安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题

合肥市普通高中联盟20232024学年第一学期期末联考高二年级数学试卷1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请将答案写在答题卡上．考试结束后，只交“答题卡”．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过，两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案.【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为，而直线倾斜角范围为，故经过，两点的直线的倾斜角为，故选：C2.已知向量，，则向量（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加减运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：C.3.在等差数列中，，，则的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】利用等差公式下标和性质即可得解.【详解】因为是等差数列，，，所以，即，解得.故选：B.4.如果直线与互相垂直，那么a的值等于（）A.－1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.【详解】因为直线与互相垂直，所以，解得.故选：C.5.直线被圆截得的弦长为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为O(0,0)，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：B.【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦长计算，考查了运算能力，属于基础题.6.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为A.200 B.162 C.144 D.128【答案】B【解析】【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数即，故选B．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为考点：直线与平面所成的角8.如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为A B. C. D.3【答案】C【解析】【详解】根据双曲线的定义，可得|是等边三角形，即即，又∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，即解之得由此可得双曲线C的离心率故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.满足下列条件的数列是递增数列的为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据与的大小关系判断是否为递增数列.【详解】A．因为，所以是递减数列；B．因为，所以是递增数列；C．因为，所以是递减数列；D．因为，所以是递增数列；故选：BD.【点睛】结论点睛：已知数列，根据与的大小关系判断的单调性：（1）若，则为递增数列；（2）若，则为递减数列；（3）若，则为常数列.10.下列说法正确的是（）A.直线必过定点B.直线在y轴上截距为1C.过点且垂直于直线的直线方程为D.直线的倾斜角为120°【答案】AC【解析】【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.故选：AC.11.已知曲线C：，则（）A.存在m，使C表示圆B.当时，则C的渐近线方程为C.当时，则C的焦点是，D.当C表示双曲线时，则或【答案】AD【解析】【分析】由圆方程的特征得到，从而判断A；利用双曲线渐近线公式判断B；由题意得，从而由椭圆方程特征得到焦点在轴上，进而判断C；由双曲线方程的特征得到，从而判断D.【详解】A选项，当，即时，为圆，故A正确；B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误；C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误；D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确.故选：AD.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（）A. B. C.平面ANMD D.BD与平面ANMD所在的角为30°【答案】CD【解析】【分析】通过反证法证明A，B错误，通过线面垂直判定定理证明C正确，通过作出线面角求得D正确.【详解】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；对C，，，所以平面ANMD，故C正确；对D，连接DN，因为平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；故选：CD.【点睛】本题考查空间中线线垂直、线面垂直的证明、线面角的求解，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意准确作出线面角，再从三角形中进行求解.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知为坐标原点，，若，则的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算可求向量的坐标.【详解】为坐标原点，，则..故答案为：.14.已知抛物线上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．【答案】【解析】【详解】由抛物线定义得,即这点的坐标为15.已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.【详解】由得,所以,故答案为：16.光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】【解析】【分析】求得直线与直线交点后，再求直线上一点关于直线的对称点，是本题的关键所在.【详解】由得即直线与直线交点为在直线上取点设点关于的对称点为则即则反射光线所在直线的方程为故答案为：四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知数列的前n项和为，，其中．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与即可得解；（2）利用裂项相消求和法即可得解.【小问1详解】因为，当时，有，当时，有，所以，经检验，满足上式，所以，；【小问2详解】因为，；所以，因此.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）试用表示向量；（2）求BM的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【小问1详解】【小问2详解】，所以，则BM的长为.19.已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程，（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可【小问1详解】由题意得，解得所以双曲线方程为.【小问2详解】由，得，由题意得，解得.当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，所以或.20.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．（1）求证：BE∥平面DCF；（2）求点B到平面DCF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）通过证明平面ABE∥平面DFC即可得解；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，通过空间向量的计算可得解.【小问1详解】证明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF．【小问2详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD⇒，∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，，．设平面DCF的法向量为，则，∴，令x＝1，y＝2，z＝0．∴.∴．∴B到平面DCF的距离为2．21.已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求的通项公式（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）首先由已知构造得，从而能证明是等比数列.并能求出的通项公式.（2）由.利用错位相减法能求出数列的前项.【小问1详解】∵数列满足，，∴，又，∴是首项为，公比为3的等比