等差数列的求和公式

关于等差数列的求和公式我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.等差数列求和的历史高斯(1777年-1855年)德国著名数学家观察归纳1+2+3+…+50+51+…+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

……

50+51=101

(100+1)×100/2=5050第2页,共15页，2024年2月25日，星期天探究发现问题：12310010099981获得算法：图案中，第1层到第100层一共有多少颗宝石？第3页,共15页，2024年2月25日，星期天问题1：1+2+3+…+n=?

(倒序相加法）

解：第4页,共15页，2024年2月25日，星期天=a3+an-2=

a2+an-1

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即：

a1+an=……

似乎与n的奇偶有关问题是一共有多少个

a1+an

1.公式推导a1+a2+a3+a4…+an-2+an-1+an=第5页,共15页，2024年2月25日，星期天设等差数列{an}前n项和为Sn

,则

第6页,共15页，2024年2月25日，星期天设等差数列{an}的前n项和为Sn,即：

Sn=a1+a2+…+anSn=

a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=

an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1两式相加得:

2Sn=(a1+an)×n算法：倒序相加求和第7页,共15页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项和公式的另一种推导第8页,共15页，2024年2月25日，星期天例2

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4解得n1＝9，n2＝－3（舍去）因此,等差数列的前9项和是54

方程思想知三求二令＝54，由等差数列前n项和公式，得：(1)解:由已知得：整体思想认识公式第9页,共15页，2024年2月25日，星期天例题解析例2：等差数列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解：由an=a1+(n-1)d得：18=a1+(n-1)4解得：n=4

n=6a1=6

a1=-2或第10页,共15页，2024年2月25日，星期天第11页,共15页，2024年2月25日，星期天例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可以得到两个关于首项和公差的关系式，他们是关于首项和公差的二元一次方程，由此可以求得首项和公差，从而得到所求的前n项和的告诉.解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式得到方程思想第12页,共15页，2024年2月25日，星期天当n>1时：

当n=1时：也满足①式.①第13页,共15页，2024年2月25日，星期天【解析】由题意知，等差数列的公差为

于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值答案:27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前_____项的和为54？答案