人教版高一数学上册期末考试试卷及答案

未命名

一、单选题

1.设全集U={-2,-L0,l,2},集合A={0,1,2},B={-1,2},则4口值间=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2）

2.“x>5”是“x>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.下列命题中正确的（）

①。与{0}表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1）；

③方程（x—l）2（x—2）=0的所有解的集合可表示为{I,1,2）；

④集合"|4<r<5}可以用列举法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上语句都不对

4.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.矩形的两条对角线垂直B.对任意a,beR,都有屏+〃二2（a

-b-1)

C.R,|x|+x=0D.至少有一个x£Z,使得成立

5.已知0vxv2,贝！lyuxJd—Xn的最大值为（)

A.2B.4C.5D.6

6.^-<-<0,则下列结论不正确的是（)

ab

B.%ba.

A.a2<b2c.—+—>2D.ab<b2

aab

7.命题p：FxwR,/+2ar-420”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.-4<a?0B.-4<a<0C.-3<a<0D.-4<a<0

8.集合A={1,2,4},B=[X\X2GA\,将集合A,B分别用如图中的两个圆表示，则圆中

阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（）

二、多选题

9.已知集合4={2,/+1,/-44},8={0,/—-2},5eA,则。为（）

A.2B.-2C.5D.-1

10.若正实数满足〃+匕=1,则下列说法正确的是（）

A.必有最小值!B.石+新有最大值正

4

c.11有最小值?4D./+/有最小值;I

a+2b2a+b32

11.下列命题为真命题的是（）.

A.若a>b,则?

ha

B.若4>匕>0,c<J<0,则;<2

ac

C.若a>b,且cvO,则>—y

ab

D.若a>力，月则而vO

ab

12.若为真命题，x>3”为假命题，则集合M可以是（）

A.（-co,-5）B.3>—1]C.（3,+8）D.[0»3]

三、填空题

13.若命题p:VxNO,炉-ax+3>0,则其否定为T7：.

14.已知〃:一2<x-8K2,q.x>\fr:a<x<2a,若r是p的必要不充分条件，且广

是4的充分不必要条件，则实数。的取值范围为.

15.设集合4={1,2},8=卜€叫/-3+1）》+“=0},若集合C=AU&且C的子集有

4个，则实数“的取值集合为.

16.若acR,Z?>0,a+h=3,则当。=____时，-亨取得最小值.

3\a\b

四、解答题

17.求解下列问题：

(1)已知b<a<0,比较!与g的大小；

⑵比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

18.已知集合A={x|1<x<5},8={x|0<x<4},C={x|m+l<x<2m-l).

(1)求4IJ8,今(AUB)：

(2)若snc=c,求实数帆的取值范围.

19.已知不等式f-ov+bvo的解集为{x[l<x<7}.

(1)求实数的值.

(2)求不等式*>0的解集.

bx-\

20.已知x>0,y>0,且2x+8y-肛=0,求

(1)孙的最小值；

(2)x+y的最小值.

21.

22.“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改

进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量X

(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-40x+1600,30<x<50,已知每处

理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.

(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少

需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？

参考答案：

1.A【分析】先求出48,再根据交集的定义可求AC（Q/）.

【详解】Q,B={—2,0,1},故4n（1町={0，1}，

故选:A.

2.A【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项.

【详解】{小>5}{中>3},所以“x>5”是“x>3”的充分不必要条件.

故选：A

3.C【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③.

【详解】①{0}表示元素为0的集合，而。只表示一个元素，故①错误；

②符合集合中元素的无序性，正确；

③不符合集合中元素的互异性，错误；

④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.

故选：C.

4.B【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对

所以的成立，对选项逐一判断即可.

【详解】A选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A

错误.

C,D选项是特称量词命题，故错误.

B选项是全称量词命题，用反证法证明，

因为/+。2-24+26+2=+0+1）220

所以对7。,。€巳/+从，2（4—。_1）,故8正确.

故选:B.

5.【答案】A

【分析】

设直角三角形的两个直角边为X,九由此可得V+y2=25,又面积S=；刈，利用基本不

等式可求面积的最大值.

【详解】

设直角三角形的两个直角边为X,则/+丁=25,

答案第1页，共11页

又

由基本不等式可得s=：召<if上汇〕=学(当且仅当户产逑时等号成立)

2212J42

故选：A.

6.B【分析】由工<，<0得出匕<。<0,再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选

ab

项中不等式的正误.

【详解】•.--<7<0,:.b<a<0,:.-b>-a>0,.-.a2<b2,A选项正确；

ab

h-b

-=—>\,B选项错误；

a—ci

由基本不等式可得2+q22、陌=2,当且仅当2=1时等号成立，则等号不成立，

ah\ahaa

所以々+£>2,C选项正确；

ab

Qh<a<0,:.h2>ab,D选项正确.

故选：B.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，

属于基础题.

7.C【分析】由题意，"为真命题，进而可得9为真命题时的充要条件，再根据充分与

必要条件的性质判断选项即可.

