8.4.2因式分解公式法（课件）七年级数学下册课件（沪科版）

用公式法因式分解一、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆运算.整式乘法一个多项式因式分解几个整式的积二、公因式多项式的各项中都含有的相同的因式，叫做各项的公因式.确定公因式的方法：①

定系数

②

定字母

③

定指数

④

看整体

三、提公因式法

一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c)

把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和差形式.

然后把多项式的每一项写成公因式与另一个因式相乘的形式，①

找出公因式.用提公因式法分解因式的步骤：②

提公因式.

注意另一个因式可由原多项式的相应项除以公因式得到.1、填空：①0.49b2

＝()2②36a4

＝()2③64x2y2

＝()2±0.7b±6a2±8xy课前热身④m2n4

＝()2±

mn2251654课前热身2、运用乘法公式计算:(1)(x+3y)2x2+2·x·3y+(3y)2解:原式==x2+6xy+9y2(2)(x-3y)2x2-2·x·3y+(3y)2解:原式==x2-6xy+9y2(3)(x+5)(x-5)x2-52解:原式==x2-25思考：这几道题我们运用了学过的什么公式？探究新知完全平方公式：平方差公式：(a+b)2(a-b)2(a+b)(a-b)=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2=a2-b2因式分解的完全平方公式：因式分解的平方差公式：

不难发现，乘法公式反过来使用，就可以进行因式分解,

利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法.

思考：符合什么结构特征的多项式可以用公式法因式分解？

分别是两个数(或式子)的平方，因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2思考：(1)式子的左边具有什么共同特征？(2)它们的结果有什么特征呢？

这两个数(或式子)乘积的2倍，右边是两个数(或式子)的和(或差)

的平方.探究新知我们把形如

a2±2ab+b2

这样的式子叫做完全平方式.式子左边是二次三项式，且这两项的符号相同，中间一项是符号可以是“+”，也可以是“-”.其中首尾两项

两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍，

等于这两个数的和(或差)的平方.同学们，你能用语言叙述这两个公式吗？归纳总结因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)思考：(1)式子的左边具有什么特征？(2)它们的结果有什么特征呢？

式子左边是二项式，式子右边是两个数的和乘以这两个数的差.

探究新知且两项的符号相反；两项都可写成平方的形式，两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差.

同学们，你能用语言叙述这个公式吗？归纳总结因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

如果多项式是三项式，则考虑用完全平方公式分解；例3

把下列各式分解因式：(1)x2+14x+49知识拓展①

分解因式时，先考虑用提公因式法；②

对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，解：原式=x2

a²+2ab+b²=(x+7)2+2•x•7+72=(a+b)2(2)9a2-30ab+25b2解:原式=(3a)2

a²-2ab+b²=(a-b)2=(3a-5b)2-2×3a×5b+(5b)2例3

把下列各式分解因式：

如果多项式是三项式，则考虑用完全平方公式分解；知识拓展①

分解因式时，先考虑用提公因式法；②

对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，(3)x2-81例3

把下列各式分解因式：

如果多项式是三项式，则考虑用完全平方公式分解；①

分解因式时，先考虑用提公因式法；②

对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，

如果多项式是二项式，则考虑用平方差公式分解；解:原式=x2=92

a²-b²=(a+b)(a-b)(x+9)(x-9)-知识拓展(4)36a2-25b2解:原式=(6a)2=

(5b)2

a²-b²=(a+b)(a-b)(6a+5b)(6a-5b)-例3

把下列各式分解因式：

如果多项式是三项式，则考虑用完全平方公式分解；①

分解因式时，先考虑用提公因式法；②

对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，

如果多项式是二项式，则考虑用平方差公式分解；知识拓展分解因式的一般步骤：巩固练习(1)1-6y+9y2解:原式=12-2×1×3y+(3y)2=(1-3y)2(2)1-36n2解:原式=12-(6n)2=(1+6n)(1-6n)1、把下列各式分解因式巩固练习1、把下列各式分解因式(3)9n2+64m2-48mn解:原式=9n2-48mn+64m2=(3n)2-2×3n×8m+(8m)2=(3n-8m)2(4)16a4-1解:原式=(4a2)2-12=(4a2+1)(4a2-1)=(4a2+1)(2a+1)(2a-1)

因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不能分解为止.知识拓展巩固练习2、把下列各式分解因式(1)-x2+6xy-9y2

如果多项式的首项系数是负数，一般应先提出“-”，使括号内的首项系数是正数，同时括号内的其他各项都要改变号.知识拓展解:原式=-(x2-6xy+9y2)=-(x-3y)2=-[]-2•x•3yx2+(3y)2巩固练习2、把下列各式分解因式(2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1解:原式=[2(2a+b)]2+12-2×2(2a+b)×1=[2(2a-b)-1]2=(4a-2b-1)2巩固练习2、把下列各式分解因式(3)4(m+n)2-(m-n)2解:原式=[2(m+n)]2=

(m-n)2[2(m+n)+(m-n)]-[2(m+n)-(m-n)]=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)巩固练习2、把下列各式分解因式(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81解:原式=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+81=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4

因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不能分解为止.知识拓展巩固练习3、把下列各式分解因式(1)81a4-16b4(2)-a2+2a-212巩固练习3、把下列各式分解因式(3)16(x-y)2-25(x+y)2(4)(x2+16y2)2-64x2y2巩固练习4、已知a2+b2-2a+6b+10=0，求a2021-的值.1b巩固练习5、已知2m=28.求4m-3·2m+1+9的值.本节课你有什么收获？

一、用公式法因式分解

利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法.二、因式分解的公式：因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)