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专题04二次函数的三种实际应用问题类型一、图形运动问题例1.如图,矩形中,,,动点和同时从点出发,点以每秒的速度沿的方向运动,到达点时停止,点以每秒的速度沿的方向运动,到达点时停止.设点运动(秒)时,的面积为,则关于的函数的图象大致为(

)A. B.C. D.【变式训练1】如图,矩形中,,动点P沿着的路径匀速运动,过点P作,垂足为Q,设点P的运动路程为x,以B,C,P,Q为顶点的四边形的面积为y,则y与x的大致函数图象为(

)A.B.C.D.【变式训练2】如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,他们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合,现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与点F重合时停止移动,在此过程中,设点B移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图像大致为(

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A.B.C. D.类型二、拱桥问题例1.2022年2月,在北京冬奥会跳台滑雪中,中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金,激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情.某跳台滑雪训练场的横截面如图所示,以某一位置的水平线为轴,过跳台终点作水平线的垂线为轴,建立平面直角坐标系.图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点正上方4米处的点滑出,滑出后沿抛物线运动.当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为4米时,距离水平线的高度恰好为8米.(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围);(2)运动员从点滑出后,当运动员距离点的水平距离为多少米时,运动员达到最大高度,此时,距离水平线的高度是多少米?(3)运动员从点滑出后,当运动员距离点的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离达到最大值,最大值是多少米?【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹,如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2),攻球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方,足球的飞行轨迹可看成抛物线.已知OB=28m,AB=8m,足球飞行的水平速度为15m/s,水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h的鹰眼数据如下表:s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时,s=m;(2)求h关于s的函数解析式;(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应,当守门员位于足球正下方时,足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s,最大防守高度为2.5m;背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m.①若守门员选择面对足球后退,能否成功防守?试计算加以说明;②若守门员背对足球向球门前进并成功防守,求此过程守门员的最小速度.【变式训练2】图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间具有二次函数关系.小明在一次击球过程中测得一些数据,如下表所示.根据相关信息解答下列问题.飞行时间012飞行高度01520(1)求小球的飞行高度(单位:)关于飞行时间(单位:)的二次函数关系式;(2)小球从飞出到落地要用多少时间?(3)小球的飞行高度能否达到?如果能,请求出相应的飞行时间;如果不能,请说明理由.【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分。据《范蠡兵法》记载:“飞石重二十斤,为机发,行三百步”,其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.在如图②所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处),石块从投石机竖直方向上的点C处被投出,在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知,石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是,,,,.(1)求抛物线的表达式;(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB;(3)分别求出和时,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离.【变式训练4】如图,篮球场上OF的长为25米,篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球,球从离地面2米的A处抛出,球的运动轨迹可看作一条抛物线,在距O点4米的B处达到最高点,最高点C距离地面4米;篮球在点D处落地后弹起,弹起后在点E处落地,且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同,但高度减少为原来最大高度的一半.以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求抛物线ACD的函数表达式;(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离;(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮,起跳后篮球在距离地面3米的地方出手,球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同,高度相等,并且恰好投入离地面3米的篮筐中,求EG的长?类型三、销售利润问题例1.某服装批发市场销售一种衬衫,衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如表:售价x(元/件)556575销售量y(件)150013001100(1)求出y与x之间的函数表达式;(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元,又想尽量给客户实惠,该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,设销售这种衬衫每月的总利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,x为多少时,w有最大值,最大利润是多少?【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒,设肉粽每盒售价x元,y表示该商家每天销售肉棕的利润(单位:元).(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元(2)若每盒利润率不超过50%,问肉粽价格为多少元时,商家每天获利1350元?(3)若x满足,求商家每天的最大利润.【变式训练2】某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:售价x(元/件)607080周销售量y(件)1008060周销售利润w(元)200024002400(1)求y关于x的函数解析式;(2)直接写出该商品的进价,并求出该商品周销售利润的最大值;(3)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件,物价部门规定该商品售价不得超过70元/件,该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是2000元,求m的值.【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物,据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市,非常畅销,小许选两款玩偶各50个,决定在网店进行销售.售后统计,一个冰墩墩玩偶利润为30元/个,一个雪容融玩偶利润为5元/个,调研发现:冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个,平均每个利润减少1元;而雪容融的利润始终不变;小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖.设冰墩墩的数量比第一次增加个,第二次冰墩墩售完后的利润为元.(1)用含的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润;(2)如何安排购买方案,使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大,最大利润是多少?【变式训练4】某商贸公司购进某种水果的成本为20元/,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为(为整数),已知日销售量y(千克)与时间t(天)之间的变化规律符合一次函数关系,且y与t的关系如表:时间t(天)136102040…日销售量1181141081008040…(1)试求在第30天的日销售量是多少?(2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?专题04二次函数的三种实际应用问题类型一、图形运动问题例1.如图,矩形中,,,动点和同时从点出发,点以每秒的速度沿的方向运动,到达点时停止,点以每秒的速度沿的方向运动,到达点时停止.设点运动(秒)时,的面积为,则关于的函数的图象大致为(

