第19讲等腰三角形和直角三角形讲义（9类知识点8类命题点AB分层）

第19讲等腰三角形和直角三角形（解析版）第一部分知识点知识点1等腰三角形的概念和性质1．（2023秋•北海期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（）A．11 B．13 C．11或13 D．12或13【思路引领】由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，∵3+3＝6＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：3+3+5＝11；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，∵5+3＝8＞5，∴能组成三角形，∴它的周长是：5+5+3＝13，综上所述，它的周长是：11或13．故选：C．【总结提升】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．2．（2023秋•北海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠C＝70°，则∠ABE＝（）A．30° B．40° C．60° D．70°【思路引领】根据等边对等角即可求出∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数，再根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等得出EA＝EB，于是得出∠A＝∠ABE，从而求出∠ABE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝70°，∴∠ABC＝70°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝40°，故选：B．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．3．（2023秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路引领】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=12∠∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，故选：D．【总结提升】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中．4．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°【思路引领】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角=180°−110°故选：C．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．知识点2等腰三角形的判定5．（2023秋•安陆市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°【思路引领】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，对于选项A，当∠1＝2∠2时，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，∴∠AED＝∠ADE，故选项A能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，则∠1＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，∴∠DAE＝∠AED，故选项B能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，则∠1＝90°﹣2∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形；对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，则∠1=1∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（12∠2+36°）＝72°−∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（12∠2+36°）﹣∠2＝72°−∴∠DAE＝∠ADE，故选项D能确定△ADE是等腰三角形．综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形．故选：C．【总结提升】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键．6．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为973【思路引领】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC=12BC＝3，根据勾股定理求出AH=AC2−CH2=4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：则∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12∴AH=A∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∴AE=A∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴ADAE∴AD97解得AD=97故答案为：973【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．知识点3等边三角形的概念和性质7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【思路引领】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【总结提升】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（2023秋•岳麓区期中）如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12cm．【思路引领】由平移的性质及等边三角形的定义可判定阴影部分是边长为4的等边三角形，进而可求解．【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．【总结提升】本题主要考查等边三角形的性质，平移的性质，掌握相关定理是解题的关键．知识点4等边三角形的判定9．（2022秋•威县期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能【思路引领】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选：C．【总结提升】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．知识点5垂直平分线的性质10．（2023秋•宁阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【思路引领】根据线段垂直平分线得到AE＝CE，推出∠EAC＝∠C，设∠BAE＝x，∠BAC＝5x，利用直角三角形的性质得到∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，由此求出答案．【解答】解：∵直线DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，设∠BAE＝x，∠BAC＝5x，∴∠EAC＝∠C＝4x，∴∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，解得x＝10°，∴∠C＝4x＝40°．故选：B．【总结提升】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，解题的是关键是学会利用参数解决问题．11．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【思路引领】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．【总结提升】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．知识点630°的直角三角形的性质12．（2023秋•泸县期末）已知直角三角形30°角所对的直角边长为5，则斜边的长为（）A．5 B．10 C．8 D．12【思路引领】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是5，∴斜边的长＝5×2＝10．故选：B．【总结提升】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．知识点7直角三角形斜边中线的性质13．