安徽省皖江名校2023-2024学年高二年级上册开学联考数学

数学试卷

本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合“=卜上2-2%-8<0},N={-3,-2,0,2,3)-则=的最小值是

A.{x|-2<x<4}B.{-2,0,2}C.{-3,-2,0}D.{0,2,3}

2.已知复数z=(加+l)+(m—l)i(weR)+(m-l)i(加cR)为纯虚数，则复数z(3—i)在复平面内对

应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量0=(42),6=(2,4),且(a叫〃则九=

A.-2B.-1C.1D.2

一,、sin3(7r-(z)+cos3(-a)

4.已知在平面直角坐标系中，点M(2,4)在角a终边上，则一「~」——一一L=

sina-2cos-a

5.手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形，如图所示，其中AB,CD,EF,

MN为对角线，该儿何图形恰好能折叠组装成一个正方体卡片纸盒，则在正方体卡片纸盒中

A.CM上EFB.CMLABC.CMLCDD.CMLMN

6.2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校

高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间(单位：分钟)的统计表如下：

年级抽查人数平均时间方差

高一40504

高二60406

则估计两个年级学生日阅读时间的方差为

A.52B.29.2C.10D.6.4

,「.iIn4

7.已知实数mb,C满足。=log43,b=log75,l+log5c=—,贝ij

In5

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

TT

8.已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=一，点Q在边BC上，且满足

3

(\

ARAT

AQ=Aj+3(2>0),AQ=46,则b+16c的最小值是

〔网MJ

A.32B.64C.100D.120

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.CPI是居民消费价格即消费价格指数，是反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动的

宏观经济指标.下图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国居民消费价格涨跌幅统计图，其

中同比是与上年同期对比（如今年5月与上年5月），侧重数据长期趋势，环比是与上月对比（如今年5月

与4月），侧重数据短期变化，则下列说过正确的是

A.2022年5月至2023年5月同比涨幅极差为2.7%

B.2023年1月至5月同比涨幅的75%分位数为1.0%

C.从环比看，CPI由2023年2月至4月开始持续上涨

2

D.随机从2023年1月至5月的同比数据选择两个研究，则选取4月和5月的概率为］

10.已知函数/(x)=sin(iyx+e)。>0,0<9<］的部分图象如图所示，其中B,C两点纵坐标相等,

则

A./(x)=sin(2x+y

B./(x)=sin12x+£

C./（力的图象向右平移三个单位长度可得一个奇函数的图象

6

TT

D./（力的图象向左平移内个单位长度可得一个偶函数的图象

11.直四棱锥S-ABCO中，SAJ•底面ABCQ,A£>=4BC.AD//BC,AC,8。的交点为P,点Q在

SO上且。Q=4QS,三棱锥S-48c和三棱锥Q-ACD的体积分别为匕，匕，则

A.PQ//SBB.CQ〃平面SABC.乂>匕D.V,=—^

16

〜2sin63°sin64°

12.已知x=--------------------y=(l+tan26°)(l+tan27°),则

cosl80cosl90

A.x=(1+tanl8°)(l+tan190)B.x>y

C.孙=4D.x+y>4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.复数z=-------,贝ij|z|=.

4+3i11-------------------

14.已知正四棱台上下底面边长分别为2和8,侧面梯形的高为5,则该四棱台的体积为.

15.随着国家“双碳”（碳达峰与碳中和的简称）目标的提出，我国风电发展驶入快车道，陆地、海上的

风机（如下左图，顶端外形是大风车，又称风力发电大风车）纷纷“拔地而起”，成为保护环境、输送绿

色能源的“风中使者”.如图，一学习兴趣小组为了测量某风力发电大风车48的高度，在点A正东方点

C处测得风车顶端点B的仰角为30°,在点A南偏西30°方向的点D处测得点B的仰角为60°,且C,

。相距一--米，其中A5_L平面AOC,则AB的高度为米.

3

16.若“X）的定义域为[0,1],对于OW%W/W1,都有且满足/仁卜;〃x）,

/（l-x）=l-/（x）,则称“可为康托尔函数.当xe时，康托尔函数/（力=；

/U[02-3J1=-------------

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

设平面向量4,人满足,1=1，Z?=（G』），（2a+8）・（a—。）=一3.

（1）求卜-q；

（2）求向量a在向量b上的投影向量（用坐标表示）.

18.（12分）

已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，h,c,且满足9+2-且=夜.

haah

（1）求角C；

（2）若sinA=千，c=5啦＜b,求A钻。的面积.

19.（12分）

2023年7月II日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一.某

班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题.规定全部答对者，通过选

12I2

拔考试.设甲答对第一道和第二道题的概率分别为一，一，乙答对第一道和第二道题的概率分别为一，一，

2323

甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响.

（1）求甲，乙都通过考试的概率；

（2）记事件£="甲、乙共答对两道题”，求P（E）.

20.（12分）

如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，P为。。的中点，AA3C是底面的内接正三角形.

