AB・DE=£AC・BC，即/X15XCDV*39XCD1X15X36,

乙M4MWM

解得，CD=10.故④正确.

故选：D.

A

【点评】本题主要考查了三角形角平分线的性质以及运用等积法解决问题，正确运用面

积法是解答本题的关键.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上

11.若分式三占的值为0,则x的值为1.

x-5

【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于。即可得出答案、

解：Vx-1=0,X-5W0,

/.x=l.

故答案为：1.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于。旦分

母不等于0是解题的关键、

12.若正〃边形的每个内角的度数为140°.则”的值是9.

【分析】首先根据正〃边形的每个内角的度数为140。，即可求得每个外角的度数，再根

据多边形的外角和为360。，即可得到〃的值.

解：•.•正〃边形的每个内角都是140。，

，该正〃边形的每个外角的度数=180°-140°=40°,

••nF=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了多边形的外角和定理：掌握多边形的外角和为360。是关键.

121

13.已知a'=3，贝UaH.

aa

【分析】对已知条件等号两边平方，整理后求解即可.

解：「a'"二3,

a

(a-)2二9，

即a2-2-^2=9,

a

a

故答案为：11.

【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据。与工互为倒数的特点，利用

a

完全平方公式求解.

14.如图，已知NA8C=60°,03=12,DE=DF,若EF=2,则BE=5

【分析】过点。作OG_L3C,垂足为G.利用等腰三角形的“三线合一”先求出EG,利

用含30°角的直角三角形的边间关系，再求出3G,最后利用线段的和差关系求出3E.

解：过点。作。G_LBC,垂足为G.

*：DE=DF,DGLBC,EF=2,

,EG=yEF=l-

在RtADBG中,

VZAfiC=60°,

；.NBDG=30°.

•：DB=12,

•••BG=yDB=6.

：.BE=BG-EG=6-1=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形，掌握“等腰三角形底

边上的高线、顶角的角平分线及底边的中线，三线重合”、“直角三角形中，30。角所

对的边等于斜边的一半”是解决本题的关键.

15.已知，在△OPQ中，OP=OQ,OP的垂直平分线交OP于点，交直线OQ于点E,

ZOEP=50°,则NPOO=65°或115°.

【分析】△OPQ为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到NODE=NPOE=

90°,从而求得NOED=/PEDV/OEP，继而可得/反比>=90°-25°=65°,问题

得解；△OPQ为钝角三角形时，同理可得/EO£>=90°-25°=65°,即/POQ=180。

-/EOO,问题得解.

解：①如图1,△OP。为锐角三角形时，

垂直且平分OP,

：.ZODE^ZPDE=90Q,OE=PE,

•••Z0ED=ZPED=yZ0EP«

又♦.•/OEP=50°,

：.ZOED=ZPED=25°,

・・・NEOO=90°-25°=65°；

②如图2,△OP。为钝角三角形时,

・・・QE垂直且平分OP,

：.ZODE=ZPDE=90°,OE=PE,

•••Z0ED=ZPED=yZ0EP«

又,：/OEP=50°,

:.NOED=NPED=25。,

AZEOD=90°-25°=65°,

AZPG>e=180°-65°=115°.

故答案为：65°或115。.

图1

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和

定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键.

16.如图，△OOE的角平分线OF、EF相交于点F、若NZ)OE=60°,EF交OD于A、DF

交OE于B.直接写出A。、BE、OE的数量关系DE=DA+EB.

