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文档简介
2023-2024学年北京八中高三二诊模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.32.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍3.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.4.已知向量,,,若,则()A. B. C. D.5.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则6.在中,角的对边分别为,,若,,且,则的面积为()A. B. C. D.7.已知复数和复数,则为A. B. C. D.8.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.若复数是纯虚数,则实数的值为()A.或 B. C. D.或10.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直11.设函数,当时,,则()A. B. C.1 D.12.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.14.角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.15.割圆术是估算圆周率的科学方法,由三国时期数学家刘徽创立,他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积,从而得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点,则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________.16.抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.18.(12分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.19.(12分)已知函数.(1)若曲线的切线方程为,求实数的值;(2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.20.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.21.(12分)已知集合,.(1)若,则;(2)若,求实数的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2、D【解析】
先求得,再根据三角函数图像变换的知识,选出正确选项.【详解】依题意,所以由向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选:D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算,考查诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.3、D【解析】
因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.4、A【解析】
根据向量坐标运算求得,由平行关系构造方程可求得结果.【详解】,,解得:故选:【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题,涉及到平面向量的坐标运算;关键是明确若两向量平行,则.5、D【解析】试题分析:,,故选D.考点:点线面的位置关系.6、C【解析】
由,可得,化简利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面积.【详解】解:,,且,,化为:.,解得..故选:.【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7、C【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.8、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.9、C【解析】试题分析:因为复数是纯虚数,所以且,因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点:纯虚数10、C【解析】试题分析:由已知直线的斜率为,直线的斜率为,又由正弦定理得,故,两直线垂直考点:直线与直线的位置关系11、A【解析】
由降幂公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求得参数值.【详解】,时,,,∴,由题意,∴.故选:A.【点睛】本题考查二倍角公式,考查两角和的正弦公式,考查正弦函数性质,掌握正弦函数性质是解题关键.12、B【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当时,,此时,此时函数在单调递减,在单调递增,方程最多2个不相等的实根,舍;当时,函数图象如下所示:从左到右方程,有4个不相等的实根,依次为,,,,即,由图可知,故,且,,从而,令,显然,,要使该式在时有最小值,则对称轴,解得.综上所述,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要一定的逻辑思维能力,属于较难题.14、【解析】试题分析:由三角函数定义知,又由诱导公式知,所以答案应填:.考点:1、三角函数定义;2、诱导公式.15、【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积,再用几何概型公式求出即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形,可分割为12个顶角为,腰为1的等腰三角形,∴该正十二边形的面积为,根据几何概型公式,该点取自其内接正十二边形的概率为,故答案为:.【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算,属于基础题.16、2【解析】
设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲线的参数方程消去t后,要注意x的范围,再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;(2)设,,由(1)可得,,相加即可得到证明.【详解】(1),∵,∴,∴,由题可知:,:().(2)因为,设,,则,,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.18、(1);(2),理由见解析.【解析】
(1)求出椭圆的上、下焦点坐标,利用椭圆的定义求得的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;(2)设点的坐标为,求出直线的方程,求出点的坐标,由此计算出直线和的斜率,可计算出的值,进而可求得的值,即可得出结论.【详解】(1)由题意可知,椭圆的上焦点为、,由椭圆的定义可得,可得,,因此,所求椭圆的方程为;(2)设点的坐标为,则,得,直线的斜率为,所以,直线的方程为,联立,解得,即点,直线的斜率为,直线的斜率为,所以,,,因此,.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中定值问题的求解,考查计算能力,属于中等题.19、(1);(2)或【解析】
(1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为,结合导数的几何意义可得方程,构造函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可代入求得的值;(2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得,构造函数,根据题意可知直线与曲线有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调性与极值,即可确定与有两个交点时的取值范围.【详解】(1)依题意,,,设切点为,,故,故,则;令,,故当时,,当时,,故当时,函数有最小值,由于,故有唯一实数根0,即,则;(2)由,得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”;由于.由,解得,.当变化时,与的变化情况如下表所示:30+0极小值极大值所以在,上单调递减,在上单调递增.又因为,,,,故当或时,直线与曲线在上有两个交点,即当或时,函数在区间上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义应用,由切线方程求参数值,构造函数法求参数的取值范围,函数零点的意义及综合应用,属于难题.20、(1)2;(2).【解析】
(1)化简得,所以,展开后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可转化为,讨论去绝对值即可求得的取值范围.【详解】(1)∵,,∴,∴.∴.当且仅当且即时,.(2)由(1)知,,对任意,都有,∴,即.①当时,有,解得;②当,时,有,解得;③当时,有,解得;综上,,∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式,考查学生的分类思想和计算能力,属于中档题.21、(1);(2)【解析】
(1)将代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.(2)由可知B为A的子集,即;当符合题意,当B不为空集时,由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】(1)若,则,依题意,故;(2)因为,故;若,即时,,符合题意;若,即时,,解得;综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算,由集合的包含
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