1.5-1.6三角函数的应用（解析版）

1.5-1.6三角函数的应用分层练习考查题型一利用三角函数求高度（2023秋•莱芜区期中）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为A． B． C． D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．【解答】解：，，，，故选：．（2022秋•秦皇岛期末）如图钓鱼竿长，露在水面上的鱼线长，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度是A． B． C．4 D．【分析】因为三角形和三角形均为直角三角形，且、都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出，进而得出的度数，然后可以求出鱼线长度．【解答】解：，．，．，解得：．故选：．（2023秋•拱墅区校级月考）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9【分析】由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意可知，，，则，，，，则，，，则，，．答：树的高度为，故选：．（2022秋•临朐县期末）厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱为底边中点）长10米，，则跨度的长是A．米 B．米 C．米 D．米【分析】先由已知得到直角、与的关系，再由直角三角形的边角间关系求出得结论．【解答】解：由题意，得，为底边的中点，，．在中，，．（米．故选：．考查题型二坡度问题（2023秋•正定县期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（结果精确到A． B． C． D．【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义分别求出、，根据题意求出，进而求出，根据题意计算即可．【解答】解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，在中，，，，长的木杆在地面上的影长为，，，长的木杆在地面上的影长为，，故选：．（2023秋•晋州市期中）如图所示，是一座建筑物的截面图，高，坡面的坡度为，则斜坡的长度为A． B． C． D．【分析】由坡面的坡度为，可得，再根据勾股定理可得．【解答】解：坡面的坡度为，，．故选：．（2023秋•洪洞县期中）如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为米．A． B． C． D．【分析】根据题意可得：，然后根据已知可设米，则米，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：，斜坡的坡比接近，，设米，则米，在中，（米，米，，解得：，米，故选：．（2023秋•桥西区校级期中）如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为．A．3 B．5 C．2 D．4【分析】根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．【解答】解：滑坡的坡度是，在中，，，，故选：．考查题型三仰角问题（2023•昆明模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端的仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为A． B． C． D．【分析】通过解直角可以求得的长度．【解答】解：如图，在直角中，，，，，则．故选：．（2023秋•锦江区校级期中）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点与高楼的水平距离为30米，斜坡的坡度（坡比），坡顶到的垂直距离米，在点处测得高楼楼顶点的仰角为，求楼的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，【分析】过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，则米，，斜坡的坡度（或坡比），米，，（米，米，（米，在中，，（米，（米，高楼的高度为17.2米．（2022秋•岱岳区校级期末）如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个纸板测量大树的高度，已知，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，测得边离地面的高度，，则树的高度是A． B． C． D．【分析】在，利用和的长，求出的长，利用，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：，，，，；故选：．考查题型四方向角（2023秋•高密市期中）一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为海里．A． B． C． D．【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，即可解答．【解答】解：如图：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，由题意得：，，，在中，海里，，（海里），（海里），海里，海里，在中，，海里，海里，小岛与出发点之间的距离为海里，故选：．（2023秋•肥城市期中）如图，岛位于岛的正西方，、两岛间的距离为海里，由岛、分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件可以得到的长，本题得以解决．【解答】解：作于点，如图所示，，，，海里，，，，，解得，海里，海里，故选：．（2023秋•泰山区期中）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离是A． B．30 C．40 D．50【分析】根据题意可得：，，，从而可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图，由题意得：，，，，，在中，，，，，两港之间的距离为，故选：．（2023秋•贵阳期中）如图，，，，点在点的北偏西方向，则点在点的A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北【分析】根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即，则可得点在点的北偏东方向．【解答】解：，，为直角三角形，，在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向．故选：．（2023•南关区校级四模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，则点到的距离为A． B． C． D．【分析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．【解答】解：如图，过点作于点，在中，，，即点到的距离为，故选：．（2023•港南区三模）如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上，两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点处测得，，已知河宽18米，则，两点间的距离为（参考数据：，，A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出和，然后即可得到的长．【解答】解：作于点，如图，，，，，，，，米，，，，，解得米，米，米，故选：．（2023秋•赵县月考）如图，一个圆规的两脚不等长，若一脚，另一脚，则使用这个圆规画出的圆的半径长可能是A． B． C． D．【分析】由三角形的边的关系知，，即可求解．【解答】解：圆的半径相当于中，边的长度，由三角形的边的关系知，，即，故选：．（2023•吉林模拟）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于A． B． C． D．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．【解答】解：作于点，作于点，如图，四边形是矩形，，，，，，，，，故选：．（2023春•江岸区校级月考）如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点，于点，且，，，则的值为A． B． C． D．【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，勾股定理求出的长，即可得解．【解答】解：如图，由题意得：，，，，同理可得：，，，在和中，，，，，，，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，，，故选：．（2023•绿园区校级模拟）如图，电线杆的高度为3米，两根拉线与相互垂直，、、在同一条线上，，则拉线的长度为A． B． C． D．【分析】证明出，在中，求出即可．【解答】解：，，，，，在中，，，．故选：．（2023•鹿城区校级三模）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点离地面的高度为A． B． C． D．【分析】根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据正弦的定义可得答案．【解答】解：，，，，，在中，，故选：．（2023秋•晋州市期中）如图，坡角为的斜坡上有一棵大树垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为A．15米 B．米 C．米 D．米【分析】过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出、，结合图形计算，得到答案．【解答】解：如图，过点作，交的延长线于，则，米，（米，（米，在中，，米，米，故选：．（2023•夹江县模拟）如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（单位：米）A． B． C． D．10【分析】利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度的值即可．本题也可先求出的正弦，再求铅直高度．【解答】解：如图，设，过点作于点，由，得，，在中，，，解得，滑块上升的高度为：．故选：．（2022秋•道县期末）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是A． B． C． D．【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．【解答】解：迎水坡的坡度，，（米，在中，由勾股定理得，（米，故选：．（2023秋•东阿县校级月考）如图大坝的演断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为A．6米 B．米 C．米 D．米【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案．【解答】解：分别过、作，，四边形为矩形，斜坡的坡比，即，不妨设，则，在中根据勾股定理：，，解得或（不合题意，舍去），又背水坡的坡比，，在中根据勾股定理得：，故选：．（2023•郧阳区模拟）如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高为，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是A． B． C． D．【分析】在中，利用三角函数可得，再根据坡比的定义以及勾股定理可求得，进而可得出答案．【解答】解：在中，，，，解得，改造后扶梯的坡比是，，解得，，．故选：．（2023春•大冶市期中）如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是A． B．1 C．2 D．【分析】证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由，得，求解即可．【解答】解：由题意得：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，解得：（海里），故选：．（2023秋•莱芜区期中）如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，若，为窗外水平遮阳篷．（1）求的长；（2）求遮阳篷的宽度．【分析】（1）在直角三角形中，由的正切进行求值即可；（2）根据平行线的性质得出，再在直角三角形中，利用的正切值进行计算即可．【解答】解：（1）在中，，，；（2），，，，，，在中，，．（2023秋•集美区校级期中）新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有．（1）求荡秋到地面的最小距离；（2）求到的距离．【分析】（1）先在中求出，即可求出，然后求出即可；（2）过作于，先求出，然后利用含的直角三角形的性质求解即可．解题的关键是作辅助运用含30度角的性质．【解答】解：（1）由题意知，又，，在中，，，，，，即荡秋到地面的最小距离为；（2）过作于，如图，，，，，，，即到的距离为．（2023秋•莱芜区期中）