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路引领】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3故选：B．【总结提升】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16【思路引领】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=A在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=∴点D是AC的中点，∴CD=12∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【总结提升】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt△ABC的中位线是解决问题的关键．知识点8勾股定理及勾股定理逆定理15．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（）A．5 B．6 C．655 【思路引领】根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得△ABC的周长＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，∵BD平分△ABC的周长，∴AB+AD＝BC+CD＝6，∴AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E，∴AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB∴DE3∴DE=65，CE∴BE=12∴BD=B故选：C．【总结提升】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（）A．45 B．35 C．25【思路引领】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，由题意可得：c2＝25，b﹣a=1=1，a2+b2＝c解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ=b故选：A．【总结提升】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．17．（2023秋•洋县期末）下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．2，2，1 B．2，3，2 C．2，2，22 【思路引领】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．【解答】解：A、12+22≠22，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、22+22≠32，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、22+22＝（22）2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、32+32≠32，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【总结提升】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．18．（2023秋•威宁县期末）下列各组数，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，22，10 D．7，24，25【思路引领】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+22≠53，所以不是勾股数，故不符合题意；B、0.3，0.4，0.5都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；C、6，22，10都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；D、72+242＝252，能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意；故选：D．【总结提升】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．知识点9勾股定理的应用19．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是8尺．【思路引领】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．则门高：10﹣2＝8．故答案为：8．【总结提升】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．20．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（）A．2 B．22 C．2 【思路引领】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四边形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE=1解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AEBE∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴ADEF∵AD＝1，∴EF=2∴CE＝EF=2故选：A．【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．第二部分命题点举一反三命题点1等腰三角形的判定与性质【典例1】（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【思路引领】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到∠ACG=12【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=12∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．【举一反三】1．（2023秋•新泰市期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．（1）试说明△CEF是等腰三角形．（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．【思路引领】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形；（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC=12【总结提升】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．2．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【思路引领】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三种情况：当BD＝BF时，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；当DB＝DF时，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；当FB＝FD时，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．3．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG=12【思路引领】由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ACD＝∠FEC，即可证明EF＝CF，再利用直角三角形的性质可证明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位线，进而可证明结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中点，∴GF是△ABC的中位线，∴FG=12【总结提升】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用，证明GF是△ABC的中位线是解题的关键．