（1）若底面圆的半径为2,直线PB与底面的夹角为45°,求圆锥侧面展开图的面积；

（2）若PALPB,证明：平面尸平面也艮

21.（12分）

如图所示，AABC中，AQ为边BC的中线，AP=tAQ,MP=xMN,AM=AAB,AN=RAC,其

中/>0,x>0,2>0.〃>0.

1

（1）当/=-时，用向量AB,AC表示AP；

3

（2）证明：工+工为定值.

22.（12分）

已知f（x）=2百COS69XSinCOX-COS269X4-sin469X+COS269xsin2>0）.

（1）若G=1,且=。£6,万），求cos（2a-专）的值；

（2）若函数y=/（楙）在区间（1,与）上没有零点，求①的取值范围.

数学参考答案

题号123456789101112

答案DCCBABACABACDADACD

1•【解析】由〃={x,—2》一8<0}=卜卜2Vx<4},={-3,-2,0,2,3},得MCN={0,2,3}.

2.【解析】由复数z=（m+l）+（加一l）i（mwH）为纯虚数，可得复数加=一1,所以复数z（3—i）=—i（3—i）

=—1—3i,所以在复平面内对应的点为（一1,一3）,在第三象限，故选C.

3.【解析】由题意可得a—匕=（%—2,—2）,因为（a—〃）〃〃，所以4（2—2）=T,解得X=l,故选C.

■…三’口csincr+cosatana+18+13

4.【解析】由题后、可得tana=2,所以原式=—：------z—=—：------=-----=—，故选B.

sina-2cosatana-28-22

5.A

【解析】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知CM_LE/，CM//AB,CM与CQ,MN的夹角

均为60°,故选A.

_406（）

6.【解析】由题意估计高一高二日阅读时间的平均数为x=50x—+40x—=44,

100100

方差为S2=4+(50—44)[x^^+6+(40—44)[x，^=29.2,故选B.

i44

7.【解析】由l+log5c=np~^,得logs(5c)=logs4，即5c=4,即。=1,

a=log43=log4疗=log4^243<log4^256=log4竹=1,

7

b=log75=log7=log7V3125>log7V240T=log7V7=I1综上可知a<c</?,故选A.

/、

ADArAn4r

8.【解析】因为厂f，—分别是向量AB,AC的单位向量，所以由A。=/l尸i+f4（2>0）,

网"[M|因）

易知AQ是AABC中角A平分线，于是结合8cUSMBO+SMCO，AQ=4百可得，

，机41160。=!*46。8出30。+!*4341130。，化简得庆=43+。，故！

222tyc4

所以〃+16c=4(/?+16。)2100,当且仅当人=20,c=5时等号成立，故

选c.

9.【解析】A选项中的极差为2.8—0.1=2.7(%),故A正确；B选项中的数据由小到大排列为0.1%,

0.2%,0.7%,1.0%,2.1%,由1=5x75%=3.75,不是整数，所以75%分位数为第4个数1.0%,故B正

确；C选项中2月至4月均为负数，说明下降，故C错误；D选项等价于从5个数字中随机选取2个，样

本空间包含的样本点总数为10,其中随机事件”选到4月和5月”包含的样本点数为1,古典概型概率计

算公式可得所求概率为「=’,故D错误.综上，选AB.

10

冗2万

万+5]7万7万万万

10.【解析】由题意知所以/(x)的图像的一条对称轴方程为----—=—

1234

127r\71\7171

-X—,所以啰=2.由于函数/(X)图像过［彳,°b由2x§+o=%+2A%,女eZ,且0<°<5,

得夕=?,所以/(x)=sin[2x+qj,故A正确，B错误；/(力的图象向右平移(■个单位长度得到

TT7T\TT

(2x--+-\=sm2x,是奇函数，故C正确；〃x)的图象向左平移三个单位长度得到

/z(x)=sinI2x+—+yI=cos2x,是偶函数，故D正确.故选ACD.

11.【解析】连接PQ,AD=4BC,AD〃BC,所以OP=4BP,又因为。Q=4QS,所以PQ〃跖，

14

故A正确；过。作QM〃AZ)交SA于点M,由。。=4QS,可得QM=,所以四边形

BC0M是梯形，。。与的延长线必定相交，故C。与平面SAB必定相交，故B错误；设直四棱锥S-

4

ABCD的高为H,底面梯形A3CQ的高为〃，则易得三棱锥S-A5C和三棱锥Q-AC。的高分别为Hf-H,

U-x—xBCxhxH]s

所以—L=y_^-------------=-,所以C错误，D正确.综上，选AD.

