2023-2024学年青海省、宁夏金太阳高三（上）联考数学试卷（文科）（9月份）（含解析）

2023-2024学年青海省、宁夏金太阳高三(上)联考数学试卷(文

科)(9月份)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={%|—x-3S0},B=卜|X—2<0},则力C1B=()

A.{%|-3<%<2]B.{%|-3<%<2]

C.{x\x>3}D.(x\x<2}

2.已知复数z=2—2则|l-i・z|=()

A.24~2B.ypSC.2D.1

3.已知函数/(x)=sin(2x+冷，则下列说法正确的是()

A.”久)的图象关于直线x=部寸称

B.的图象关于点(也0)对称

C.f(x)的最小正周期为]

D.若将/Xx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数丫=5也0+总

的图象

4.已知△4BC的每条边长均为2,D,E分别是BC,AC的中点，则用.诟=()

C3C33

A.24-2-

5.已知函数/'(无)=4x(%-1)+ax+|%|是偶函数，则a=()

A.1B.2C.3D.4

6.曲线y=蠢在点(2,-2)处的切线方程为()

A.y=-3x+4B.y=x—4C.y=3x-8D.y=3x-4

7.设双曲线J久2-y2=i,聚—方=l(b>0)的离心率分别为e「e2,若e2=*ei，

则b=()

A.1B.2C.<7D.C

8.已知两个共中心。的正方形的边长分别为2和4,在如图所示的阴影中随机取一点M,则直

线OM的倾斜角不大于[的概率为()

1

A.4-

9.△48。的内角4,8"的对边分别为<1,从<:,已知儿。5。一“058=£1,且4=2。，则。=()

10.已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形4BCD,在该圆柱的底面内任取一点E,则当四

棱锥E-4BCD的体积最大时，该四棱锥的侧面积为()

A.l+q+仁B.1+1>n+V-5C.1+「+2nD.<2+2门

H.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学

生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问

卷调查，得到如下数据(5WmW15,7neN).

喜欢观看不喜欢观看

男生80—m20+m

女生50+m50-m

通过计算，有95%以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的

100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为()

2

附.K2=n®d"c)其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)、

P(K2>ko)0.150.100.050.0100.001

ko2.0722.7063.8416.63510.828

A.55B.57C.58D.60

12.已知椭圆E：l(b>0)的两条弦4B,C。相交于点P(点P在第一象限)，且4Blx

ob

轴，。。1旷轴.若伊川：\PB\t\PC\t\PD\=1：3：2：4,则b=()

A.2B.V-2C.V-5D.口

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

p-y>-1

13.若x,y满足约束条件"一"1,则z=2x—y的最小值为____

U+y<-l

14.执行如图所示的程序框图，若输出的n=5,则输入的正整数P的最

小值为，最大值为.

n=l5=0

/输入P/

|s=(-1)"S+Z>

n=n+l

(结束)

15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小

部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为话匚。0.618,上述比例又被称为

黄金分割.将底和腰之比等于守的等腰三角形称为黄金三角形,若某黄金三角形的一个底角

为C,则cos2c=.

16.已知正三棱柱ABC-内接于半径为2的球，若直线4G与平面BCC隹i所成的角为

30°,则4B=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

设等差数列｛%｝的前n项和为品,已知2a5-&4=11,S3=9.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设%=7^1数列｛b｝的前n项和为加若需<心〈罟，求M的值.

D

KJ1'-1-7nJU□!

18.(本小题12.0分)

某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］五组,得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a,b,

c成等差数列，成绩落在区间［60,70)内的人数为300.

(1)求出频率分布直方图中a,b,c的值；

(2)估计该校学生分数的中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(3)现采用分层抽样的方法从分数落在［80,90),［90,100］内的两组学生中抽取6人，再从这6人

中随机抽取2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间［90,100］内的概率.

19.(本小题12。分)

将△ABC沿它的中位线。E折起，使顶点C到达点P的位置，使得P4=PE,得到如图所示的四

棱锥P-4BDE,且AC=「48=2,ACLAB,F为PB的中点.

(1)证明：DF〃平面PAE.

(2)求四棱锥P-力BOE的体积.

20.(本小题12.0分)

设抛物线C：/=2py(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与C交于4,B两点，|AB|=16.

(1)求p的值；

(2)求过点4B且与C的准线相切的圆的方程.

21.(本小题12.0分)

设函数f(x)=ax+(1-a)x-l(a>0且a*1).

