杆件的内力分析-弯矩、剪力、荷载集度间的关系（建筑力学）

杆件的内力分析二、弯矩、剪力、荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用在数学上，一阶导数的几何意义是曲线上切线的斜率。所以，dQ（x）dx、dＭ（x）dx分别代表剪力图、弯矩图上的切线的斜率。dQ（x）dx＝q（x)表明：剪力图曲线上某点处切线的斜率等于该点处分布荷载的集度。dＭ（x）dx＝Ｑ（x)表明：弯矩图曲线上某点处切线的斜率等于该点的剪力值。二阶导数d2Ｍ（x）dx2＝q（x)可以用来判断弯矩图曲线的凹凸性。根据上述各关系式及其几何意义，可得画内力图的一些规律如下：（1）q(x)=0时。当梁段上没有分布荷载作用时，q(x)=0，由dQ（x）dx＝q（x)＝0可知，Q(x)=常量，此梁段的剪力图为水平线。由dM（x）dx＝Q（x)＝常量可知，M(x)为x的线性函数，此梁段的弯矩图为斜直线。当Ｑ（x）>0时，M(x)为增函数，弯矩图为向右下斜直线；当Ｑ(x)<0时，M(x)为减函数，弯矩图为向右上斜直线。（2）q(x)=常量时。当梁段上作用有均布荷载时，q(x)=常量，由dQ（x）dx＝q（x)＝常量可知，Q(x)为x的线性函数，此梁段的剪力图为斜直线。由dM2（x）/dx2＝q（x)可知，M(x)为x的二次函数，此梁段的弯矩图为二次曲线。当均布荷载向下作用时，dQ（x）dx＝q(x)<0，Q(x)为减函数，剪力图为向右下斜直线；由d2Ｍ（x）/dx2＝q（x)<0可知，弯矩图应向下凸。当均布荷载向上作用时，dQ（x）dx＝q（x)>0，Q(x)为增函数，剪力图为向右上斜直线；由d2Ｍ（x）/dx2＝q（x)>0可知，弯矩图应向上凸。由dM（x）dx＝Q（x)可知，在Q(x)＝0处M(x)有极值，即剪力等于零的截面上弯矩有极大值或极小值。（3）集中力F作用处。如上节所述，在集中力作用处，剪力图发生突变，且突变值等于该集中力的大小；弯矩图出现尖角，且尖角的方向与集中力的方向相同。（4）集中力偶作用处。如上节所述，在集中力偶作用处，剪力图不变化；弯矩图发生突变，且突变值等于该集中力偶的力偶矩。掌握上述荷载与内力图之间的规律，将有助于绘制和校核梁的剪力图和弯矩图。将这些规律列于表3-1。根据表中所列各项规律，只要确定梁上几个控制截面的内力值，就可按梁段上的荷载情况直接画出各梁段的剪力图和弯矩图。一般取梁的端点、支座及荷载变化处为控制截面。如此，绘梁的内力图不需列内力方程，只求几个截面的剪力和弯矩，再按内力图的特征画图即可，非常简便。这种画图方法称为简捷法。下面举例说明。【例3-12】用简捷法绘出图3-28（a）所示简支梁的内力图。解：求支座反力为：ＦＡ＝6kN（↑）ＦB＝18kN（↑）根据荷载变化情况，该梁应分为AC、CB两段。表3-1梁的荷载、剪力图、弯矩图之间的关系（1）剪力图。CB梁段有均布荷载，剪力图为斜直线，可通过QC=6kN，QB左＝－FB=－18kN画出。该梁段Q=0处弯矩有极值。设该截面到B支座距离为a，极值点位置计算：Ｑ0＝－ＦB＋qa＝0a＝ＦB/q＝18/6＝3（m）AC梁段无外力，剪力图为水平线，可通过Q=FA=6kN画出。剪力图如图3-28（b）所示。由图可见，Ｑmax＝18kN，作用在B左截面。（2）弯矩图。AC梁段无外力，弯矩图为斜直线，可通过MA=0，MC左=FA×2=12（kN·m）画出。CB梁段有向下的均布荷载，弯矩图为下凸的二次抛物线。可通过MC右＝MC左＋m=24（kN·m），MB=0，Ma=FB×a－q×a2/2=27（kN·m）画出。弯矩图如图3-28（c）所示。由图可见：Ｍmax＝27kN·m，作用在距B支座3m处。【例3-13】试绘制图3-29（a）所示外伸梁的剪力图和弯矩图。解：求支座反力为ＦＡ＝7kN（↑）ＦB＝5kN（↑）梁分段为AC、CD、DB、BE四段。（1）剪力图。先确定各控制截面内力，再按内力图特征画图。AC段：QA右＝FA＝7kNQC左＝QA右－q×4=3（kN）CD段：QC右＝QC左－F1=1kNQD＝QC右－q×4=－3（kN）因Q变号，M有极值。Q=0截面位置可由几何关系确定，如图3-29（d）所示。x/4＝1/4x＝1mDB段：QD＝QB左=－3kNBE段：QB右＝QE左=2kN剪力图如图3-29（c）所示。由图可见：Ｑmax＝7kN,作用在截面A右。（2）弯矩图：AC段：MA=0ＭＣ＝ＦＡ×4－q×4×4/2＝20（kN·m）CD段：MＦ＝ＦＡ×5－q×5×5/2－Ｆ1×1＝20．5（kN·m）MD左＝ＦＡ×8－q×8×8/2－Ｆ1×4＝16（kN·m）DB段：MD右＝MD左－mz＝6kN·mBE段：MB=MD右－3×4＝－6kN·mME=0弯矩图如图3-29（c）所示。由图可见：Ｍmax＝20．5kN·m，作用在距A支座5m处。

简捷法绘制梁内力图的步骤如下：（1）求支座反力。（2）根据外力情况将梁分段，一般分界截面即梁内力图的控制截面。（3）确定各控制截面内力值。（4）根据各梁段内力图特征，逐段画内力图。（5）校核内力图并确定内力最大值。

杆件的内力分析一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系梁在荷载作用下，横截面上将产生弯矩和剪力两种内力。若梁上作用一分布荷载q(x)，则横截面上的弯矩、剪力和分布荷载的集度都是x的函数，三者之间存在着某种关系，这种关系有助于梁的内力计算和内力图的绘制。下面从一般情况推导这种关系式。设梁上作用有任意分布荷载q(x)，如图3-27（a）所示，规定q(x)以向上为正、向下为负。坐标原点取在梁的左端。在距左端为x处截取长度为dx的微段梁研究其平衡。微段梁上作用有分布荷载q(x)。由于微段dx很微小，在dx微段上可以将分布荷载看作是均匀的。微段左侧横截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)和M(x)；微段右侧截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x)，如图3-27(b)所示。

弯矩、剪力、荷载集度间的关系杆件的内力分析

由微段梁平衡条件∑Fy=0可得Ｑ(x)＋q(x)·dx－［Q(x)＋dQ(x)］＝0整理得到：dQ（x）dx＝q（x）（3-3）即剪力对x的一阶导数等于该截面分布荷载的集度。

由微段梁平衡条件∑MＯ=0（矩心O取在右侧截面的形心）可得：［Ｍ（x）＋dＭ（x）］－Ｍ（x）－Ｑ（x）dx－q（x）dx·dx/2＝0略去二阶微量整理得到：dＭ（x）dx＝Ｑ（x）（3-4）