命题点2等边三角形的性质与判定【典例2】（2023秋•高安市期中）已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【思路引领】（1）根据等边三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分两种情况：当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，则6﹣2t＝3t，②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，则1.5t＝2（6﹣2t），分别求出t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，当△PBQ为等边三角形时，则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得t=12即当t=127s（2）当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得t=6当∠BPQ＝90°时，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得t=24综上可知当t为65s或2411【总结提升】、本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质，利用t表示出BP和BQ，化“动”为“静”，是解题的关键．【举一反三】1．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为2cm．【思路引领】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案为：2．【总结提升】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．2．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为27．【思路引领】连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，先证明△BCD是等边三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝23，最后运用勾股定理求得AB即可．【解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO=12∴∠ACD＝∠ACB=12∠又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，∴CF＝CE•cos30°＝6×32=AF＝AE•cos30°＝6×32=CO＝BC•cos30°＝8×32=∴AC＝CF+AF＝63，∴AO＝AC﹣CO＝63−43=2在Rt△BOA中，AB=BO2故答案为：27．【总结提升】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．3．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【思路引领】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结提升】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．命题点3直角三角形的性质【典例3】（2023•金安区模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．10−41 B．41−3 C．241−【思路引领】根据三角形斜边中线的性质求得CN=12AB=41，CM=12DE=3，由当C、M、N【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB=AC2∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN=12AB=41当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：41−故选：B．【总结提升】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．【举一反三】1．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝3．【思路引领】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC=A【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC=A∵E为AC的中点，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12故答案为：3．【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．2．（2023秋•惠山区月考）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：①BM＝DM；②MN⊥BD．【思路引领】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DM=12（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM=12∴BM＝DM；（2）∵点N是BD的中点，BM＝DM，∴MN⊥BD．【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键．3．（2023秋•石狮市期末）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA＝BC＝3，AO＝1．（1）求CO的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．①当点D在线段OB上时，若AO＝AE，求OD的长；②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长．【思路引领】（1）根据BA和AO的长可得BO的长度，再利用勾股定理可得CO的长度；（2）①根据OA和OC的长度利用勾股定理可得AC的长度．利用AAS可得△AED≌△AOC，进而求得AD＝AC，减去AO长即为OD长；②点D是射线OB上的一个动点，那么点D可能在线段OB上或线段OB的延长线上．所给的两个三角形有一个公共顶点O，若向对边引垂线，得到有相同的高，那么面积的比就等于底边的比．就可以计算出BF的值，结合等腰三角形的等边对等角，可得BD＝BF，计算即可．【解答】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．∴OB＝2．∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴CO=BC（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC=5∴AC=AO∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°．在△AED和△AOC中，∠AED=∠AOC∠A=∠A∴△AED≌△AOC（AAS）．∴AD＝AC=6∴OD＝AD﹣AO=6②Ⅰ、点D在线段OB上时，过点O作OM⊥CF于点M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝1．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠ADE＝∠CFD．∵∠BDF＝∠ADE，∴∠CFD＝∠BDF．∴BD＝BF＝1，∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1．Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时，过点O作OM⊥CF于点M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝3×1∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠D＝∠CFE．∵∠BFD＝∠CFE，∴∠BFD＝∠D．∴BD＝BF＝0.6，∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6．综上，OD的长为：1或2.6．【总结提升】本题考查了勾股定理的综合应用．关键是找到所求线段所在的直角三角形．动点问题要注意分类探讨．命题点4勾股定理及其逆定理【典例4】（2023春•莱西市期末）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．【思路引领】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD=A∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面积=12AC•BC【总结提升】此题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．【举一反三】1．（2023秋•苏州期中）如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．（1）试说明∠B为直角；（2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为66．