(1)当a=e时,求/(x)的单调区间；

(2)设a>l,证明：当x6(0,1)时，/(x)<0.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线q的参数方程为蔡:戊Q为参数)，直线的方程

为y=Cx.以。为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线Ci和直线的极坐标方程；

(2)若直线。2与曲线G交于M,N两点，求|0M|•|0N|的值.

23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|.

(1)求不等式/(x)>|x-l|-3的解集；

(2)若存在久eR,使得/•(>)>|1-刑成立，求m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={x|x之-3},B=[x\x<2}>

所以4。8={用一3式久<2}.

故选：B.

解一元一次不等式求出集合2、B再，求交集可得答案.

本题考查了一元一次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为1一i•z=1-i(2-i)=-21,

所以|1—i,z|=2.

故选：C.

根据复数乘法运算法则和复数的模相关知识直接计算即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为/(x)=sin(2x+总，

所以f皓=sin(2x瑞+书学±1,&)=sin(2x*+^"0,故AB错误;

显然f(x)的最小正周期为7=竽=兀，故C错误.

将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数丫=$也。+言)的图象,

3正确.

故选：D.

利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D.

本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：因为DE是A/IBC的中位线，所以DE〃/1B,

且。E=gAB=l,/-ADE=/.BAD=DA1BC,/\

又40=J22-(2xi)2=y/~3,/

B~~D~~C

所以用D£=<3xlxcos7=^

6L

故选：c.

利用三角形中位线定理，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.

本题考查平面向量数量积运算及三角形的儿何性质，属基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由函数/(无)=4x(%—1)+ax+|x|=4%2+(a—4)x+\x\,

因为函数/'(x)为偶函数，可得/'(—x)=/(x),

即4(—x)2+(a—4)(—x)+|-x|=4%2+(a—4)x+|x|,

所以a—4=0,解得a=4.

故选：D.

化简函数为/(x)=4/+(a-4)x+|x|,根据/(-%)=f(x),列出方程，即可求解.

本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由尸士，得上十若尹=一号，

O

・・•所求切线的斜率为yb=2=-7-^2=-3，

(2-3)

故该切线的方程为y+2=-3(x-2),即y=-3x+4.

故选：A.

根据导数求解出直线的斜率，然后求出直线方程即可.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由双曲线G：/-y2=i,可得其离心率为ei=C，

又由双曲线C2：j-^=l(b>0)f可得其离心率为&二(皆=J1|心，

因为可得1=,XV"五，解得b=1.

故选：A.

分别求得双曲线G，的离心率，结合e2=*e「列出方程，即可求解.

本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题.

8.【答案】B

【解析】解：满足“直线。”的倾斜角不大于卜这个条件的

点M构成的区域为图中的阴影部分，

根据几何概型的定义，可知所求概率为会=；.

84

故选：B.

利用根据几何概型的定义可得答案.

本题考查几何概型相关知识，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解:因为bcosC-ccosB=a,所以sEBcosC—cosBsinC=sin4,

又sinA=sin(7r—B—C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC-cosB-sinC=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=0,

因为Ce(O,TT),所以sinC>0,

所以cosB=0,

又B€(O,TT),所以B=*从而4+C=*

又4=2C,所以C=I

故选：A.

利用正弦定理化边为角，结合三角函数恒等变换化简可得4+C=*由此可求角C.

本题考查了正弦定理和三角函数恒等变换，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：根据题意，如图，

设圆柱的底面圆心为0,E为该底面上一点，底面半径为1,

四棱锥体积/MBCO=lsABCD-d,其中d为E到4。的距离，

因为正方形ABCC的面积为定值2x2=4,

所以当E为4D的中点时，连接0E,此时0E为四棱锥E-HBCD的高，高最大，此时四棱锥E-ABCD

体积最大，

则AE1DE,OE1AD,0E=1,AE=DE=<7,BE=CE=J22+(「)2=口,

设圆柱的另一底面圆心为。「连接。1E,则OiElBC,且0遂=J(门)2—12=口,

此时四棱锥E-ABCD侧面积为S=}AD-OE+^AB-AE+^CD-DE+^BC-OE=X2X1+

乙乙乙乙r乙

1x2x<7+ix2x<^+^x2xV-5=l+2<7+屋.

故选：B.

根据棱锥体积公式以及正方形ZBCC的面积为定值确定E点在底面上的位置，求出相关线段长，根

据棱锥侧面积公式即可求得答案.