D

【分析】由三角形定理得/。。£+/。即=120。.由角平分线定义得/A尸。=60°,Z

3FE=60°,在。E上截取OH=D4,连接FH,证明△D4F丝△C4F,进一步得出NE/77

=NEFB,再证明△HFEWAEFB,得出E”=EB,从而可得出结论

解：在△OOE中，ZO=60°,.-.ZODE+ZOED=180°-Z6>=120°,

•.,£>2平分/OOE,EA平分NOEC,

•••ZFED=yZOED,ZFDE-|zODE>

•••ZFED+ZFDE=y(ZOED+ZODE)=60°，

AZAFD=60°,

:.NBFE=NAFD=60°,

在OE上截取£>”=D4,连接尸”，

在厂和△£WF中，

'DH=DA

，ZADF=ZHDF,

DF=DF

：./\DAF^/\DHF(SA5),

：.ZDFA=ZDFH,

：.ZDFH=60°,

180°-60°-60°=60°,

NEFH=NEFB,

在△CFH和△CFB中，

'NEFH=/EFB

•EF=EF，

ZFED=ZFEB

:.AHFE经/\EFB(ASA),

:.EH=EB,

'：DE=DH+EH,

：.DE=DA+EB.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构

造全等三角形是解答本题的关键.

三、解答题(共8小题.共72分)下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程

17.(1)计算：(4+1)("3)；

(2)因式分解：(x+y)2-(2x)2.

【分析】(1)直接根据多项式乘以多项式计算即可；

(2)先根据平方差公式化简，再合并同类项即可.

解：(1)(a+1)(。-3)

—a2+a-3a-3

—a2-2a-3；

(2)(%+y)2-(2x)2

=(X+)H-2X)(x+y-2x)

=(3x+y)(y-x).

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和公式法因式分解，熟练掌握运算法则是解题的

关键.

18.(1)解分式方程：2—7.

xx+3

a+4in

(2)先化简，再求值：W-------其中。=5.

a-2a+la-1

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验

即可得到分式方程的解；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形,

约分得到最简结果，把«的值代入计算即可求出值.

解：(1)-=---

xx+3

方程两边乘K(x+3),得2(x+3)=5x

解得x=2

经检验，x0+3)#0

所以，原分式方程的解为元=2

a+4.,2a-2+10)

a+4/a-1s

(2(a+4))

1

—2a-2'

当a=5时，原式=门4

2a-28

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

19.如图，点8、E、C、F在一条直线上，AB=DE,BE=CF,NB=NDEF,求证：ZA

=ZD.

【分析】先证明BC=EF,再证明△ABC岭△£＞四(SAS),即可作答.

【解答】证明：；BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,即BC=EF,

在△48C与△Z)EF中，

'AB=DE

<ZB=ZDEF)

BC=EF

:.XABgXDEF(SAS),

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解答

本题的关键.

20.如图，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有NBD4=/AEC

=a,若£>E=8,BD=2,求CE的长.

【分析】先根据角的加减求出NECA=N8AO,再根据A4S证明△84。岭△4CE,再求

出AO的值即可.

解："：ZAEC=ZBAC=a,

.\ZECA+ZCAE=180°-a,ZBAD+ZCAE=\mQ-a,

：.ZECA=ZBAD,

在△BAO与AACE中，

，ZBDA=ZAEC

>ZBAD=ZACE，

,AB=AC

.'./\BAD^/^ACE({A45}),

J.CE=AD,AE=BD=2,

VDE=8,

：.AD=DE-AE=S-2=6,

：.CE=AD=6.

【点评】本题考查了角的加减和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定

和性质是解题的关键.

21.如图是由小正方形组成的8X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△4BC的三个顶

点都是格点，E为AC上一格点，点。为上任一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中

完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示.

(1)在图1中，先将线段A8向右平移得到线段CF、画出线段CF,再在CF上画点G,

使CG=AD；

(2)在图2中，先画出点。关于AC的对称点H、再在AB上找一点G,使NGEA=N

DEC.

图1图2

【分析】（1）先将线段A8向右平移得到线段CF、连接DE并延长交CF于点G即可;

（2）作出点。关于AC的对称点”，连接HE并延长交AC于点G,则点G即为所求作.

解：（1）如图所示，CG即为所作，

（2）如图，点G即为所作.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质等

知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键.

22.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用

几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用.

例1：如图1,可得等式：a（b+c）=ab+ac；

例2：由图2,可得等式：（a+2b）（a+匕）^a2+3ab+2b2.