【思路引领】（1）根据勾股定理求出AC=AD2+DC2=25，进而推出AB2（2）根据题意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵AD⊥CE，∴∠D＝90°，∵AD＝7，DC＝24，∴∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角；（2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC，∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE，∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD，∵S△ABC=12BC•AB=12×15×20＝150，S△ACD=∴S2﹣S1＝150﹣84＝66，故答案为：66．【总结提升】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【思路引领】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【总结提升】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．命题点5勾股定理的应用【典例5】（2023秋•清新区期中）如图，一块四边形空地，已知AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，且AB⊥BC，（1）求这块空地的面积；（2）若在这块空地上种植草皮，每平方米需要100元，问需要投入多少资金种植草皮？【思路引领】（1）在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得三角形DAC为一直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求出面积；（2）根据单价和面积求得总资金即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，∴AC＝5．在△DAC中，CD2＝122，AD2＝132，而122+52＝132，即AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC=12•BC•AB+12=12×4×3+1答：空地ABCD的面积为36m2．（2）总资金为：36×100＝3600元，答：需要投入3600元资金种植草皮．【总结提升】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单，求出四边形ABCD的面积是解题关键．【举一反三】1．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【思路引领】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=AB2∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．2．（2023•宝鸡一模）如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【思路引领】设BC＝x，则OC＝25﹣x，再利用在Rt△OBC中OC2+BO2＝BC2，列出方程解答即可．【解答】解：设BC＝xm，则OC＝（25﹣x）m，依题意知BC＝AC＝xm，在Rt△OBC中，OC2+BO2＝BC2，即（25﹣x）2+52＝x2，解得x＝13，∴BC＝13米．故选：B．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是能利用勾股定理正确列出方程．3．（2023•郧阳区模拟）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（）A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m【思路引领】运用勾股定理求解即可．【解答】解：如图：根据勾股定理：AB2＝12+12＝2，AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6，故AC=6故选：B．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．命题点6与等腰三角形有关的动点问题【典例6】（2023秋•丰南区期中）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝70°，则∠ACG＝55°（直接写出答案）；（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数（用含n的代数式表示并写出理由）；（3）如图2，若∠MON＝80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．【思路引领】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根据平行线的性质得到∠ACF＝∠CAG，根据（2）的结论解答．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠BAO+∠ABO＝110°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝55°，故答案为：55°；（2）∵∠MON＝n°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）＝90°−∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°−12（3）∵CF∥OA，∴∠ACF＝∠CAG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°−1【总结提升】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），点P在x轴上运动，若以点A，P，O为顶点作等腰三角形，则能作出的三角形个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路引领】利用分类讨论思想，当OP＝OA时，有两种情况，当AP＝OA时，有一种情况，当OP＝AP时，有一种情况，共有四种情况，能作出四个三角形．【解答】解；如图所示，当OA＝OP时，以点O为圆心，OA为半径与x轴有两个交点，分别为P1，P2，当OA＝AP时，以点A为圆心，OA为半径与x轴有两个交点，一个交点为O，一个交点为P3，当OP＝AP时，点P在OA的垂直平分线上，OA的垂直平分线与x轴只有一个交点，交点为P，故以点A，P，O为顶点作等腰三角形，则能作出的三角形个数是4个，故选：C．【总结提升】本题主要考查等腰三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键．2．（2023秋•瑞安市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，已知BD＝6，AD＝8．（1）求CD的长．（2）动点P从点B出发，沿射线BD以每秒1个单位长度的速度运动，Q为射线DA上一点，DQ＝BP，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．①当点P在线段BD上时，若△CPQ是以CP为腰的等腰三角形，求t的值．②在点P的整个运动过程中，作点Q关于AP的对称点Q'，连结BQ'，当BQ'∥AC时，请直接写出此时PD的长：4.8或8．【思路引领】（1）根据BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理可求出AB＝AC＝10，进而可求出CD的长；（2）①依题意得BP＝DQ＝t，则PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t当△CPQ是以CP为腰的等腰三角形，有以下两种情况，连接CP，（ⅰ）当CP＝PQ时，由BD⊥AC得DQ＝CD＝2，据此可求出t的值；（ⅱ）当PC＝CQ时，则PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理可求出t的值；②分两种情况讨论如下：（ⅰ）当点P在线段BD上运动时，过点A作AT⊥BQ'交BQ'的延长线于T，过QQ'作Q'H⊥AC于H，先证四边形BDHQ'和四边形ADBT均为矩形，再证Rt△PBQ'和△QDP全等，从而可得AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，然后由勾股定理可求出t＝1.2，进而可得PD的长；（ⅱ）当点P在BD的延长线上时，连接AQ'，PQ，PQ'，过点Q作QM⊥BQ'角BQ'的延长线于M，同理可证四边形QDBM为矩形，△PBQ'和△QDP全等，由此可证△QMQ'为等腰直角三角形，再证四边形AQMQ'为矩形得AQ'＝QM，由此得出t﹣8＝6，则t＝14，进而可得PD的长．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理得：AB=A∴AB＝AC＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2．