本题考查圆柱的侧面积计算，涉及棱锥的体积，属于中档题.

11.【答案】C

[密析】解•因为*2=_____n(ad-bc)2_____=200[(80-nt)(50-m)-(20+nt)(50+m)产_8(15-m)2>

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-100x100x130x70-91一

3.841,

所以(15-瓶)2>43.7,

又5<m<15,mGN,

所以15-m27,解得m<8,

故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.

故选：C.

根据公式求出K2的值，根据题意知H23.841,结合m的范围，可求出m的范围，即可得解.

本题考查独立性检验相关知识，属于基础题.

12.【答案】D

【解析】解：设P(m,n),\PA\=t,则A(m,n+t),B(m,n—3t),C(m+2t,n),D(m—4t,n),

由题知4,B关于％轴对称，C,。关于y轴对称,

所以n+t+n—3t=0,m+2t+m—4t=

m=t

所以C(3t,t),力(t,2t),

"+#=1

b

所以修t2,即看+a/+今,解得6=口

匠+记=1

故选：D.

设P(m,n),\PA\=t,进而得4,B,C,D的坐标,进而根据对称性得力(t,2t),C(3t,t),再代入

椭圆方程整理即可求得结论.

本题主要考查椭圆的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.

平移直线z=2x-y,当z=2x-y过点8时，z取得最小值.

联立求得仁;二2即%-3,_2).

•••z=2x-y的最小值为-4.

故选：—4.

画出可行域，当直线z=2x-y过点8(-3,-2)时，z取得最小值.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

14.【答案】617

【解析】解：执行程序框图，

n=1,S=0,S——S+21=2,n=2,满足2<P-,

S=(-l)2S+22=6,n=3,满足6WP；

S=(-l)3S+23=2,n=4,满足2WP；

S=(-l)4S+24=18,n=5,满足18>P.

所以6WPS17,PEN*,所以正整数P的最小值和最大值分别为6和17.

故答案为：6；17.

运行程序，根据输出结果列不等式，从而求得P的最小值和最大值.

本题考查程序框图列不等式，属于基础题.

15.【答案】一事

4

【解析】解：设这个黄金三角形的另一个底角为B,顶角为4

所以cosC=髭=平，

则cos2c_2COS2C-1=一、'

f4l

故答案为：一工L.

4

根据三角形三角函数的定义结合二倍角公式求解即可.

本题主要考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】?

【解析】解：取BC的中点D,连接ZD,GD,如图所示：根据正三棱柱性

质可知：AD1BC,

又BBJ平面ABC,ADu平面ABC,所以BBi—D,

又=BC,做u平面BCC®所以4。1平面8。。出，

易知乙4CW为直线AC】与平面BCCiBi所成的角，

设A/IBC的外接圆半径为r,边长为a,正三棱柱的高为八，

乌

则4。=早如AC=Va2+h2,所以或兀30°=,2可得炉=2,

222a

Ja^+h2

又因为三棱柱4BC-ABiG内接于半径为2的球,

所以（|皿2+©2=（空）2+©2=22,

即日+9=4,解得a=早，即48=浮.

故答案为：冷.

根据正三棱柱性质以及线面角的大小，利用外接球半径为2可求得AHBC的边长a=次言，即得出

结果.

本题考查线面角，几何体的内切球等知识，属中档题.

17.【答案】解：⑴设等差数列｛an｝的公差为d,依题意得总的［黑匕，i+3d)=11,

解得｛，:2、所以斯=2几一1;

(2)由(1)得及=(l+2；T)n=n2,

所以岛=2(；-+),

所以5=2(1-抖；一抖…+：-总=言.

由土焦〈与解得99cHi<101,

因为m€N*,所以m=100.

【解析】(1)利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行求解即可；

(2)运用裂项相减法进行求解即可.

本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和转化思想、

运算能力，属于中档题.

