2023年北京八一学校初二（下）期中数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京八一学校初二（下）期中数学一、选择题：（每题3分，共24分．每题只有一个正确选项）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，2，3 D.5，12，133.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.5.如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法判断6.如图，正方形中，垂直于，且，，则阴影部分的面积是（）A.13 B.17 C.19 D.217.如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.48.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，用左手向右推动框架至（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）①四边形由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④二、填空题：（每题3分，共24分）9.函数中，自变量的取值范围是_____．10.已知正比例函数的图象过点，则______．11.如图，在数轴上点A表示的实数是______．12.如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为________．13.若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为__________．14.如图，矩形中，对角线交于点，如果，那么的度数为__________．15.如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．16.如图，长和宽分别为8和6的矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接，，则的最小值为______．三、解答题：（共52分）．17.计算：18.计算：19.如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形．20.已知，求代数式的值．21.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点E在上，点F在上）．作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；③连接．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．（2）完成下面的证明．证明：∵，，∴______=______．在中，．即，∴四边形为______形．∵，∴四边形为菱形（______）（填依据）22.如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形：；（2）求的长．23.如图，菱形的对角线，相交于点O，分别过点B和C作，．（1）求证：四边形是矩形．（2）连接交于点P，连接．若，求的长．24.描点画图是探究未知函数图像变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数图像的变化规律的过程：（1）下表是与的几组对应值．01234．．．02．．．其中，的值为______．（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系xOy中描出还未描出的点，并画出该函数的图像．（3）已知，是函数图像上的任意两点（在的左侧），将，同时向右平移1个单位得到点，，再将，同时向上平移个单位后得到点，，若刚好落在函数的图像上，则与函数图像的位置关系是（）A．无法判断B．是图像上的点C．在图像的上方D．在图像的下方25.正方形中，点E是边中点，F是对角线上的一个动点，连接，过点D作点于H．（1）①如图1，比较大小：______．（填“>”“<”“=”）．②连接交于点G，猜想线段与的数量关系并证明．（2）如图2，与交于点O，交于点G．①依据题意补全图形．②请直接写出线段之间的数量关系．26.在平面直角坐标系xOy中，存在点与点，若满足，，其中，则称点A与点B互为反衬点，已知：点和点．（1）下列四个点中，与点D互为反衬点的是______．，，，．（2）如图1，过点的直线l与线段相交于点P，若在线段上存在一点与点互为反衬点，在坐标系中用阴影表示所有满足条件的直线与线段所围成的封闭图形．（3）如图2，已知正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，当正方形与线段的两个交点互为反衬点时，直接写出正方形边长a的取值范围．

参考答案一、选择题：（每题3分，共24分．每题只有一个正确选项）1.【答案】A【解析】【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A．是最简二次根式，符合同意；B．不是最简二次根式，不符合同意；C．不是最简二次根式，不符合同意；D．不是最简二次根式，不符合同意；故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算，判断即可．【详解】A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误；B、，故B选项错误；C、，故C选项正确；D、，故D选项错误．故选：C【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．4.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义解答即可．【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；

故选：D．【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．5.【答案】B【解析】【分析】作DF⊥BC，BE⊥CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．【详解】解：如图，作DF⊥BC,BE⊥CD由已知可得，ADBC,ABCD∴四边形ABCD是平行四边形在Rt△BEC和Rt△DFC中∴Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BC=DC∴四边形ABCD是菱形故选B．【点睛】本题考核知识点：菱形的判定，解题关键是通过全等三角形证一组邻边相等．6.【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理求出长，再根据进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴是直角三角形，∴=4，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：在中，,点E是的中点，，∴∵，∴，∵D、E分别是的边、的中点，∴是的中位线，∴．故选D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8.【答案】B【解析】【详解】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，边上的高、、的长度不断变化解答即可．【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形由平行四边形变为矩形，故①正确；②B、D两点之间的距离不断变化，故②错误；③由底不变，高不断变化可知，四边形的面积不断变化，故③错误；④由四边形的长度不变可知四边形的周长不变，故④正确．所以正确的说法有①④．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．二、填空题：（每题3分，共24分）9.【答案】【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得，解得：，故答案为．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10.【答案】【解析】【分析】利用待定系数法把点代入正比例函数中即可算出k的值【详解】把点代入正比例函数，得解得故答案为：【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式．11.【答案】【解析】【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．【详解】解：如图，，∴，∴，∴点表示的实数是：．故答案为：．【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．12.【答案】2【解析】【分析】由平行四边形的性质得出BC=AD=5，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=5，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=5-3=2，