（2）①依题意得：BP＝DQ＝t，由（1）可知：CD＝2，∴PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t∵△CPQ是以CP为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况，连接CP，如图1所示：（ⅰ）当CP＝PQ时，∵BD⊥AC，∴DQ＝CD＝2，即t＝2，（ⅱ）当PC＝CQ时，在Rt△PCD中，PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理得：PC2＝CD2+PD2，即（2+t）2＝22+（6﹣t）2，解得：t＝2.25．综上所述：t＝2或2.25时，△CPQ是以CP为腰的等腰三角形．②分两种情况讨论如下：（ⅰ）当点P在线段BD上运动时，连接PQ'，过点A作AT⊥BQ'交BQ'的延长线于T，过Q'作Q'H⊥AC于H，如图2所示：∵BQ'∥AC，BD⊥AC，Q'H⊥AC∴∠Q'BD＝∠AGB＝∠Q'HD＝90°，∴四边形BDHQ'为矩形，∴BQ'＝DH，HQ'＝BD＝6，∵AT⊥BQ'，∴∠TQ'H＝∠Q'HA＝∠T＝90°，∴四边形ADBT为矩形，∴AT＝HQ'＝6，TQ'＝AH＝AD﹣DH＝8﹣BQ'，依题意得：BP＝DQ，由对称的性质得：PQ'＝PQ，AQ'＝AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，在Rt△PBQ'和△QDP中，BP=DQPQ′=PQ∴Rt△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∴TQ'＝8﹣BQ'＝8﹣（6﹣t）＝2+t，在Rt△ATQ'中，AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，由勾股定理得：AQ'2＝AT2+TQ'2，即（8﹣t）2＝62+（2+t）2，解得：t＝1.2，∴PD＝6﹣t＝6﹣1.5＝4.8，（ⅱ）当点P在BD的延长线上时，连接AQ'，PQ，PQ'，过点Q作QM⊥BQ'角BQ'的延长线于M，如图3所示：同理可证：四边形QDBM为矩形，∴QM＝BD＝6，BM＝DQ，依题意得：BP＝DQ＝t，则PD＝t﹣6，AQ＝DQ﹣AD＝t﹣8，同理可证：△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∵BM＝DQ＝t，∴MQ'＝BM﹣BQ'＝t﹣（t﹣6）＝6，∴QM＝MQ'＝6，∴∠T＝90°，∴△QMQ'为等腰直角三角形，∴∠MQQ'＝45°，∴∠Q'QA＝45°，由对称性可知：AQ＝AQ'＝t﹣8，∴∠AQ'Q＝∠Q'QA＝45°，∴∠QAQ'＝90°，又∵∠M＝∠AQM＝90°，∴四边形AQMQ'为矩形，∴AQ'＝QM，∴t﹣8＝6，解得：t＝14，∴PD＝t﹣6＝14﹣6＝8．综上所述：PD的长为4.8或8．故答案为：4.8或8．【总结提升】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造矩形，以及分类讨论思想的应用是解决问题的难点，漏解是易错点之一．命题点7与直角三角形有关的动点问题【典例7】（2022秋•海勃湾区期末）如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm．动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为2或258秒时，△ABP【思路引领】根据勾股定理，先求出BH的长，再分情况讨论：当∠APB＝90°时，当∠BAP＝90°时分别求解即可．【解答】解：过点A作AH⊥BC，∵点A到BC的距离为3cm，∴AH＝3cm，∵AB＝5cm，根据勾股定理，得BH＝4cm，当∠APB＝90°时，如图所示：此时点P与点H重合，根据题意，得2t＝4，解得t＝2；当∠BAP＝90°时，如图所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根据勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t=25∴t＝2s或258s故答案为：2s或258s【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．【举一反三】1．（2023春•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一动点（不与B，C重合），DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．（2）若∠BAC＝30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系．【思路引领】（1）EF和CF分别是直角△AED和直角△ACD斜边上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得；（2）证明△EFC是等边三角形，然后根据等边三角形的定义以及直角三角形的性质求解．【解答】解：（1）EF＝CF，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是线段AD的中点，∴EF=12AD，CF=∴EF＝CF．（2）由（1）可知EF＝AF＝CF，∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，又EF＝CF，∴△EFC为等边三角形，∴CE＝EF=12【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定与性质，证得△EFC是等边三角形是关键．2．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【思路引领】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB=12∴ET=12BC＝4，AT∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥1，∴AE的最小值为1，故选：D．【总结提升】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．3．（2023春•碑林区期末）如图，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，点P为边BC上一动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，点F为AP中点，连接DFA．2105 B．255 C．【思路引领】根据勾股定理是逆定理求出∠BAC＝90°，根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DF=12【解答】解：∵AB＝22，AC=2，BC=∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴BC边上的高为：2×2∵PD⊥AB，点F为AP中点，∴DF=12当AP最小时，DF最小，∵当AP⊥BC时，AP最小，最小值为210∴DF的最小值为105故选：C．【总结提升】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求出BC边上的高是解题的关键．4．（2023秋•建邺区月考）如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ＝4．则动点C运动形成的路径长是π．【思路引领】连接OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=12PQ，再判断出点C运动的路径为以【解答】解：如图，连接OC，∵点C是线段PQ的中点，∴OC=12PQ∴动点C运动形成的路径是以O为圆心的扇形，∴路径长=90⋅π⋅2180故答案为：π．【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，轨迹，判断出点C运动的路径是扇形是解题的关键．命题点8与等腰直角三角形有关的证明【典例8】（2023秋•建瓯市期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠CAP＝20°，则∠AMQ＝65°．（2）判断AP与QM的数量关系，并证明．【思路引领】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，则∠PAB＝25°，再由直角三角形的性质即可求解；（2）连接AQ，由线段垂直平分线的性质得AP＝AQ，则∠QAC＝∠PAC．再证∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后证∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出结论．【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠B＝45°．∵∠CAP＝20°，∴∠PAB＝25°．∵QH⊥AP于点H，∴∠AHM＝90°．∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，故答案为：65．