五种插值法的比较

合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）PAGE装订线装订线本科生毕业论文（设计）题目：五种插值法的比较系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号姓名指导教师PAGE17合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）PAGE1五种插值法的比较摘要插值法是数值计算中一种重要的方法，在实际生活中有很多函数我们是求不出来的，但我们可以通过该函数在有限点处的取值，用某一函数来逼近它，然后估计出该函数在其他点的函数值.从古代就已经使用二次等距插值用于天文计算了，到现代用于工程计算、算法理论等方面.插值方法有很多种，这篇文章主要介绍了一般常用的五种插值法，并讨论了五种插值法在理论中的区别与在实际中应用.本文先从五种插值法的定义，通过它们的定义在形式上的差异来做简单比较；再结合相应的例题归纳总结五种插值法的特点，使我们清楚的知道哪种类型的插值法更适合解决哪一种类型的问题；最后通过实际应用来分析比较Lagrange插值、Newton插值、三次样条插值和分段插值各自在解决相应问题之间的差异.关键词：多项式；插值函数；插值法ABSTRACT装订线Interpolationmethodisanimportantmethodofnumericalcalculation.Inreallife,therearemanyfunctionsthatwecannotworkout,butwecanpassthroughthefunctioninthefinitepointvalue,withafunctiontoapproachit,andthenestimatethefunctioninotherpointsonthefunctionvalue.Inancienttimeshaveusedtwoequidistantinterpolationinastronomicalcalculations,andapplieditinengineeringcomputation,algorithmtheoryetcinmordentime.Interpolationmethodhasmanykinds,thisarticlemainlyintroducesthecommonlyusedfivekindsofinterpolation,anddiscussthedifferenceoffivekindsofinterpolationmethodinthetheoryandapplicationinpractice.Thispaperstartsfromthedefinitionoffivekindsofinterpolation,bytheirdefinitionsintheformofdifferencetodosimplecomparison，combinedwiththecorrespondingexamplessummarizesfivekindsofinterpolationfeatures,sothatweknowwhichtypeofinterpolationmethodismoresuitabletosolvecertiankindofproblem，andfinallybypracticalapplication,wecananalysisandcomparisonthedifferencesbetweenNewtonLagrangeinterpolation,interpolation,threetimes装订线Keywords:polynomial；interpolationfunction；interpolation目录摘要 IABSTRACT II1引言 12五种插值法 22.1Lagrange插值 22.2Newton插值 32.3Hermite插值 32.4分段插值 42.5三次样条插值 53五种插值法的解题分析比较 74五种差值的实际应用 145小结 17参考文献 181引言插值方法是数值计算中的最基本方法，是一种古老的数学方法.在中国古代就开始用二次插值法来推算天文历法，其中在《周髀》和《九章》中就已经使用到一次插值法.现代插值法的应用也十分广泛.主要解决如信息技术中的图象重建、图像放大过程中为避免图象失真、建筑工程的外观设计、天文观测数据、物理学中的应用等方面的问题.函数插值法，简称插值法.在许多实际问题中，有的函数虽然有解析式，但计算起来很复杂而且使用起来也不方便.所以我们通过函数给出某些点上的函数值，构造一个既能反映函数特征又便于计算的简单函数来逼近原函数.这就是我们所说的函数逼近.逼近函数的类型有多种选择方法，但其基本上是代数多项式应用最为广泛.建立代数多项式也有多种方法，像本文介绍的Lagrange插值多项式就便于理论推导和形式地描述算法，它在理论上十分重要.Newton插值的方法具有递推性，其组成很有规律，方便于实际计算.Hermite插值多项式是在插值节点有导函数限制的情况下使用.分段插值与三次样条插的逼近效果是其他插值法难以达到的.本文则主要介绍这五种插值法之间的区别，通过理论与实际的比较使读者更清楚的认识和了解这五种插值法.2五种插值法对于一个插值问题来说，如果已知条件就是个互异的插值节点点处的函数值，构造插值函数是一般不超过次的多项式，则称为是一般的个基点的多项式插值问题.Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值、分段插值五种插值法在定际运用中的都有各自不同的特点，下面就首先从定义上做简单的比较.2.1Lagrange插值此时我们习惯将插值节点和相应的函数值采用下表1的形式列出，并简称由表1给出的插值问题.表1……Lagrange插值是次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题.表(1)的n次Lagrange插值多项式的数学式：其中（i=0,1,2,…,n）是插值基函数，且.Lagrange插值多项式的余项其中，；不难发现Lagrange插值多项式便于理论推导和形式地描述算法，它在理论上十分重要，但是不便于计算函数值,因为用Lagrange插值多项式计算函数近似值，如果精度不满足，要增加节点，原来计算的数据均不能用.为了克服这个缺点下面介绍另外一种插值法Newton插值法.2.2Newton插值Newton插值也是次多项式插值，其基本思路是将待求的次差值多项式改写成能逐次生成的形式，然后用插值条件求待定系数.由表（1）构造的Newton插值多项式为.用它插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算.一般地,；上面给出的插值多项式是节点任意分布的情况，但实际应用时经常遇到等距节点，即的情况，这里称为步长.设点的函数值为，称为处以为步长的一阶差分.一般的称为处的阶差分.所以Newton前插公式为.与Lagrange插值相比，Newton插值具有承袭性和易于变动节点的特点.Newton插值在计算插值多项式及求解函数近似值都比较方便且计算量相对较小.从公式看每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因此便于计算，所以具有灵活增加节点的特点.Newton插值仅对节点处的函数做了约束，但是如果插值条件增加的是节点处导数的条件话，我们就需要下面的插值法—Hermite插值.2.3Hermite插值插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也要相等，满足这种要求的插值多项式称为Hermite插值多项式.表2………如上表，设则满足条件，的次Hermite插值多项式为其中称为Hermite插值基函数，是Lagrange插值基函数.适当的提高插值多项式的次数，有可能会提高计算结果的准确度.但绝不能认为插值多项式次数越高越好，利用被插值函数节点信息越多，误差越小.由插值多项式的截断误差公式可见：若，插值误差为.截断误差与与有关，但其绝对值不一定随增加而减小.所以由于高次插值的不稳定性，一般实际计算时很少使用高次插值.2.4分段插值Lagrange插值方法根据区间上给出节点构造插值多项式的，而一般以为次数逼近原函数，但其实并非如此，分段插值就是通过在每个小区间逼近原函数.构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法.常见的主要有分段线性插值和分段三次埃米特插值.1.分段线性插值就是通过在每一个区间用折线段连接每个插值点来逼近.设已知插值节点和相应的函数值，记求一折线函数满足：（1）;（2）；（3）在每个小区间上是线性函数.则称称为分段线性插值函数.，，.其误差估计可利用插值余项得到，其中.可见，分段线性插值的余项只依赖于二次导数的界.这说明只要小区间长度足够小，便可保证充分靠近，即分段线性插值函数收敛于.2.三次Hermite插值是在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就有，它满足条件：（1）；（2）（3）在每个小区间上是三次多项式.则.上式对于成立.误差估计为：，其中分段三次Hermite值比分段线性插值效果明显改善，但是这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），所以要改进这种插值和克服其缺点下面提出三次样条插值.2.5三次样条插值三次样条插值法是一种分段插值法，其基本思想是将插值区间等分，再在每个区间上求插值函数.设在区间上取个节点，给定这些点的函数值.如果存在分段函数：且函数满足条件：（1）在每个区间上是不高于3次多项式；（2）在区间上连续；（3）称为三次样条插值函数.由于插值节点处具有二阶导数连续，所以三次样条插值法具有更好的光滑性.从上面的一一介绍中我们可以看出：Lagrange插值有着形式上对称，在理论上十分重要的有点，但是计算复杂.因为每增加一个节点，对前面的插值基函数值就作废了.而Newton插值每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因此便于递推运算，所以具有灵活增加节点的优点.但是Newton插值仅对节点处的函数作了约束，如果插值条件再增加节点处对导函数的限制的话，就要用到Hermite插值多项式.但一般很少用这种高次插值法，因为其不稳定性的缘故，更多使用分段插值来实现.虽然插值曲线的各个分段是衔接的，但在节点处不能保证整个曲线的光滑性.而三次样条不但与被插值函数很接近，而且导数值也很接近，这样逼近效果是其他插值法所难以达到的.从Lagrange插值到三次样条插值法，层层递进来解决问题，使的插值函数与被插值函数越来越逼近.下面就上面的五种插值法来给出他们各自适合解决哪些类型的题目的例子，通过例子更能清楚的理解和认识五种插值法的各自特征.3五种插值法的解题分析比较下面主要从例子来比较这五种插值法之间在运算上的不同；例1已知插值条件如下表所示：求的二次插值多项式.