【详解】命题/rmreR,ar?+2“x-420为假命题，即命题［p:Vxe氐以2+2以一4<0为真

命题.

首先,。=0时，M<0恒成立，符合题意；

其次awO时，则〃<0且△=(2a)2+16a<0,即-4<a<0,

综上可知，-4<a?0.

结合选项可得，{4一344《0}=卜7|-4<440},即：-34a40是-4<“？0的一个充分不必

要条件.

故选：C

8.C【分析】记U=Au8,然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即

可.

答案第2页，共11页

【详解】因为A={1,2,4},B=k，eA},所以8=卜2,-0,-1,1,0,2},

记U=AU8={-2,-72,-1,1,夜,2,4）,

对于A选项，其表示40@8）={4},不满足；

对于B选项，其表示①（AC|8）=卜2,-1,夜,4},不满足；

对于C选项，其表示鱼/）08={-2,-夜,-1,血},满足；

对于D选项，其表示Af1B={l,2},不满足；

故选：C.

9.BC【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得4的值.

【详解】依题意5eA,

当这+1=5时，a=2或a=—2,

若a=—2,则4={2,5,12},8={0,4},符合题意；

若a=2,则/_〃_2=0,对于集合8,不满足集合元素的互异性，所以a=2不符合.

当〃一4a=5时，4=-1或。=5,

若a=-l,则d+1=2,对于集合A,不满足集合元素的互异性，所以a=-l不符合.

若a=5,则4={2,26,5},8={0,18},符合题意.

综上所述，。的值为-2或5.

故选：BC

10.BCD【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.

【详解】由正实数a,b满足。+6=1,则当且仅当〃=%=（时，等号成立，

I2J42

所以时的最大值为!，故A选项错误；

由（6+扬）=a+b+2\[ab<2（tz+/?）=2,则6+当且仅当〃=8=；时，等号成

立，所以&+〃有最大值0,故B选项正确；

由一!（3a+36）（」一+」一]

a+2b2a+b3\a+2b2a+b）

答案第3页，共11页

=*+2b)+(2…]左1

H-----------

2a+b

1f_2a+ba+2b

=-\2+-----+-----

3va+2b2a+h

、1Jcla+2b2a+by4111

>-2+2」--------V当且仅当"b号时,等号成立,所以占+高有最

31N2a+ba+2b,

4

小值故C选项正确;

由/+/=3+力2-2他之(a+Z?)2-2x["”]=("+")=L当且仅当。=人=1时、等号

[2J222

成立，所以有最小值故D选项正确.

故选：BCD.

11.BCD【解析】举反例说明选项A错误；利用不等式的性质证明出选项B,C正确；利用

作差法证明出选项D正确.

【详解】选项A：当取。=1,匕=—1时，...本命题是假命题.

ba

选项B：已知a>b>0,c<d<0,所以-4>-」>（）,

dc

a

——>一—,故二<°,・.・本命题是真命题.

dcac

^>Z?>O=>6f2>/72>O=>O<-4-<p-,

选项C：

Vc<0,・••本命题是真命题.

aLb"

1111八b-a八

选项D：—>-=>---->0=>---->0,

ababab

Va>bf/.b-a<0f/.ah<0,；・本命题是真命题.

故选：BCD

【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题.

12.AB【解析】根据假命题的否定为真命题可知VxeAZ,xV3,又求出命

题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.

【详解】-.-BXEM,x>3为假命题，

Vx6M,x43为真命题，

可得Mu（F,3],

又VxeM,国〉x为真命题，

答案第4页，共II页

可得M=（7,0）,

所以MU（F,0）,

故选：AB

【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.

13.3X>0,X2-OX+3<0【分析】直接利用存在量词写出其否定即可.

【详解】因为命题p:Vx20,x2-ax+3>0,

所以其否定T7：>0,x2-tzx+3<0.

故答案为：3X>0,X2-OX+3<0.

14.（5,6）【分析】根据充分与必要条件，可得p,q,，•中集合的包含关系，再根据区间端

点列式求解即可.

【详解】易得P：64x410.记p,q,r中x的取值构成的集合分别为A,B,C,由于r是p

a>0

的必要不充分条件,r是q的充分不必要条件,则A。C,CU8,则<14a<6,解得5<a<6,

2a>10

即实数a的取值范围是（5,6）.

故答案为：（5,6）

15.{1,2}【分析】先求出集合8中的元素，再由C的子集有4个，可知集合C中只有2个

元素，然后分“=La=2和awl且〃二2三种情况求解即可.

【详解】由/一（a+l）x+a=0,得x=l或x=a,

因为集合C=AUB,且C的子集有4个，

所以集合C中只有2个元素，

①当a=l时，8={1},

因为A={1,2},所以AuB={l,2},即。={1,2},所以a=l满足题意，

②当a=2时，8={1,2},

因为A={1,2},所以AuB={l,2},即C={1,2},所以a=2满足题意，

③当a/1且aw2时，B={l,a},

答案第5页，共11页

因为A={1,2},所以AUB={l,2,a},即。={1,2,勾，不合题意,

综上，。=1或。=2,

所以实数”的取值集合为{1,2},

故答案为：{1,2}

3

16.【分析】由题知。＜3,进而分和。＜0两种情况，结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为。+/?=3,Z?＞0,所以6=3—。＞0,即。＜3.