故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．13.【答案】30【解析】【分析】因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．【详解】解：菱形的面积为：．故答案为：30．【点睛】本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线乘积的一半求出结果．14.【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质，可得∠BAD的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案．【详解】∵ABCD是矩形，∴∠DAB=90°．∵∠ADB=30°，∴∠ABD=90°﹣∠ADB=60°．∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABD的度数是解答本题的关键．15.【答案】2或2．【解析】【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．16.【答案】10【解析】【分析】连接交于H，连接，当点G与点H重合时，此时的值最小，由勾股定理求出的长，则可得出答案．【详解】如图，连接交于H，连接，

由折叠性质可知：，∴∴、、三点共线时取得最小值此时故答案为：10【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质、轴对称最短问题及勾股定理等知识，解题的关键时学会用转化的思想思考问题．三、解答题：（共52分）．17.【答案】【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．18.【答案】【解析】【分析】先去括号，然后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：原式=【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的判定与性质证明结论即可．【详解】证明：连接，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解答的关键．20.【答案】-2【解析】【分析】把x2+2x-3化成（x+1）2-4，代入求出即可．【详解】解：∵，∴=（x2+2x+1）-4

=（x+1）2-4，

=（-1+1）2-4

=2-4

=-2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．21.【答案】（1）见解析（2），平行四边，一组邻边相等的平行四边形是菱形【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．【小问1详解】作图如下：【小问2详解】∵，∴，在中，，即∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故答案是：；平行四边；一组邻边相等的平行四边形是菱形.【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．22.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF＝CF，进而得出△ACF是等腰三角形；

（2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4−x，依据勾股定理即可得到x的值．【详解】解：（1）由折叠可得，∠BAC＝∠EAC，

由AB∥CD可得，∠BAC＝∠DCA，

∴∠EAC＝∠DCA，

∴AF＝CF，

∴△AFC是等腰三角形，

故答案为：△AFC；

（2）设CF＝x，则AF＝x，DF＝4−x，

∵∠D＝90°，

∴Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，

即32＋（4−x）2＝x2，

解得：，

∴．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，可证四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，进而可证四边形是矩形；（2）由勾股定理求出OB=4，则BD=2OB=8，证明，得，证明是等边三角形，求出，由勾股定理求出、的长，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【小问1详解】∵，，∴四边形是平行四边形．∵四边形是菱形，∴，∴，∴四边形是矩形．【小问2详解】∵菱形中，，矩形BECO中，，．∴，，且．∴，∴．又∵矩形中，，∴中，．∵，，菱形中，∴是等边三角形，∴，中，，∴．中，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．24.【答案】（1）（2）见解析（3）D【解析】【分析】（1）把代入中求出的值即可知的值.（2）根据表格中所给数据描点，然后用光滑的曲线连线即可作出图像.（3）设，由题意得，求出的值，比较与的大小.若，则点在函数图像的上方；若，则点在函数图像上；若，则点在函数图像的下方.【小问1详解】把代入，得.故答案为：1.【小问2详解】根据表格中所给数据描点，连线，得出函数图像如下：【小问3详解】设，则，，将，同时向右平移1个单位得到点，，再将，同时向上平移个单位后得到点，，则，∵点在函数图像上，∴，∴，∴.由得，时，∴在函数图像上.则，∴点在函数图像的下方.故选：D【点睛】本题主要考查了函数的图像及性质，利用描点法画函数图像，并探究其性质.利用作差法比较大小是解题的关键.25.【答案】（1