解若用单项式基底来解，则可设，由插值条件，解得，，，故.若用Lagrange插值基函数，则故.若用Newton插值法，则故.整理可知三种方法得到的是同一个多项式.通过上面的例子的解题我们不难看出，在求解二次插值多项式来说Newton插值法最为简单，而Lagrange插值法计算最为复杂，对于用单项式基底了来说，如果次数高的话未知数的个数也越多，求解也越复杂.所以在解这类题的话，用Newton插值法更为方便简洁.而如果插值节点不仅对应的有函数值还有导函数值，那么就要用到Hermite插值，例如下面的题目.例2求次数小于等于3的多项式，使其满足：.解本题标准的是应用Hermite插值问题，所以可以用公式直接来计算.记由题意可知利用两点的Hermite值公式，有其中是Hermite插值基函数，即，所以.Newton插值仅对节点处的函数作了约束，如果插值条件再增加节点处对导函数的限制的话，就要用到Hermite插值多项式.上面的例子就是很好的应用.我们在看一个关于三次样条插值的例子，看看它在解决问题时有哪些特点.例3给定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：（1）（2）解由给定数据知由有均差（1）若边界条件，则由此得矩阵形式的三弯矩方程为解得利用三次样条表达式将代入整得

（2）若边界条件为，则三弯矩方程为解得.代入三次样条表达式并整理，得由于其解得存在唯一性，求解插值函数的线性方程组的系数矩阵为三对角方程组，所以算法具有较好的计算复杂性和稳定性以及插值函数具有一定的光滑性等优点.所以三次样条插值应用也比较广泛.例4已知函数，在区间上的等距节点时的函数值，求分段线性插值函数.再计算的近似值，节点处的函数值如下：0解由上面节中的分段插值公式知：，，所以分段插值函数为.与原函数值比较，我们可以发现分段插值函数来逼近原函数时，还是比较准确的，就是用分段线性插值法逼近原函数他们的误差很小.例5给出在处的函数值.（1）用次Lagrange插值多项式求在的近似值，并与准确值进行比较.(2)用次Newton插值多项式求在的近似值，并与准确值作比较.（3）用次线性插值多项式求在的近似值.解（1）由上面节Lagrange插值公式可知：所以四次Lagrange插值多项式为.则实际值为..用Newton前插公式，先构造如下表的查分表并用Newton前插公式（前面2.2介绍的）取，，.与实际值误差较小.由上面节中的分段插值公式知：，，，所以这与实际值误差就很小了.从上面的例子看出对于Lagrange插值法求解的公式很有对称性，很容易观察出来.但有个缺点就是计算太复杂，麻烦，误差值大.对于Newton插值法而言他的形式简单，计算方便，而且误差比Lagrange小.线性插值多项式求解的误差值最小，最精确.所以我们一般如果想求解简单计算方便最好用Newton插值法来求解，而如果要求计算精确最好用线性插值，对于Lagrange插值我们一般只在于研究其性质，对于应用部是很好.下面来看插值法在实际生活中的应用.不同的插值对于同一个问题的解决他们的方法和误差都不同，我们来比较他们的区别.4五种插值的实际应用例1闸阀的局部阻力系数和闸阀的关闭度有关(为管内径,为开度),其的函数表如下01/82/83/84/85/86/87/80.000.070.200.812.065.5217.6097.80如果将闸阀控制在时,求其局部阻力系数的值解该函数表是等距节点排序,故应用牛顿插值公式,挑选出=0.15附近的三个节点进行二次插值,列于下表,并将其一阶和二阶差分经算出列于该表的右侧各列00.001/80.070.072/80.200.130.063/80.810.610.480.42若按三次插值,则应挑选4个节点,即再添一个的节点,此时可在表上添一行一列(用虚线框在最后的行与列),其这样,由三次插值所得的值为：由此可以看出,如需要再取较高次的插值时,只需再添一项对应的节点及其计算,而前面的计算仍保持有效.这是Newton插值法的优点.例2某地区冬天的一天从上午九点到下午三点的气温变化如下数据：求这段时间温度与时间的关系.解方法一用拉格朗日插值法解，x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'--r')holdonplot(x0,y1,'-b')legend('拉格朗日插值曲线','原曲线')Runge现象的产生原曲线lagrange插值曲线原曲线lagrange插值曲线方法二用分段插值曲线解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');plot(x0,y1,'-b',x0,y0,'--r',x0,y2,'xk');legend(‘原曲线’,’拉格朗日插值曲线’,’分段插值曲线’)原曲线lagrange插值曲线分段插值曲线原曲线lagrange插值曲线分段插值曲线方法三是用三次样条插值法解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');y3=interpl(x,y,x0);plot(x0,y1,'-b',x0.y0,'--r',x0,y2,'xk'x0,y3,'-y');legend(’原曲线’,’拉格朗日插值曲线’,’三次样条插值曲线’,’分段线性插值曲线’)原曲线lagrange插值曲线原曲线lagrange插值曲线三次样条插值曲线分段线性插值曲线从上面三种方法可以看出拉格朗日插值法来做，图像明显与原函数偏差较大，而分段插值克服了高次拉格朗日插值的缺点