2023年北京三十五中初二（下）期中数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京三十五中初二（下）期中数学一．选择题（共10个小题，每题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140° B．120° C．110° D．100°3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC4．若二次根式有意义，则下列数中，实数x不可以取的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．若＝成立，则x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜16．若+b2﹣4b+4＝0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．下列所给的方程中，没有实数根的是（）A．x2+x＝0 B．5x2﹣4x﹣1＝0 C．3x2﹣4x+1＝0 D．4x2﹣5x+2＝08．已知一个三角形的两边长分别为1和2，第三边的数值满足方程x2﹣3x+2＝0，则它的周长是（）A．4 B．5 C．4或5 D．69．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，折痕为DG，点A落在点A1处，则A1G的长为（）A．1 B． C． D．210．在等边△ABC中，AD为BC边的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果AB＝2，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是（）A．2 B． C． D．二．填空题（共8个小题，每题2分，共16分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．）11．（2分）（1）比较大小：＜4；（2）估计介于4与5两个连续整数之间．12．（2分）若方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是4，则方程的一次项系数是﹣2，常数项是0．13．（2分）若是整数．写出一个符合条件的整数n的值5（答案不唯一）．14．（2分）已知a＝2+，b＝2﹣，则的值为8．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB＝8，AD＝6，则四边形EFGH的周长等于20．16．（2分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为（7，4）．17．（2分）已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0无实数解，则m取到的最小正整数值是3．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若DE＝3BE，则矩形ABCD的面积为．三．解答题（本题共54分）19．化简求值：（1）；（2）．20．已知，，求代数式xy2﹣x2y的值．21．解方程：（1）配方法：2x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x2+x）2﹣x2﹣x＝30．22．如图，在▱ABCD中，CD＝BD，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．（1）求证：四边形BECD是菱形；（2）如果AB＝5，AD＝6，求四边形BECD的面积．23．已知：△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：菱形ABDC．作法：如图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AC，AE平分∠CAB，∴CO＝BO．∵AO＝DO，∴四边形ABDC是平行四边形．∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）（填推理的依据）．24．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1＝0．（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数，判断方程根的情况．25．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6（1+x）2万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．26．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若，求实数k的值；（3）求使的值为整数的实数k的整数值．27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．（1）求证：DE⊥DF；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：BG＝DG；③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．

参考答案一．选择题（共10个小题，每题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）1．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．＝2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．2．【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠B的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，且∠A+∠C＝140°，∴∠A＝70°，∴∠B＝110°，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．3．【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．4．【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解．【解答】解：由题意得1﹣x≥0，解得x≤1，∴在﹣1，0，1，2中实数x不可以取的值是2，故选：D．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．5．【分析】根据二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件进行分析即可．【解答】解：若＝成立，则x≥0，1﹣x＞0，解得：0≤x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．6．【分析】根据非负数的和为零，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由+b2﹣4b+4＝0，得a﹣1＝0，b﹣2＝0．解得a＝1，b＝2．ab＝2．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出a、b的值是解题关键．7．【分析】分别计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；B、Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；C、Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；D、Δ＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，所以方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．8．【分析】先解一元二次方程，然后根据三角形三边关系即可求解．【解答】解：x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝2，x2＝1，当x＝1时，1+1＝2，不能构成三角形，当x＝2时，1+2＞2能构成三角形，三角形的周长为1+2+2＝5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A1B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4﹣x）2，解此方程即可解决问题．【解答】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝5，由折叠的性质可得：A1D＝AD＝3，A1G＝AG＝x，∠DA1G＝∠A＝90°，∴∠BA1G＝90°，BG＝AB﹣AG＝4﹣x，A1B＝BD﹣A1D＝5﹣3＝2，∵在Rt△A1BG中，A1G2+A1B2＝BG2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴A1G＝AG＝．故选：C．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．【分析】根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算．【解答】解：在等边△ABC中，AD为边BC的中线，AB＝2，∴①在平行四边形ACBD中，此时对角线长度为AB＝2，②在平行四边形ADCB中，延长AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，则四边形DECB是矩形，∴CE＝BD＝1，DE＝BC＝AD＝，在Rt△AEC中，，③在平行四边形ACDB中，延长BD，过点C作CM⊥BD，交BD的延长线于点M，则四边形ACMD是矩形，∴AC＝MD＝1，CM＝AD＝，在Rt△BCM中，BC＝，综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握勾股定理，利用分类讨论思想解题是关键．二．填空题（共8个小题，每题2分，共16分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．）11．