刚体的静力学概念及静力分析-平面汇交力系（建筑力学）

基本概念平面汇交力系【学习目标】1.理解用力多边形求解平面汇交力系的合力与平衡问题；2.了解分力与力的投影的异同点；3.掌握合力投影定理；4.能熟练掌握用解析法求解平面汇交力系的合力与平衡问题。平面汇交力系力系中各力的作用线均在同一平面内的力系叫平面力系。在平面力系中各力的作用线均汇交于一点的力系叫平面汇交力系。平面汇交力系是一种最基本的力系，它不仅是研究其它复杂力系的基础，而且在工程中用途也比较广泛，图3-1所示的平面屋架，结点C所受的力；图3-2所示的起重机，在起吊构件时，作用于吊钩上C点的力都，属于平面汇交力系。3.1平面汇交力系的简化与合成一、平面汇交力系简化与合成的几何法——力多边形法则设一刚体受到平面汇交力系F1，F2，F3，F4的作用，各力作用线汇交于点A，如图3-3a所示。根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A的合力FR。3.1平面汇交力系的简化与合成另外，还可以用更简便的方法求此合力FR的大小与方向，即用力多边形法则求解。任取一点，将各分力的矢量依次首尾相连，由此组成一个不封闭的力多边形，如图3-3b所示。此图中的FR1为F1与F2的合力，FR2为FR1与F3的合力，力多边形最后的封闭边FR即为原平面汇交力系F1，F2，F3，F4的合力。其实，FR1与FR2在作力多边形图形时可以不必画出。在这里，要强调的是，合力FR（即矢量）的方向，是从原起点，指向最后的终点。3.1平面汇交力系的简化与合成根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力FR的大小与方向（即合力矢），而合力的作用线仍应通过原汇交点A，如图3-3a所示的FR。3.1平面汇交力系的简化与合成所以，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含个力，以FR表示它们的合力矢，则有合力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。

3.1平面汇交力系的简化与合成用力多边形法则进行平面汇交力系的合成，求合力的步骤如下：1.根据荷载的大小，确定一个合理的作图比例；2.任选一起点a；3.将力系的各力矢量按设定的比例，按照首尾相连的作法，依次画出。此时，将得到一个开口的力多边形4.画合力矢量。注意方向应是由原起点指向最后的终点；5.按照比例量出合力的大小，合力作用线与x轴的夹角，确定合力矢量所在的坐标象限。3.1平面汇交力系的简化与合成二、平面汇交力系简化与合成的解析法用几何法合成平面汇交力系有直观、明瞭的优点，但要求作图准确，否则将造成较大误差。为了简便而准确地获得结果，可采用解析法合成平面汇交力系。用解析法合成平面汇交力系时，必须掌握力在坐标轴上的投影。3.1平面汇交力系的简化与合成1.力在平面直角坐标轴上的投影如图，设力F作用于A点（图3-4），在力F作用线所在的平面内任取直角坐标系Oxy,,从力矢的两端向x轴作垂线，垂足的连线冠以相应的正负号称为力F在x轴上的投影，以Fx表示。3.1平面汇交力系的简化与合成同理，从力矢的两端向y轴作垂线，两垂足的连线冠以相应的正负号称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。应当指出，矢量F在轴上的投影不再是矢量而是代数量，并规定其投影的指向与坐标轴的正向相同时为正值，反之为负。3.1平面汇交力系的简化与合成力的投影与力的大小及方向有关。通常采用力F与坐标轴x所夹的锐角来计算投影，其正、负号可根据上述规定直观判断确定。由图3-4可知，投影Fx、Fy可用下式计算Fx=FcosαFy=Fsinα3.1平面汇交力系的简化与合成当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大小相等反过来，如果已知力F在x和y轴上的投影Fx和Fy，则由图3-4中的几何关系，可以确定力F的大小和方向而力F所在的象限由力F在x和y轴上的投影Fx和Fy的正负确定3.1平面汇交力系的简化与合成在这里，要注意投影与分力的关系（1）投影与分力是两个不同的概念，力的投影是标量，只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。（2）在直角坐标系中，分力的大小和力在对应坐标轴上投影的绝对值是相同的。3.1平面汇交力系的简化与合成2.合力投影定理设作用于刚体的平面汇交力系是F1、F2、F3、F4，用作力多边形abcde,求得封闭边表示该力系的合力矢，其合力矢FR（图3-5）。3.1平面汇交力系的简化与合成取坐标系Oxy，将所有的力矢都投影在x轴及y轴上，从图上可见a1e1=a1b1+b1c1+c1d1+d1e1a2e2=a2b2+b2c2+c2d2-d2e2

3.1平面汇交力系的简化与合成因此，有FRx=Fx1+Fx2+Fx3+Fx4FRy=Fy1+Fy2+Fy3+Fy4上式即为合力投影定理的表达式：即：合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上投影的代数和。3.1平面汇交力系的简化与合成求平面汇交力系合力的有关计算公式：式中

为合力FR与x轴所夹的锐角。合力的作用线通过力系的汇交点O。3.1平面汇交力系的简化与合成合力FR的方向，由FRx与FRy的正负号确定。当FRx与FRy均为正时，合力FR指向右上方,即合力为第一象限的力；当FRx与FRy均为负时，FR指向左下方，即合力为第三象限的力；3.1平面汇交力系的简化与合成当FRx为正而FRy为负时，FR指向右下方，即合力为第四象限的力；当FRx为负而FRy为正时，FR指向左上方。3.1平面汇交力系的简化与合成用解析法求解平面汇交力系的合力，其步骤如下：(1)选定投影坐标轴；(2)根据合力投影定理，分别求出合力在两坐标轴上的投影；(3)根据公式（3-5），求出合力的大小，以及合力与x轴的夹角，夹角一般表示为锐角。再根据合力在两坐标轴上的投影FRx与FRy的正负，确定合力在坐标系内的象限数。3.1平面汇交力系的简化与合成例3-1在刚体的A点作用有四个平面汇交力（图3-7a），其中F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图所示。用解析法求该力系的合成结果。