（1）如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为“+什c的正方形,

从中你发现的结论用等式表示为(a+6+c)2=02+护+。2+2出?+2〃。+2〃1；

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+〃+c=10,。2+按+/=36.求

ab+bc+ac的值.

(3)如图4,拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积

差为S.设CO=x,若S的值与CD无关，求。与人之间的数量关系.

【分析】(1)正方形面积为(。+柩。)2,小块四边形面积总和为次+/+/+2"+2儿+23

由面积相等即可求解：

(2)根据(1)中的结论，将式子的值代入计算即可求解；

(3)BC=2afDE=3a,EH=CF=b,EF=CD+CF-DE=x+b-3af根据S=S长方形.co

-S长方形EFGH，即可求解.

解：(1)•・•正方形面积为(a+A+c)2,小块四边形面积总和为〃+按+C2+2〃H2A+2〃C

工由面积相等可得：(q+6+c)2=tz2+/?2+c2+2^+2/?c+2«c,

故答案为：(a+6+c)2=^+Z72+^+2^+2/?c+2ac-.

(2)由(1)nJ2ab+abc+2ac=(a+b+c)2-(4+岳+廿),

*/a+h+c=10,6f24-ft2+c2=36；

.*.2(ab+bc+ac)=(o+/?+c)2-C^+^+c2)=100-36=64,

•**ab+bc+ac卷X64=32-

(3)由题意知，BC=2a,DE=3a,EH=CF=b,EF=CD+CF-DE=x+b-3a,

■:S长方形A8CO-S长方形EFGH，

:.S=CD・BC-EH・EF=x，2a-b,(x+h-3a),

BPS=2ax-bx-h2+3ah=(2a-h)x-加+3。匕，

又YS为定值，

2a-b=3BPb=2a.

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，掌握整式混合运算法则是解题的关键.

23.【问题提出】如图1,在△ABC中，AB=AC,。是BC延长线上的点.连A。，以AO

为边作△AOE(E、。在AC同侧)，使。A=Z)E、ZADE=ABAC,连CE.若/BAC=

90°,判断CE与AC的位置关系，并说明理由.

(1)【问题探究】先将问题特殊化.如图2,当O在线段BC上，ZBAC=60°时，直

接写出ZACE的度数60°；

(2)再探究具体情形、如图1,判断CE与AC的位置关系，并说明理由.

(3)如图3,在aABC中，AB=AC.点E为△ABC外一点，AQJ_BE于。，NBEC=

ZBAC,DE=3,EC=2.则BD的长为5.

【分析】(1)根据题意可得△AOE、AABC为等边三角形即可知/D4E=60°,NB=

60°,证明△ABOgZVICE,得/4CE=NB=60°；

(2)过。作。口LCD,交AC的延长线于凡根据S4S证明△AF。丝△EC。可得NE4。

=ZCED,从而可得结论；

(3)过A作AFLCE,交CE的延长线于F,分别证明△ABQ四△ACF和Rt^ACE丝Rt

△AFE可得结论.

解：⑴\'AB=AC,ZBAC=60°

.'.△ABC为等边三角形

/.ZB=60°

ZADE^ABAC

：.ZADE=60°

"：DA=DE

.♦.△AQE是等边三角形,

：.ZDAE=60°

：.ZDAE=ABAC

：.ZBAD=ZCAE

又AB=AC,DA=DE

：.△ABD乌△ACE,

：.ZACE=ZB=60°.

故答案为：60。；

(2)过。作。尸，。，交4C的延长线于F,如图所示：贝ijNH>C=90°,

t

：AB=ACfZBAC=90°,

•••△A8C为等腰直角三角形，

・・・NAC8=45°,

；・NFCD=/ACB=45°,

为等腰直角三角形，

：.DC=DFfZCDF=90°,

VDA=D£,NADE=NBAC,

•••△AOE为等腰直角三角形，

AZADE=90°,

・•・ZADE+ZADC=ZCDF^ZADC,即ZADF=NEDC,

在△A。和△ECO中，

ZDA=DE

<NADF=NEDC，

DC=DF

:.AAFD