1Ida+ba1ba1_7

当0vav3时,

3|〃|h9ab99ab99

当且仅当”时取等号,所以当〃二^时’丽+丫取得最小值

当且仅当一|时取等号,所以当叫1时,打中取得最小值水

综上所述，当4=-］时，上+［取得最小值.

23冏b

3

故答案为：

2

17.(1)-<7

ah

(2)(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6)

【分析】(1)利用差比较法比较大小.

(2)利用差比较法比较大小.

(1)

b<a<0,ab>0,h-a<0,----^-<0,-<-.

ababab

(2)

(x+3)(x+7)-(x+4)(%+6)=-3v0,(x+3)(x+7)v(x+4)(x+6).

18.(l)AuB={x|0<x<5};={x|x<0^U>5}；

答案第6页，共11页

⑵〃?4m.

【分析】(1)由并集的定义及补集的定义进行计算即可；

(2)等价于按8=0和8/0讨论，分别列出不等式，解出实数力的取

值范围.

(1)

•.•集合A={X|1<X45},B={X|0<X<4},

AuB={x|0<x<5}；4(AuB)={xlx<0^U>5}.

(2)

因为BAC=C,所以C=3,

当3=0时，则机+122m-l,即〃z42；

tn+1<2tn-1

当8K0时，贝1卜山+120,解得2<小弓；

2m-1<4

综上，实数，”的取值范围为〃?42.

2

19.(1)"8,6=7；⑵(-a),-l)u(p+a5)【分析】⑴由解集得到方程f-or+b=0的

根，利用韦达定理可求。,以

(2)利用(1)中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集.

【详解】(1)因为不等式》2_奴+6<0的解集是{x|l<x<7}.

所以f一改+〃=0的解是1和7.

1+7=。二8

解得

7xl=ib=7

(2)由得即(8'+1)(7*-1)>°，

角早得1<一(或

故原不等式的解集为(3,-()7§,+8).

82

20.(1)64；⑵18.【解析】⑴由2x+8yf=0,得到一+一=1,利用基本不等式，即

xy

可求解.

答案第7页，共11页

8282gy2x

（2）由2%+8、一召=0,得一+—=],根据x+y=（__1■—）（x+y）=io+^+—,结合不等

xyxyxy

式，即可求解.

82

【详解】（1）由2%+8>一个=。，可得一+—=1,

%y

Q2f5TR

又由x>0,y>0,可得1=_+_N2j_x_=y

%yy依

82

当且仅当一=-,即x=4y时，等号成立，即xy±64,

xy

所以冲的最小值为64.

82

（2）由2x+8yf=0,得一+—=1,

尤y

因为*>0,y>0,可得x+y=（§+2）（x+y）=10+处+210+2fe--=18,

xyxy\xy

当且仅当郑=2，即x=12,y=6时等号成立，

x>,

所以x+y的最小值为18.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等“：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

21.（1）[0,当

⑵{a|“<2}

【分析】（1）首先求解集合A,再求二次函数的值域；

（2）首先将不等式，参变分离得〃<->+4X-5,转化为求函数的最值，即可求解.

x—2

（1）

2/一%-340等价于（2尤一3）-（x+l）V0,.

3

解得

所以A=

答案第8页，共11页

・••二次函数y=一12+3x+4=-(x-'|)+?，

31325

函数在区间-1,彳单调递增，所以当x时，y取最大值为亍,

当x=-l时，y取最小值为0,

75

所以二次函数y=-f+3x+4.xwA的值域是［0,

4

(2)

由(1)知A={x|-1

*.*d+(。—4)x+5—%>0恒成立.

即x2+以一4%+5-2〃>0恒成立.

/.(x-2>Q>—x~+4x—5怛成立.

3

:-1Kx<一・x—2<0.

2

-x24-4X-5_x2-4x4-5_(2-x)~+11

二(2—x)+

x—22—x2—x2,—x

V2-x>0,.,.(2—x)+y!—士2小(2-“4)=2..

13

当且仅当2-x=--且-14x4=时，即x=l时，等号成立，.

2-x2

：.a<2,故a的取值范围为{a|a<2}

22.(1)〃=3,b=\

(2)-3Wa<-2或4<aW5

(3)a>-1

【分析】(1)根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出。、

人的值；

(2)由,/(x)v人-1得x--(a+3)x+2a+2V0,令/z(x)=x--(a+3)x+2tz+2,求出〃(x)v。

解集中恰有3个整数时a的取值范围即可.

(3)由/(x)之b在x£［―3,—1］上怛成立，知f—(〃+3)工+24+1..0在工£［—3,—1］上恒成立,

答案第9页，共11页

化简得ax2_3x+]_Lx_2)_l,设』_24_5,_可,g⑺=二上！=/」+1,求

x-2x-2tt

出g(f)的最大值，进一步求出实数〃的取值范围；