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文档简介

截面的几何性质二、惯性矩在图5-3中，微面积dＡ到两坐标轴的距离分别为ｙ和ｚ，将乘积ｙ2dＡ和ｚ2dＡ分别称为微面积dＡ对ｚ轴和ｙ轴的惯性矩。而把积分Ｉｚ＝∫Ａｙ2·dＡＩｙ＝∫Ａｚ2·dＡ称为图形对ｚ轴和ｙ轴的惯性矩。由惯性矩的定义可知，惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。由图5-3的几何关系可得

ρ2＝ｙ2＋ｚ2（5-6）

将上述关系式代入式（5-5），得Ｉρ＝∫Ａρ2dＡ＝∫Ａ（ｙ2＋ｚ2）dＡ＝∫Ａｙ2dＡ＋∫Ａｚ2dＡ即Ｉρ＝Ｉｚ＋Ｉｙ（5-7）式（5-7）表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。【例5-3】矩形截面如图5-6所示，求矩形截面对正交对称轴ｙ、ｚ的惯性矩。解：先求Ｉｚ。取微面积dＡ＝bdｙ，由式（5-6）得

再求Ｉｙ。取微面积dＡ＝hdｚ，则由式（5-6）得三、惯性积如图5-3所示，微面积dＡ与它到两坐标轴距离的乘积ｙｚdＡ，称为微面积dＡ对ｙ、ｚ轴的惯性积，而将积分∫ＡｙｚdＡ定义为图形对ｙ、ｚ轴的惯性积，用符号Ｉｙｚ表示，即Ｉｙｚ＝∫ＡｙｚdＡ（5-8）惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，即同一图形对不同的正交坐标轴的惯性积不同，惯性积的数值可正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。

由惯性积的定义可以得出如下结论：若图形具有对称轴，则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积为零。如图5-7所示，ｙ为图形的对称轴，在ｙ轴两侧对称位置各取相同的微面积dＡ，它们的ｙ轴坐标相同，但ｚ坐标等值反号。因此，两个微面积对ｙ、ｚ轴的惯性积ｙｚdＡ等值反号，其代数和为零。由此推知，整个图形对ｙ、ｚ轴的惯性积等于零。

截面的几何性质一、极惯性矩任意平面图形如图5-3所示，其面积为Ａ。在图形内坐标为（ｙ，ｚ）处取微面积dＡ，并以ρ表示微面积dＡ到坐标原点的距离。将乘积ρ2dＡ称为微面积dＡ对于Ｏ点的极惯性矩，积分∫Ａρ2dＡ称为图形对Ｏ点的极惯性矩，用符号Ｉρ表示，即Ｉρ＝∫Ａρ2dＡ（5-5）由极惯性矩的定义可以看出，极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，单位为m4或mm4。

惯性矩和惯性积截面的几何性质【例5-2】求圆截面对其圆心的极惯性矩。解：如图5-4所示，设圆截面直径为D。取厚度为dρ的环形面积为微面积dＡ，则有

dＡ＝2πρdρ由式（5-5）

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