《 多项式乘多项式》（第2课时）示范课教学设计【青岛版七年级数学下册】

第十一章整式的乘除《多项式乘多项式》教学设计第2课时教学目标1.熟练运用多项式乘多项式法则进行运算；2．整理多项式乘以多项式的常见题型.教学重点及难点重点：多项式乘多项式法则的应用．难点：题型的归纳整理．教学准备多媒体课件、图片.教学过程【复习引入】1.多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2.计算：（1）(x-7y)(x+5y)=x2-2xy-12y2（2）(2x+5y)(3x−2y)=6x2+11xy−10y2（3）(x+4)(x-1)+(x-4)(x+1)=x2+3x-4+x2-3x-4=2x2-8设计意图：复习法则，为本节课的学习作铺垫.【探究新知】做一做（1）(x+2)(x+3)=x2+x+5、6(x-2)(x+3)=x2+x+1、(-6)(x+2)(x-3)=x2+x+(-1)、-6(x-2)(x-3)=x2+x+（-5）、6根据上面的式子呈现的规律，表示(x+a)(x+b)=x2+x+(a+b)、ab（2）直接写出结果：(x-7)(x+5)=x2-2x-12(y-5)(y-8)=y2-13y+40设计意图：利用多项式法则运算，观察结果的规律，运用规律解决新的问题，在运算中找规律，既提高学生运算能力，又培养了观察分析问题的能力.练一练计算：（1）(a+b)(a2-ab+b2)（2）(2x-1)·(-x2+3x-1)（3）(y+2)·(y2-2y+1)-y(y2+1)解：（1）(a+b)(a2-ab+b2)（2）(2x-1)·(-x2+3x-1)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=-2x3+6x2-2x+x2-3x+1=a3+b3=-2x3+7x2-5x+1（3）(y+2)·(y2-2y+1)-y(y2+1)=y3-2y2+y+2y2-4y+2-y3-y=-4y+2设计意图：熟练运用多项式乘多项式法则进行运算，在乘的过程中要不重复、不遗漏，结果要合并同类项．挑战自我小莹说：“我发现，无论n取怎样的正整数，代数式(n+1)·(n2-n+2)+n·(2n2-1)+1”的值都是3的倍数.解：(n+1)·(n2-n+2)+n·(2n2-1)+1=n3-n2+2n+n2-n+2+2n3-n+1=3n3+3=3(n3+1)对于任意正整数n，n3+1也是正整数，所以3(n3+1)能被3整除.设计意图：解决整除问题就要把整式化简，能被几整除就变为几的倍数.【应用新知】典例精析例1.我们知道某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果，下面我们就来探究一个公式并应用这个公式解决问题．（1）计算：（x+1）（x2-x+1）=；

（m+2）（m2-2m+4）=；

（2a+1）（4a2-2a+1）=．

（2）上面的乘法运算结果很简洁，观察上面运算你发现了什么规律？用字母a，b表示这个规律，并加以证明．

（3）已知x+y=2，xy=-3，求x3+y3．解析：利用多项式乘多项式法则计算，注意整体代入的思想的应用．解：（1）（x+1）（x2-x+1）=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1，（m+2）（m2-2m+4）=m3-2m2+4m+2m2-4m+8=m3+8，（2a+1）（4a2-2a+1）=8a3-4a2+2a+4a2-2a+1=8a3+1．故答案为x3+1、m3+8、8a3+1．（2）规律：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3．证明：（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3．（3）∵x+y=2，xy=-3，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=10，∴x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=26．例2.已知（x+3）（x2+ax+b）的积中不含有x的二次项和一次项，求a，b的值．解析：先将多项式展开后合并同类项，然后含x的二次项和一次项的系数为0，构建方程，可求a，b的值，即利用方程的思想解决问题．解：原式=x3+ax2+bx+3x2+3ax+3b=x3+ax2+3x2+3ax+bx+3b=x3+（a+3）x2+（3a+b）x+3b，由题意可知：a+3=0，3a+b=0，解得a=-3，b=9．例3.已知：A=1+2x，B=1-2x+4x2，C=1-4x3求：（1）A•B-C；（2）求当x＝时，求A•B-C的值．解析：利用多项式乘法运算法则结合整式的加减运算法则分别计算得出答案，正确利用相关法则.解：（1）∵A=1+2x，B=1-2x+4x2，C=1-4x3，∴A•B-C=（1+2x）（1-2x+4x2）-1+4x3=1-2x+4x2+2x-4x2+8x3-1+4x3=12x3；（2）当x＝时，A•B-C=12x3=12×（）3=-40.5．例4.如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．问剩余草坪的面积是多少平方米？解析：本题借助求草坪面积考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，要从多角度思考问题，归纳解题方法.解：方法一：（4a+3b）（2a+3b）-[b(2a+3b)-b(4a+3b)-b2]=（4a+3b）（2a+3b）-（6ab+5b2）=8a2+6ab+12ab+9b2-6ab-5b2=8a2+12ab+4b2（平方米）；方法二：如图所示，