（2）解：AP＝QM，证明如下：连接AQ，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥PQ．又∵CQ＝CP，∴AP＝AQ．∵AC⊥PQ，∴∠QAC＝∠PAC．∵∠QMA＝∠MQB+∠B，∴∠QMA＝∠MQB+45°．∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，∴∠QAM＝∠QAC+45°．∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，∴∠BQM＝∠PAC．∵∠QAC＝∠PAC，∴∠QAC＝∠MQB．∴∠QMA＝∠QAM．∴AP＝QM．【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明∠QMA＝∠QAM是解题的关键．【举一反三】1．（2023•宝应县一模）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，CD＝AB，过点D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求证：△ACE是等腰直角三角形；（2）延长DE至F，使得EF＝CD，连结BF并与CE的延长线相交于点G，求∠BGC的度数．【思路引领】（1）根据已知条件由SAS证明△ABC≌△ODE，从而得到∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，故∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠ACB＝∠ACE＝90°，即可得证；（2）由AB∥DF及AB＝EF可得四边形AEFB是平行四边形，所以∠BGC＝∠AEC＝45°．【解答】（1）证明：DE⊥BC，∴∠EDC＝90°＝∠CBA，∠DCE+∠DEC＝90°，在△ABC和△CDE中，AB=CD∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（2）解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DF，∵△ABC≌△CDE（已证），∴AB＝CD，∵EF＝CD，∴AB＝EF，四边形AEFB是平行四边形，∴BF∥AE，∴∠BGC＝∠AEC，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°，∴∠BGC＝∠AEC＝45°．【总结提升】本题考查了三角形全等的性质、等腰三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质是解题的关键．第三部分自我反馈分层训练A组1．（2023秋•夏邑县期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE为三角形的角平分线，且AD、BE交于点O，若∠C＝64°，则∠AOB的度数为（）A．108° B．116° C．122° D．134°【思路引领】由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠C＝64°，AD⊥BC，得到∠ODB＝90°，由角平分线定义得到∠OBD=12∠ABC＝32°，由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ODB+∠【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝64°，∵BE为三角形的角平分线，∴∠OBD=12∠∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∴∠AOB＝∠ODB+∠OBD＝90°+32°＝122°．故选：C．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质得到∠ODB＝90°．2．（2023秋•铜官区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（）A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°【思路引领】由AB＝AC，AD＝AE，可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．由三角形外角的性质可得∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，则∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理得∠1＝2∠2．故选：B．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键．3．（2023秋•临高县期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【思路引领】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝8，AC＝9，∴△AEF的周长为AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+9＝17．故选：B．【总结提升】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，证得ED＝EB，FD＝FC是解此题的关键．4．（2023秋•川汇区期末）如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【思路引领】连接OE，OF，证明△OEF是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接OE，OF．∵点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，∴OP＝OE＝OF，∩POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF，∴∠EOF＝2∠MON，，∵OP＝EF，∴OE＝OD＝EF，∴△OEF是等边三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠MON＝30°，故选：B．【总结提升】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．5．（2022秋•方城县期末）如图，一个等腰直角三角板的直角顶点C在MN上，顶点A在PQ上，∠PAC＝∠ACN，∠1＝22°，则∠2的大小为（）A．21° B．22° C．23° D．20°【思路引领】先判断PQ∥MN，然后根据平行线的性质得出∠1+45°+90°+∠2＝180°，求出∠2即可．【解答】解：∵∠PAC＝∠ACN，∴PQ∥MN，∴∠PAC+∠ACM＝180°，∴∠1+45°+90°+∠2＝180°，∵∠1＝22°，∴∠2＝45°﹣22°＝23°．故选：C．【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质以及平行线的判定和性质，解题的关键是根据平行线的性质得出等式．6．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【思路引领】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，CD=DEBD=BD∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，AB=A∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．【总结提升】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．7．（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为9里．【思路引领】由AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC=AB2−BC2【解答】解：如图，⊙O表示圆形城堡，由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，∵AD＝6里，∴AB＝AD+BD＝15里，∴AC=A∵tanA=OD∴OD6∴OD＝4.5（里）．∴城堡的外围直径为2OD＝9（里）．故答案为：9．【总结提升】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到ODAD=BC8．（2022秋•唐山期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【思路引领】A．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；B．应用股沟定理的逆定理进行计算即可得出答案；C．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案；D．应用三角形内角和定理进行计算即可得出答案．【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2