匕1X1XADX/ZX4H4X916

3255

…匚、Ld2sin63°sin64°V2sin(45°+18°)-V2sin(45°+19°)sin18°+cos18°

12.【解析】因为x=--------------------=-----------------------------------------------=---------------------

cos18°cos19°cos18°cos19°cos18°

qjnIX。_i_ccq18。(TT、

--°^190=(1+tan18°)(1+tan19°),所以A正确；由正切函数在J上恒为正且单调递增得

x=(1+tan18°)(1+tan19°)<(1+tan26°)(1+tan270)=y,所以B错误；注意到1=tan(18。+27。)

tan180+tan27°

所以tan180+tan270+tan18°tan27°=1同理

1-tan18°tan27°

tan190+tan260+tan19°tan26°=1,于是

◎=(1+tan18。)(1+tan27。).(1+tan19。)(1+tan26。)=(1+tan18。+tan27。+tan18。tan27。)

(l+tanl90+tan26o+tanl90tan260)=2x2=4,故C正确；由基本不等式可得x+y>2而=4,故

D正确.综上，选ACD.

13.【答案】！

5

—i(4—3i)_3-4i

【解析】z

4+3i(4+3i)(4-3i)-25

14.【答案】112

【解析】由题意可知正四棱台的高为A/52-32=4所以该四棱台的体积为

1X(22+82+V22X82)X4=112.

15.【答案】40

【解析】由题意知，ZADB=60°,N5C4=30°,ZZMC=120°,设QA=x,则=AC=3x,

在AABC,由余弦定理可得(—1)=尤?+(3x)2_2,x-3%.(——,解得x=—,所以

AB=y/3x=40(米).

1

16.【答案】一

2128

【解析】在/仁卜中，分别令x=0,得/（0）=0,在"1—x）=l—“X）中，令x=l,

x=+,

得/⑴"佃+呜卜.又令V'得《卜"⑴4所以山卜佃4结合

对于都有〃与了了（々），可得当无€g时，康托尔函数/（x）=；，反复利用

*卜“⑺.，可得

'33、

23J41^2023),2023,

(3334、'34'35'363636

Z，注意到一=6-<

(202342023,,2023,2023,2023336X3729X3

36<36_2X36_21

所以/=-x-=—,故第二空填_L.(注：第一空2分，第

2023729x-3‘x332023642128128

2

二空3分)

17.【解析】

(1)因为(2a+Z?)(a-b)=-3,所以2a"=一3,

又忖=1,卜卜2,所以。%=1,

因为任一々=a-2a,b+b-I2-2xl+22=3,

所以卜—q=g.

(2)设a,b的夹角e,由(1)中可得cose=gig=,，故。=C.

\a\\b\23

因为〃=

所以向量。在向量b上的投影向量为便

4

18.【解析】

..,abc-n-a+h--crr.a~+b--c~

(1)由一+------=J2,得-----------=J2,所以-----------

baabah2ab

结合余弦定理可知cosC=Y-,而0＜。＜/，所以c=工.

24

(2)由正弦定理可得:=二0，解得a=4后,

2V5＜2

52

又由余弦定理可得50=^2+80-2x4&x^,即人2—4痴。+30=0,

2

解得。=3屈，或6=加，

而c=5&</?,所以》=3jl。，

ii6

所以AABC的面积S=-aAinC=—x4j^x3jl6xJ=30

222

19•【解析】设事件4=”甲答对了，道题”，事件与="乙答对了i道题"，j=0,1,2,

3\111”.'11111C/“\111

由感意尸（4））=-x—=一,P（A）=-x—I—x-二一,P（A,）=_x一=一,

2241,22222'.224

3

）=lxi=-,P（fi1）=-x-+-xl=-,/（B,）=-x-=-,

'"33933339'，339

ii221

（1）由题意得，甲，乙都通过考试的概率：P（A2B2）=P（A2）P（B2）=-X-X-X-=-.

由题意得，

（2）E=A[B{+A2BO+\82,

14111413

所以尸（E）=P（A）P（4）+P（4）P（B°）+P（4）尸（与卜^丁^^+不丁亚

20.【解析】

（1）连接OB,由题意知。O_L平面ABC,故。0,80,则直线尸8与底面的夹角为NPBO=45。.

因为底面圆的半径为2,所以PO=BO=2,底面圆的周长为4万，

而P为。。的中点，所以。0=4,所以圆锥的母线长为J4?+2?=2加,

所以圆锥侧面展开图的面积为工x4万x26=46万.

2

（2）证明：连接0A,0C,

二PA=PB=PC,

•••A48C是圆内接正三角形，

AAB=BC=CA,所以"AB四APBC,"AB会"AC,

NBPC=NAPC=90°,即PBLPC,PAYPC,PAPB=P,

，PC_L平面以B,PCu平面以C,

二平面~BC_L平面PAB.

21•【解析】

(I)当/='时，AP=—AQ,

33

因为AQ为边BC的中线，

11/X11

所以AQ=AB+60=48+580=48+5(40—48)=548+54。,

11

所以AP=-AB+-4c.

66

(2)证明：由(1)可知40=；AB+gAC,

所以AP=.AQ=((A6+4C).

而MP=xMN,AM=2cAB,AN=〃AC,

所以AP—AM=xAN-xAM,

即((AB+AC)-AAB=X/.IAC-xAAB,

整理可得-4+ja[A3=(x〃—AC,

而AB,AC是不共线向量，所以(一/l+x/l=x〃一;=