静定结构的位移计算-支座移动和温度改变引起的静定结构的位移（建筑力学）

静定结构的位移计算一、图乘法公式推导利用式（11-3）计算梁和刚架的位移时，先要逐杆建立ＭＦ、方程，再分别积分。当结构的杆件较多且荷载较为复杂时，计算非常烦冗，但如果结构中各杆件同时满足下列三个条件：①杆轴为直线；②EI为常数（包括截面分段变化的杆件）；③、MF图中至少有一个是直线图形，则可利用图乘法来代替积分运算。设等截面直杆AB段的、MF图如图11-4所示。假设图为直线图形，ＭＦ图为任意图形，图直线的倾角为α：

图乘法静定结构的位移计算因为＝ｘtanα

tanα＝常数又因为ds＝dxEI＝常数所以上式中dωＦ＝MFdx，表示MF图中dx微段的微面积；xdωＦ表示微面积dωＦ对y轴的静矩；表示整个MF图的面积对y轴的静矩。若以ωＦ表示ＭＦ图的面积，以ｘＣ表示面积ωＦ的形心Ｃ到ｙ轴的距离，则由合力矩定理得

所以，有（11-7）上式中的yＣ表示MF图形心C处对应于图的纵坐标。在满足图乘法的三个条件的前提下，可用代替的积分运算，这种方法称为图乘法。二、图乘法注意事项应用图乘法时需注意以下几点：(1)必须符合图乘法应用条件。(2)yC必须取自直线图形。若图和MF图均为直线图形，也可用图的面积乘以其形心所对应的MF图的纵坐标来计算。(3)当面积ωF与yC在杆件同一侧时，图乘结果为正号；反之为负号。

注意：图11-5给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置，以便图乘时查用。图11-5中顶点是指该点的切线平行于底边的点（M图中的极值点、剪力为零的点），图中的抛物线是标准抛物线，它的顶点在图形的中点或端点，顶点的切线与基线平行，即在顶点处剪力Q＝0。

在实际计算中，会遇到比图11-5更为复杂的图形，这时，可将复杂的图形分解成几个简单的图形，然后分别将简单的图形图乘后再叠加。应当指出，图乘法同样适用于剪力和轴力两项积分，即【例11-2】试求如图11-6所示外伸梁C点的竖向位移ΔCｙ。已知EI为常数。解：在结点C加单位竖向力，分别作出ＭＦ图和ＭＫ图，如图11-6（ｂ)、（ｃ）所示。由图乘法，得ΔＣｙ＝∑ωＦｙＣ/ＥＩ＝１/ＥＩ（ω１ｙ１＋ω２ｙ２＋ω３ｙ３）＝１/ＥＩ[(１/３×ｑl２/８×l/２)×３l/８＋(１/２×ｑl２/８×l）×l/３－（２/３×ｑl２/８×l）×l/４＝ｑl４/128ＥＩ（↓）静定结构的位移计算一、图乘法公式推导利用式（11-3）计算梁和刚架的位移时，先要逐杆建立ＭＦ、方程，再分别积分。当结构的杆件较多且荷载较为复杂时，计算非常烦冗，但如果结构中各杆件同时满足下列三个条件：①杆轴为直线；②EI为常数（包括截面分段变化的杆件）；③、MF图中至少有一个是直线图形，则可利用图乘法来代替积分运算。设等截面直杆AB段的、MF图如图11-4所示。假设图为直线图形，ＭＦ图为任意图形，图直线的倾角为α：

图乘法静定结构的位移计算因为＝ｘtanα

tanα＝常数又因为ds＝dxEI＝常数所以上式中dωＦ＝MFdx，表示MF图中dx微段的微面积；xdωＦ表示微面积dωＦ对y轴的静矩；表示整个MF图的面积对y轴的静矩。若以ωＦ表示ＭＦ图的面积，以ｘＣ表示面积ωＦ的形心Ｃ到ｙ轴的距离，则由合力矩定理得

所以，有（11-7）上式中的yＣ表示MF图形心C处对应于图的纵坐标。在满足图乘法的三个条件的前提下，可用代替的积分运算，这种方法称为图乘法。二、图乘法注意事项应用图乘法时需注意以下几点：(1)必须符合图乘法应用条件。(2)yC必须取自直线图形。若图和MF图均为直线图形，也可用图的面积乘以其形心所对应的MF图的纵坐标来计算。(3)当面积ωF与yC在杆件同一侧时，图乘结果为正号；反之为负号。

注意：图11-5给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置，以便图乘时查用。图11-5中顶点是指该点的切线平行于底边的点（M图中的极值点、剪力为零的点），图中的抛物线是标准抛物线，它的顶点在图形的中点或端点，顶点的切线与基线平行，即在顶点处剪力Q＝0。

在实际计算中，会遇到比图11-5更为复杂的图形，这时，可将复杂的图形分解成几个简单的图形，然后分别将简单的图形图乘后再叠加。应当指出，图乘法同样适用于剪力和轴力两项积分，即【例11-2】试求如图11-6所示外伸梁C点的竖向位移ΔCｙ。已知EI为常数。解：在结点C加单位竖向力，分别作出ＭＦ图和ＭＫ图，如图11-6（ｂ)、（ｃ）所示。由图乘法，得ΔＣｙ＝∑ωＦｙＣ/ＥＩ＝１/ＥＩ（ω１ｙ１＋ω２ｙ２＋ω３