云南省三新教研联合体高二第二次联考数学试卷（含答案）

三新教研联合体第二次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，且，则（）A． B． C．1 D．22．已知复数满足：（为虚数单位），则复数（）A． B．5 C． D．63．近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20—60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知集合，则中的元素个数有（）个A．0 B．1 C．2 D．35．在等差数列中，公差，若，则（）A．13 B．14 C．15 D．166．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（）A． B． C． D．8．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．若函数过点，则B．若，则在方向上的投影向量的坐标为C．若弧长为的弧所对圆心角为，则扇形面积为D．10．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（）A．B．函数的一条对称轴为直线C．在上单调递减D．当时，若方程恰有三个不相等的实数根，则11．在长方体中，已知，点满足，其中，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点使得D．当时，三棱锥的外接球表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在点处的切线方程为________．13．设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为________．14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，则________．若“黄金粗圆”的两个焦点分别为，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知分别为三个内角的对边，且．（1）求；（2）若，且的面积为，求．16．（15分）如图，在四面体中，平面是中点，是线段上一点（不包含端点），点在线段上，且．（1）若是中点，求证：平面；（2）若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为，且两人射击成绩是否优秀相互独立．（1）若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；（2）在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．18．（17分）已知数列中，为的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．19．（17分）已知动点到点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的轨迹方程；（2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点．①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；②求面积的最小值．三新教研联合体第二次联考数学答案一、选择题1．D解：由得，即，所以，故选D．2．A解：，则，故选A．3．B由图可知，第二组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30，按分层随机抽样抽取10人，则应从第二组抽取的人数为人，故选B．4．B解：双曲线的渐近线为，因为直线与平行，所以有1个交点，故选B．5．C解：因为所以又因为，所以，故选C．6．A解：令，则，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以，则的一个充分不必要条件是，故选A．7．B解：设圆心坐标为，则，圆的方程为因为两点在圆上，所以，解得或，当时，为劣弧所对角，故舍去．所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以，故选B．8．D解：设，当时，，此时，由得，即，解得或，所以在上有2个零点，若，对称轴为，函数的大致图象如下：此时，即，则，所以无解，则无零点，所以无零点，不符合题意，所以，此时的大致图象如下：由得或，要使恰有3个零点，只需在上有一个零点，则，即，解得所以，故选D．二、选择题9．A、D解：A．因为过点，所以，所以，故A正确；B．，故B错；C．因为，所以；则，故C错；D．故D正确．10．A、B、DA．由图知，，．因为，所以，则，所以，故A正确；B．当时，，此时取到最大值，所以是的一条对称轴，故B正确；C．因为，所以，而在上单调递增，所以在上单调递增，故C错；D．由，得，因为，所以，所以的图象如下：所以，即，所以，而，所以，则，故D正确．11．B、C、D解：A．当时，，所以点在上，当点为中点时，的周长为，当点在点处时，的周长为，所以周长不是定值，故A错；B．当时，，所以点在上，因为平面，平面，所以平面，所以直线上的点到平面的距离相等，则的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；C．当时，，如图，取中点中点，连接，则因为，所以点在上；因为过点作的垂线，只能作出一条，所以过点作的垂线，也只能作出一条，所以有且仅有一点（中点）使，故C正确；D．当时，，所以点在上，的外接球即为四棱锥的外接球，当点为中点时，为直角三角形，其外心为中点外心为中点，此时平面，则球心为，半径，当不是中点时，平面截球截得小圆，则球的半径，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确．三、填空题12．或解：所以切线方程为，即（或．13．2解：曲线所过定点为，所以，即，则，当且仅当时取“”，所以的最小值为2．14．解：，所以，如图，连接，设的内切圆半径为，则，，所以，因为，所以，所以．四、解答题15．（1）；（2）或解：因为所以因为，所以即，所以，则或，所以或，又因为，所以（2）由题意得或16．16．解：（1）如图，取中点，连接因为为中点所以因为为中点，为中点所以又因为所以因为所以平面平面因为平面所以平面（2）如图，取中点，建立如图所示的空间直角坐标系则设平面的法向量则令，则而平面PAC的法向量设两平面夹角为所以17．（1）解：设成绩优秀的人数为，则（2）解：（方法一）设甲连续射击10次击中环数为，平均数为，乙连续射击10次击中环数为，平均数为，两人这20次射击的平均数由，得同理方差（方法二）由分层方差公式得18．当时，，则因为①当时，②由①-②得则所以是等比数列，首