)A. B.C. D.【答案】B【详解】解:点E从点A运动到点D,用时2s,点F从点A到点B,用时2s,从点B运动到点C,用时1s,从点C运动到点D,用时2s,∴y与x的函数图象分三段:①当0≤x≤2时,AE=2x,AF=4x,∴y=•2x•4x=4x2,这一段函数图象为抛物线,且开口向上,由此可排除选项A和选项D;②当2<x≤3时,点F在线段BC上,AE=4,此时y=×4×8=16,③当3<x≤5时,y=×4×(4+8+4−4x)=32−8x,由此可排除选项C.故选:B.【变式训练1】如图,矩形中,,动点P沿着的路径匀速运动,过点P作,垂足为Q,设点P的运动路程为x,以B,C,P,Q为顶点的四边形的面积为y,则y与x的大致函数图象为(

)A. B.C. D.【答案】A【详解】解:∵由勾股定理得,分类讨论如下:(1)如图1,当点P在上移动时(四点围图为梯形),∴,,∴,∴,∴,∴,∴;(2)如图2,当点P在上移动时(四点围图为矩形),∵点P的运动路程为x,∴PC=x-5,∵,∴;故依据函数解析式得图象如图3,故选:A.【变式训练2】如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,他们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合,现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与点F重合时停止移动,在此过程中,设点B移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图像大致为(

)