3.1平面汇交力系的简化与合成解：（1）取坐标系Axy，求合力在坐标轴上的投影（列表）F1=2F2=3F3=1F4=2.5∑FiFix2cos30°

–3cos60°

–1cos45°2.5cos45°1.29kNFiy2sin30°

3sin60°

–1sin45°–2.5sin45°1.12kN3.1平面汇交力系的简化与合成(2)求合力FR的大小及合力FR与x轴的夹角由于FRx

>0；FRy

>0故合力FR指向右上方(第I象限)，作用线过汇交点A，如图3-7b所示。3.1平面汇交力系的简化与合成合力FRFR=1.71kN

=41°

3.2平面汇交力系的平衡3.2平面汇交力系的平衡一、平面汇交力系平衡的必要和充分条件平面汇交力系可合成为一个合力FR，即合力FR与原力系等效。显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。即

FR=∑F=0（3-6）3.2平面汇交力系的平衡二、平面汇交力系平衡的几何条件因为力多边形的封闭边代表平面汇交力系合力的大小和方向，如果力系平衡，其合力一定为零，则力多边形的封闭边的长度应当为零。这时，力多边形中第一个力F1的起点一定和最后一个力Fn(设力系由n个力组成)的终点相重合。当为平衡力系时，任选各力的次序，按照首、尾相接的规则画出的力多边形必定是封闭而没有缺口的。反之，如果平面汇交力系的力多边封闭，则力系的合力必定为零。所以，平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭。物体受到平面汇交力系的作用且处于平衡状态时，可利用平面汇交力系平衡的几何条件，通过作用在物体上的已知力，求出所需的两个未知量。例3-2杆AC和杆BC铰接于C，两杆的另一端分别铰支在墙上。在C点悬挂重物G=60kN，如图3-8a所示。如不计杆重，试用几何法求两杆所受的力。3.2平面汇交力系的平衡3.2平面汇交力系的平衡解：（1）取节点C为研究对象，画C点的受力图，如图3-8b所示。根据几何条件求解平面汇交力系的平衡问题，画受力图时未知力可以只画出作用线方位（而其方向待定）。显然，C点受G、FAB、FBC作用而平衡，根据平面汇交力系平衡的几何条件，此三力组成的三角形自行封闭；3.2平面汇交力系的平衡（2）选择比例：1cm代表15kN；（3）选任意a点为起点，按比例进行作图。按首尾相连的作法，先画出所有已知力的矢量，得到一个开口的力多边形（本例为一条直线），即有一个原始起点a和一个终点b；3.2平面汇交力系的平衡（4）从原始起点和终点各引一条未知力的平行线，得到一个交点，使力多边形封闭；3.2平面汇交力系的平衡（5）按力多边形自行闭合条件，定出力FAC和FBC的指向，如图3-8c所示；（6）按所选比例量出：FAC

=30kN、FBC

=52kN。3.2平面汇交力系的平衡例3-3如图3-9a所示一水平梁AB，在梁中点C作用集中力FP=20kN，不计梁自重。试用几何法求支座A和B的反力。

3.2平面汇交力系的平衡解：（1）取梁AB为研究对象，画受力图，如图3-9b所示。梁在FA、FB、FP作用下保持平衡，根据三力平衡汇交原理，此三力必汇交于O点构成一平面汇交力系。3.2平面汇交力系的平衡（2）按图示比例,自任意点a画出FP、FA、FB三力的封闭三角形，如图3-9C所示；（3）按力三角形封闭条件定出力FA、FB的指向；（4）按比例量得：FA=18.5kN，FB=5.1k3.2平面汇交力系的平衡三、平面汇交力系平衡的解析条件从前面知道，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力FR等于零。因合力FR的解析式表达为所以，要使力系的合力FR等于零，应使下式成立3.2平面汇交力系的平衡上式中FRx2和FRy2恒为正，因此，要使FR=0，必须同时满足∑Fx=0∑Fy=0(3-7)反之，若（2-7）式成立，则力系的合力FR必为零。由此可知，平面汇交力系平衡的必要与充分条件的解析条件是：力系中所有各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和同时等于零。式（3-7）称为平面汇交力系的平衡方程。3.2平面汇交力系的平衡应用平面汇交力系平衡的解析条件可以求解两个未知量。解题时，未知力的指向先假设，若计算结果为正值，则表示所设指向与力的实际指向相同；若计算结果为负值，则表示所设指向与力的实际指向相反。选坐标系以投影方便为原则，计算时注意投影的正负和大小的计算。3.2平面汇交力系的平衡例3-4如图3-10a所示，重物W=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，

A，C与墙的连接都是铰链连结。两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB与BC所受的力。3.2平面汇交力系的平衡解：（1）受力分析由于支架AB与BC杆为铰接，A，C与墙的连接都是铰链连结，所以AB与BC杆都是二力杆，根据杆件在支架中的位置，初步判定BC杆为受压，而AB杆暂时设为受拉，如图如图3-10b所示。3.2平面汇交力系的平衡（2）选取滑轮B为研究对象，滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2（F1=

F2=

W）。此外杆AB和BC对滑轮铰链有约束反力为FBA和FBC。由于滑轮的大小可忽略不计，因此这些力可视为是汇交力系，如图3-10c所示。3.2平面汇交力系的平衡（3）列平衡方程并求解选取坐标轴如图所示。为尽量使每一个投影方程中只出现一个未知力，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在每一个平衡方程中只有一个未知力