空白部分的面积为（4a+3b-b）（2a+3b-b）=（4a+2b）（2a+2b）=8a2+8ab+4ab+4b2=8a2+12ab+4b2，答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米．例5.如图所示：有边长为a的正方形A类卡片、边长为b的正方形B类卡片、长和宽分别为a、b的长方形C类卡片各若干张，如果要拼一个边长分别为（2a+b）、（a+2b）的大长方形（不重叠无缝隙），那么需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，并请画出一种拼法．（每类卡片至少使用一张，并在画图时标注好每类卡片的类型及边长）解析：先根据面积列出多项式乘以多项式的算式，再根据法则求出即可．解：大长方形的面积是（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，所以需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，如图：故答案为：2，2，5．设计意图：利用多项式乘法的灵活运用，掌握求面积的方法，渗透方程思想、整体代入思想及转化思想在解题中的应用，巩固所学知识，加深对所学知识的理解．课堂练习1.（1）计算的正确结果是（）．CA．B．C．D．（2）的乘积中不含项，则（）．CA．p=qB．p=±qC．p=－qD．无法确定2.计算：（1）（a+b）（a-2b）-a（a-b）+（3b）2（2）（x+y-2）（x-y）．（3）x(x2+x-1)+(2x2-1)(x-4)．2.试证明代数式（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16的值与x的值无关．解：（1）∵（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16=6x2+4x+9x+6-6x2-18x+5x+16=22，∴代数式（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16的值与x无关.3．先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1．4.说明对于任意正整数n，式子n（n+5）-（n-3）（n+2）的值都能被6整除．5.若M=（a+3）（a-4），N=（a+2）（2a-5），其中a为有理数，请用所学的数学知识来比较它们的大小．6.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝－20，求x的值．师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．参考答案：1．（1）C．（2）C．2.解：（1）（a+b）（a-2b）-a（a-b）+（3b）2（2）（x+y-2）（x-y）．=a2-ab-2b2-a2+ab+9b2=x2-xy+xy-y2-2x+2y=7b2．=x2-y2-2x+2y（3）x(x2+x-1)+(2x2-1)(x-4)=x3+x2-x+2x3-8x2-x+4=3x3-7x2-2x+4．3.解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2．当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21．4.解：n（n+5）-（n-3）（n+2）=n2+5n-n2+n+6=6n+6=6（n+1）∵n为任意正整数∴6（n+1）÷6=n+1∴n（n+7）-（n+3）（n-2）总能被6整除．5.解：∵M-N=（a+3）（a-4）-（a+2）（2a-5）=a2-a-12-2a2+a+10=-a2-2≤-2＜0，∴M＜N，

∴M＜N．6.解：先根据定义，可化为（6x＋5）（6x－5）－（6x－1）2＝－20，去括号，得36x2－25－（36x2－12x＋1）＝－20，整理，得36x2－25－36x2＋12x－1＝－20．移项，合并同类项，得12x＝6．系数化为1，得x＝．设计意图：通