A.B.C. D.【答案】A【详解】解:如图1所示:当0<x≤2时,过点G作GH⊥BF于H.∵△ABC和△DEF均为等边三角形,∴△GEJ为等边三角形.∴GE=EJ=GJ=x,∠GEJ=60°,∴GH=CGsin60°=EJ=x,∴y=EJ•GH=x2,当x=2时,y=,且抛物线的开口向上.如图2所示:2<x≤4时,过点G作GH⊥BF于H.y=FJ•GH=(4﹣x)2,函数图象为抛物线的一部分,且抛物线开口向上.故选:A.类型二、拱桥问题例1.2022年2月,在北京冬奥会跳台滑雪中,中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金,激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情.某跳台滑雪训练场的横截面如图所示,以某一位置的水平线为轴,过跳台终点作水平线的垂线为轴,建立平面直角坐标系.图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点正上方4米处的点滑出,滑出后沿抛物线运动.当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为4米时,距离水平线的高度恰好为8米.(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围);(2)运动员从点滑出后,当运动员距离点的水平距离为多少米时,运动员达到最大高度,此时,距离水平线的高度是多少米?(3)运动员从点滑出后,当运动员距离点的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离达到最大值,最大值是多少米?【答案】(1);(2)当运动员距离的水平距离为米时,运动员达到最大高度,高度为米;(3)当运动员距离的水平距离为米时,运动员与小山坡的竖直距离达到最大值,最大值为米.【解析】(1)解:抛物线经过点,,,解得.抛物线的解析式为:.(2)解:,当运动员距离的水平距离为米时,运动员达到最大高度,最大高度为米.(3)解:设运动员与小山坡的竖直距离为,则,当时,取得最大值,最大值为.当运动员距离的水平距离为米时,运动员与小山坡的竖直距离达到最大值,最大值为米.【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹,如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2),攻球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方,足球的飞行轨迹可看成抛物线.已知OB=28m,AB=8m,足球飞行的水平速度为15m/s,水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h的鹰眼数据如下表:s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时,s=m;(2)求h关于s的函数解析式;(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应,当守门员位于足球正下方时,足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s,最大防守高度为2.5m;背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m.①若守门员选择面对足球后退,能否成功防守?试计算加以说明;②若守门员背对足球向球门前进并成功防守,求此过程守门员的最小速度.【答案】(1)30;(2);(3)①守门员不能成功防守;说明见解析;②守门员的最小速度为m/s【解析】(1)解:由函数图象信息可得:顶点坐标为:所以预测足球落地时,故答案为:30(2)解:由数据表得抛物线顶点(15,5),故设解析式为,把(12,4.8)代入得所以解析式为.(3)解:设守门员到达足球正下方的时间为ts.①由题意得15t=20+2.5t,解得t=,即s=24m,把s=24代入解析式得,而,所以守门员不能成功防守.②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时,此时速度最小.所以把h=1.8代入解析式得:解得:s=27或s=3(不合题意舍去)所以足球飞行时间,守门员跑动距离为(m),所以守门员速度为m/s.【变式训练2】图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间具有二次函数关系.小明在一次击球过程中测得一些数据,如下表所示.根据相关信息解答下列问题.飞行时间012飞行高度01520(1)求小球的飞行高度(单位:)关于飞行时间(单位:)的二次函数关系式;(2)小球从飞出到落地要用多少时间?(3)小球的飞行高度能否达到?如果能,请求出相应的飞行时间;如果不能,请说明理由.【答案】(1);(2);(3)不能,理由见解析【解析】(1)由题意可设关于的二次函数关系式为,因为当,2时,,20,∴,解得:.∴关于的二次函数关系式为.(2)当,,解得:,.∴小球从飞出到落地所用的时间为.(3)小球的飞行高度不能达到.理由如下:当时,,方程即为,∵,∴此方程无实数根.即小球飞行的高度不能达到.【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分。据《范蠡兵法》记载:“飞石重二十斤,为机发,行三百步”,其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.在如图②所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处),石块从投石机竖直方向上的点C处被投出,在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知,石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是,,,,.(1)求抛物线的表达式;(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB;(3)分别求出和时,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离.【答案】(1);(2)石块不能飞越防御墙AB,见解析(3)时石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为米;时石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为米【解析】(1)抛物线的顶点坐标是,,设石块运行的函数关系式为y=a(x﹣50)2+25,将代入,得,解得,抛物线的表达式为;(2),把x=75代入,得,,.,∵21>20,∴石块不能飞越防御墙AB.(3)解:设直线OA的解析式为y=kx(k≠0).,,把(75,12)代入,得12=75k,∴k=.故直线OA的解析式为y=x.设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为(t,).过点P作PQ⊥x轴,交OA于点Q,则Q(t,).∴PQ=-=,∴当t=时,PQ取最大值,最大值为.在竖直方向上,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是米.当时,是对称轴,时,石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是米.【变式训练4】如图,篮球场上OF的长为25米,篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球,球从离地面2米的A处抛出,球的运动轨迹可看作一条抛物线,在距O点4米的B处达到最高点,最高点C距离地面4米;篮球在点D处落地后弹起,弹起后在点E处落地,且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同,但高度减少为原来最大高度的一半.以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求抛物线ACD的函数表达式;(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离;(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮,起跳后篮球在距离地面3米的地方出手,球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同,高度相等,并且恰好投入离地面3米的篮筐中,求EG的长?【答案】(1);(2)17.7米;(3)1.7米【解析】(1)解:设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为,∵,,∴,由已知:当时,,即,∴,∴抛物线的函数表达式为;(2)解:令,则,解得:,(舍去),∴篮球第一次落地距O点约9.7米;如图,第二次篮球弹出后的距离为DE,根据题意:,相当于将抛物线ACND向下平移了2个单位,∴,解得:,,∴,∴(米),∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米;(3)解:∵运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮,起跳后篮球在距离地面3米的地方出手,即此时,∴,解得,(舍去),∴米.类型三、销售利润问题例1.某服装批发市场销售一种衬衫,衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,经市场调查,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如表:售价x(元/件)556575销售量y(件)150013001100(1)求出y与x之间的函数表达式;(不需要求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元,又想尽量给客户实惠,该如何给这种衬衫定价?(3)物价部门规定,该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,设销售这种衬衫每月的总利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,x为多少时,w有最大值,最大利润是多少?【答案】(1)y=﹣20x+2600;(2)80元(3)w=﹣20(x﹣90)2+32000;售价定为75元时,可获得最大利润,最大利润是27500元【解析】(1)解:设y与x之间的函数关系式为,则,解得,∴y与x之间的函数表达式是.(2)解:由题意知,,解得,∵尽量给客户优惠,∴这种衬衫定价为80元.(3)解:由题意可得,,∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,每件售价不低于进货价,∴,解得,∵,抛物线开口向下,∴当x=75时,w取得最大值,此时w=27500元,∴售价定为75元时,可获得最大利润,最大利润是27500元.【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒,设肉粽每盒售价x元,y表示该商家每天销售肉棕的利润(单位:元).(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元(2)若每盒利润率不超过50%,问肉粽价格为多少元时,商家每天获利1350元?(3)若x满足,求商家每天的最大利润.【答案】(1)肉粽每盒40元,豆沙粽每盒30元;(2)55元;(3)1600元【解析】(1)解:设肉粽每盒进价a元,则豆沙粽每盒进价元.则,解得,经检验是方程的解,.答:肉粽每盒40元,豆沙粽每盒30元;(2)解:∵肉粽进价每盒40元,每盒利润率不超过50%,∴,由题意得,,整理得,,解得(舍去),.答:肉粽价格为55元时,商家每天获利1350元;(3)解:设商家的利润为y元,则,配方得,,∵时,y随x的增大而增大,,∴当时,y取最大值,.答:最大利润为1600元.【变式训练2】某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:售价x(元/件)607080周销售量y(件)1008060周销售利润w(元)200024002400(1)求y关于x的函数解析式;(2)直接写出该商品的进价,并求出该商品周销售利润的最大值;(3)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件,物价部门规定该商品售价不得超过70元/件,该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是2000元,求m的值.【答案】(1);(2)进价每件40元,当时,w有最大值为元;(3)5【解析】(1)解:设,将,分别代入得解得:,∴y关于x的函数解析式为.(2)设进价为z元,则100(60-z)=2000,解得z=40,故进价为40元/件.,∴抛物线开口向下,对称轴为直线,∴当时,w有最大值为元;(3),∴抛物线开口向下,对称轴为直线,∴当时,w随x的增大而增大.又∵,∴当时,w有最大值:.解得:.【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物,据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市,非常畅销,小许选两款玩偶各50个,决定在网店进行销售.售后统计,一个冰墩墩玩偶利润为

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