平面力系的合成与平衡-平面汇交力系的合成（建筑力学）

平面力系的合成与平衡二、合力投影定理设刚体受一平面汇交力系F1、F2、F3作用，如图2-5(a)所示。在力系所在平面内作直角坐标系xOy，从任一点A作力多边形ABCD，如图2-5（b）所示。平面力系的合成与平衡平面力系的合成与平衡如果作用在物体上各力的作用线都在同一平面内，而且相交于同一点，则该力系称为平面汇交力系。例如，起重机起吊重物时（见图2-1（a）），作用于吊钩C的三根绳索的拉力F、FA、FB都在同一平面内，且汇交于一点，组成平面汇交力系（见图2-1（b））。又如,如图2-2所示的桁架的结点作用有F1、F2、F3、F4四个力，且相交于O点，也构成平面汇交力系。

平面汇交力系的合成

平面汇交力系的合成可采用几何法和解析法。这里仅讨论以力在坐标轴上的投影为基础的解析法。一、力在平面直角坐标轴上的投影如图2-3所示，在力F作用的平面内建立直角坐标系xOy。由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，得垂足a、b，则线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影，用Fx表示，即Fx=±ab;同理，力F在y轴上的投影Fy=±a′b′。

投影的正负号规定如下：若从起点到终点的方向与轴正向一致，投影取正号；反之，取负号。由图2-3（a）、（b）可知，投影Fx和Fy可用式（2-1）计算：

Fx=±FcosαFy=±Fsinα

式中，α为力F与x轴正向所夹的锐角。力在轴上的投影为代数量，投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负可根据上述规则直观判断确定。（2-1）

图2-3（a）、（b）还画出了力Ｆ沿直角坐标轴方向的分力Fx和Fy。应当注意的是，力的投影Fx、Fy与力的分力Fx、Fy是不同的，力的投影只有大小和正负，它是标量；而力的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果还与作用点或作用线有关。当Oｘ、Oｙ轴垂直时，力沿坐标轴分力的大小与力在轴上投影的绝对值相等，投影为正号时表示分力的指向和坐标轴的指向一致，而当投影为负号时，则表示分力指向与坐标轴指向相反。【例2-1】已知F1=100N，F2=50N，F3=60N，F4=80N，各力方向如图2-４所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。解：由式（2-1）可求出各力在x、y轴上的投影F1x=F1cos30°=100×0.866=86.6（N）F1y=F1sin30°=100×0.5=50（N）F2x=F2×3／5=50×0.6=30（N）F2y=-F2×4／5=-50×0.8=－40（N）F3x=0F3y=F3=60（N）F4x=F4cos135°=-80×0.707=-56.56（N）F4y=F4sin135°=80×0.707=56.56(N)平面力系的合成与平衡三、平面汇交力系的合成

式中，α为合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由∑Fx和∑Fy的正负号决定，合力作用线通过力系的汇交点。（2-3）

解：取直角坐标系如图2-7所示，合力FR在坐标轴上的投影为：FRx=∑Fx=-400＋250×cos45°-200×4／5=-383.2（N）FRy＝∑Fy=250×sin45°-500＋200×3／5=-203.2（N）α=arctan(203