【分析】（1）利用平方法比较大小即可；（2）估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：（1）∵（2）2＝12，42＝16，∴2＜4，故答案为：＜；（2）∵16＜17＜25，∴4＜＜5，故答案为：4，5．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．12．【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．【解答】解：方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x化为一般形式为：4x2﹣2x＝0，∴方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是4，方程的一次项系数是﹣2，常数项是0．故答案为：﹣2；0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4的一般形式．13．【分析】利用算术平方根的定义得出符合题意的答案．【解答】解：当n＝5时，＝＝10，若是整数，则整数n的值是：5（答案不唯一）．故答案为：5（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．14．【分析】原式进行通分计算，然后利用平方差公式进行变形，结合二次根式混合运算的运算顺序和计算法则求得a+b，a﹣b，ab的值，从而代入求值．【解答】解：原式＝﹣＝＝，∵a＝2+，b＝2﹣，∴a+b＝（2+）+（2﹣）＝2++2﹣＝4，a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2+﹣2+＝2，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，∴原式＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．15．【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长．【解答】解：连接AC、BD，在Rt△ABD中，BD＝＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，EH＝BD＝5，同理，FG∥BD，FG＝BD＝5，GH∥AC，GH＝AC＝5，∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理，可得OD′，根据平行四边形的性质，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得OD′＝＝4，即D′（0，4）．矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形ABC′D′是平行四边形，AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7，C′与D′的纵坐标相等，∴C′（7，4）故答案为：（7，4）．【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7是解题关键．17．【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+1＝0无实数解，当m＝0时，原方程为一元一次方程，有解，当m≠0时，原方程为一元二次方程，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，解得：，∴则m取到的最小正整数值是3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．18．【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，ED＝3BE，证得△OAB是等边三角形，继而求得∠ABD及∠ADB的度数，则利用直角三角形的性质及勾股定理即可求得AB的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB．∵ED＝3BE，∴ED+BE＝3BE+BE，即BD＝4BE，∴OB＝2BE．∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AB＝BD．由勾股定理得BD2﹣AB2＝AD2，即（2AB）2﹣AB2＝92，解得（负值舍去），则矩形ABCD的面积为：．故答案为：．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．三．解答题（本题共54分）19．【分析】（1）利用分配律和二次根式的乘法法则进行计算即可；（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．20．【分析】先将代数式xy2﹣x2y变形为xy（y﹣x），然后再代入求值即可．【解答】解：∵，，∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．21．【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据换元法解一元二次方程，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣3＝0，∴，即，∴，∴，解得：；（2）解：（x2+x）2﹣x2﹣x＝30，设x2+x＝t，则t2﹣t﹣30＝0，即（t﹣6）（t+5）＝0，解得：t1＝6，x2＝﹣5，∴x2+x﹣6＝0或x2+x+5＝0，由x2+x﹣6＝0得（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2，由x2+x+5＝0，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣20＜0，方程无实根，∴原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．22．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义证出∠DEB＝∠BDE，则BD＝BE，可证出四边形BECD是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论；（2）由菱形的性质证出∠ADE＝90°，由勾股定理可求出DE的长，根据菱形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠DEB，∵DE平分∠BDC，∴∠CDE＝∠BDE，∴∠DEB＝∠BDE，∴BD＝BE，∵BD＝CD，∴BE＝CD，∵BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，又∵CD＝BD，∴四边形BECD为菱形；（2）解：∵四边形BECD为菱形，∴BC⊥DE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝90°，由（1）可知AB＝BE＝CD＝5，∴AE＝10，∴ED＝＝8，又∵AD＝BC＝6，∴四边形BECD的面积＝×6×8＝24．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据等腰三角形的性质得到BO＝CO，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形ABDC是平行四边形，然后加上AB＝AC可判断四边形ABDC是菱形．【解答】解：（1）如图，四边形ABDC为所求作；（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AC，AE平分∠CAB，∴CO＝BO．∵AO＝DO，∴四边形ABDC是平行四边形，∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．故答案为BO；邻边相等的平行四边形为菱形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和菱形的判定．24．【分析】（1）由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；（2）计算方程根的判别式，判断根的判别式的符号即可．【解答】解：（1）∵m是方程的一个实数根，∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1＝0，∴；（2）Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+3）]2﹣4×1×（m2+1）＝﹣12m+5，∵m＜0，∴﹣12m＞0．∴Δ＝﹣12m+5＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．25．【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根据养殖成本＝固定成本+可变成本建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2＝7.146，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．26．【分析】（1）根据根的判定式列出不等式，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得出，，再根据列出关于k的方程，解方程即可；（3）根据，x1•x2＝，先将化简为，再根据的值为整数，求出k＝0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5，最后根据k＜0，得出k＝﹣2，﹣3，﹣5即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴（﹣4k）2﹣4×4k（k+1）≥0，且4k≠0，解得：k＜0；（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴，x1•x2＝，∵，∴，即，解得：．（3）∵，x1•x2＝，∴＝＝＝＝＝，∴k+1＝1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4，解得k＝0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5，∵k＜0，∴k＝﹣2，﹣3，﹣5．【点评】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使