18.【答案】解:⑴由己知可得a=I^x2=0.05,

oUU1U

则(0.005+0.05+b+c+0.005)X10=1,即b+c=0.04,

又因为a,b,c成等差数列，

所以2b=0.05+c,

解得b=0.03,c=0.01；

(2)可知0.005X10=0.05<0.5,(0.005+0.05)X10=0.55>0.5,

设中位数为x,则x6［60,70),由0.005x10+(x-60)x0.05=0.5,

解得x=69,即中位数为69,

平均数为(55x0.005+65x0.05+75x0.03+85x0.01+95x0.005)x10=71；

(3)成绩位于区间［80,90)内的学生有0.01X10x600=60人，成绩位于区间［90,100］内的学生有

0.005x10X600=30A,

通过分层抽样抽取的6人中成绩位于［80,90)的人数为6x^=4,这4人分别记为a,b,c,d,

成绩位于［90,100］的人数为6=2,这2人分别记为E,F,

从上述6人中抽取2人的基本事件有ab,ac,ad,aE,aF,be,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,

dF,EF,共15种，

其中恰有1人的得分在区间［90,100］内的基本事件有aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF,共8种,

故所求概率P=

【解析】（1）由成绩落在区间［60,70）内的人数为300,可求出a,再由各组的频率和为1,结合a,b,

c成等差数列，可求出b,c；

（2）先判断中位数的位置，再列方程求解，利用平均数的定义求平均数即可；

（3）由分层抽样的定义求得抽取的6人中成绩位于［80,90）的人数为4,这4人分别记为a,b,c,d,

成绩位于［90,100］的人数为2,这2人分别记为E,F,然后利用列举法求解概率.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19.【答案】（1）证明：取PA的中点G,连接FG,GE,

因为DE为△ABC的中位线，所以DE//4B,且

同理可证：FG//AB,且FG=；4B.

所以。E〃尸G,DE=FG,四边形DEGF为平行四边形，所以。F〃EG,

因为EGu平面PAE,DF,平面P4E,所以DF〃平面PAE.

（2）解：取AE的中点。，连接P。，因为P4=PE=4E,所以PO1AE,

因为DE〃AB,B.AC1AB,所以OEJ.EC,

又因为OEJ.PE,PEC\EC=E,且PE,ECu平面P4E,所以OE_L平面P4E,

因为P。u平面PAE,所以DEIP。，

因为AEnCE=E,AE、DE在平面ABDE中，所以P。1平面力BDE,且p。=早,

因为AC==2，所以AB=，7,

又因为DE为△ABC的中位线，所以DE=殍，AE=1,

因为AC1AB,所以四边形4BDE的面积S=《x（匚+，五）x1=—,

2、2/4

所以四棱锥P-4BDE的体积V=gx亨=

【解析】(1)根据题意，证得DE〃/G,DE=FG,得到四边形CEGF为平行四边形，得到CF〃EG,

结合线面平行的判定定理，即可证得DF〃平面P4E；

(2)取4E的中点0,连接P0,证得。E1平面P4E,得到DE1P。，求得p。=半，结合锥体的体

积公式，即可求解.

本题主要考查线面平行的证明，棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档

题.

20.【答案】解：(1)由题意知尸(04)，直线I的方程为y=x+§,设力(叼,%)，B(x2,y2),

联立方程组『2r2+,消去%得V一3py+0=°，

则4=9p2-4x。＞0，%+%=3p.

因为|4B|=%+刈+P=4p,所以4P=16,解得p=4；

(2)由⑴知2：y=x+2,y1+y2=12,设线段AB的中点为D,则。(4,6),线段的中垂线方程

为y=-%+10,

设圆心为P(%o，yo),易知点P(%o，y())在直线y=-％+10±,

即俨)=-x0+10,

222

lOo+2)=(x0-4)2+(y0-6)+8,

2,

消去加得培+8xo-48=O,解得假；，或｛%：22,

当2°：)时，圆心坐标为(4,6),半径为|6+2|=8,

所以圆的方程为(％—4)2+(y-6)2=64；

当E°Z时，圆心坐标为(-12,22),半径为|22+2|=24,

所以圆的方程为(x+12)2+(y-22)2=576,

所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=64或(x+12)2+(y-22)2=576.

【解析】(1)设出直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、抛物线的定义进

行求解即可；

(2)根据圆的性质，通过解方程组进行求解即可.

本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的定义和圆的性质，属于中档题.

21.【答案】解：(1)当a=e时，/(x)=ex+(l-e)x-l,

1•,f'(x)=ex+1—e,

令((x)=0,得x=ln(e-l),

当x>ln(e—1)时，fr(x)>0,当久<ln(e—1)时，f'(x)<0,

二/(x)在(-8,ln(e-1))上单调递减，在。n(e-1),+8)上单调递增.

(2)证明:/(%)=ax+(l-a)x-l(a>1).

f(x)—+(1—a),

.••/(%)在(0,1)上单调递增.

又/'(0)=Ina+1—a,设g(a)