2023-2024学年广东省深圳市高二年级下册开学考试数学（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市高二下册开学考试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

2

人A=b∣∣x∣=x]Z?=(jdx+x≥0),.ΛD_

1.若集合ɪ111),ɪ1/,贝r"”一()

A.[-1,0]B.[0,+∞)C.[l,+∞)D.(-∞,-l]

【正确答案】B

【分析】解不等式求出A=[0,+∞),B=[0,-+w)(-∞,T],求出交集.

【详解】A={R∣X∣=X}=[0,+8),θ=∣x∣%2+x≥0∣=[0,+∞)u(-∞,-l],

故AnB=[0,+8).

故选：B

-ɔ.•

2.已知复数Z=二」，则IZl=()

1-1

A.√2B.√3C.√6D.√5

【正确答案】D

【分析】利用复数除法运算求出复数z,再求出复数的模作答.

(3+i)(l+i)2+4i,〜

【详解】依题意，Z=M;^=l+2ι,

(1-1)(1+1)2

所以IZl=Vi2+22=ʌ/ʒ.

故选：D

anmn

3.a>b是Iog2a>Iog2b的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】求出Iog2α>log2人的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

u,

【详解】Iog2a>Iog2b<^>a>b>O,因为a>h'N"a>6>0”且

“a>b"U"a>6>0”，

因此，"a>b''是"log?”>log2人”的必要不充分条件.

故选：B.

4.己知函数y=∕(x)在定义域(一1,3)上是减函数，且/(2π-l)<∕(2-α),则实数。的取值范围

是()

A.(1,2)B.(-∞,1)C.(0,2)D.(l,4w)

【正确答案】A

【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.

【详解】因为函数y=∕(x)在定义域(T,3)上是减函数，且"2"l)<∕(2-α),

-l<2α-l<3

则有｛-l<2-α<3,

2。一1>2-。

解得l<α<2,所以实数〃的取值范围是(1,2).

故选：A.

5.已知加,/是两条不同的直线，α,α是两个不同的平面，则下列可以推出的是()

A.β,lLaB,mA,l,ar>β-l,m(^a

C.ιn∕∕l,mLa,l±βD.ILa,mlll,mlIβ

【正确答案】D

【分析】

A,有可能出现α,夕平行这种情况.B,会出现平面α,P相交但不垂直的情况.C,根据面面平行

的性质定理判断.D,根据面面垂直的判定定理判断.

【详解】对于A,机，/,mu0,若/J■尸，则。//4，故A错误；

对于B,会出现平面α,£相交但不垂直的情况，故B错误；

对于C,因为m/〃，m_La,贝”J_a,又因为/J■尸na〃咒,故C错误；

对于D,/_!_«,〃?〃/=机_La,又由tn〃B=a工β,故D正确.

故选:D

本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

6.在长方体ABC。一ABICQl中，己知耳。与平面ABCz)和平面AAB班所成的角均为30°,则

()

A.AB^2ADB.AB与平面ABCD所成的角为30。

C.AC=CB1D.BQ与平面BBCC所成的角为45°

【正确答案】D

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设AB=α,A。=>,AA=c,依题以及长方体的结构特征可知，BQ与平面ABCz）所成角为

ch

NBQB,BQ与平面44IB/所成角为/。用A,所以sin30=--=~~,即h=c,

oɪLJO1ZJ

222

BxD-Ic-∖∣a+h+c>解得a=∖∣2c-

对于A,AB=a,AD=h,AB=MAD,A错误；

对于B,过8作BE_LAg于E,易知BE_L平面ABCQ,所以AB与平面ABCQ所成角为

NBAE,因为tan∕B4E=f=∖-,所以NBAE≠30,B错误；

a2

22,22

对于C，AC=∖Ja+b=∖∣3cCBi-∖∣b+c-∖[2c-ACkCB∣,C错误；

CDa五

对于D,BID与平面BB1C1C所成角为NDB0,sinNDBlC=而

BID2c2

O<ZDB1C<90,所以NOBC=45.D正确.

故选：D.

7.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十

分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，

是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三

角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，

重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为3,则图③中。M∙0N的值为（）

N

,M

O

①②③④

A.3√3B.6√3C.6D.6√2

【正确答案】C

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得OM,ON的

坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

OM∖=2,OM=(2cos-,2sin-)=(l,y∕3),

133

4

H4,即MP=(1,0),

∣P2V∣=∣,由分形知PN//OM,所以PN=

所以ON=OM+MP+PN

所以OM∙ON=lχ3+GχZ^=6∙

26

己知双曲线。的左右焦点分别为实轴为虚轴为用与，直线与直线与与相

8.G,F2,

交于点。.若。则的离心率等于（

ε=3DB2,C）

A.5B.3C.√3D.√2

【正确答案】A

【分析】连接&区,通过构造平行线，由对应线段成比例，解得c=5α,可得双曲线离心率.

∖DF,∖

【详解】如图所示，DR=3DB,,则EV=3,

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得2分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22

9.已知双曲线方程C:二―匕=1,则在该双曲线中下列结论中正确的是（）

97

A.实轴长为6B.渐近线方程为y=±gχ

C.焦距是4D.焦点到渐近线的距离是正

【正确答案】ABD

【分析】由双曲线方程得到C的值，进而得到实轴长，渐近线方程和焦距，利用点到直线距离求

出焦点到渐近线的距离.

22

【详解】'—二=1中α=3,b=√y,故¢2=/+82=9+7=16,故c=4,

97

则实轴长为2α=6,渐近线方程为y=±2jc=±YZχ,B正确;

a3

焦距为2c=8,C错误;

由对称性，不妨取焦点（4,0）到渐近线3y+J7x=0距离为d=g^L=√y,D正确.

√9+7

故选：ABD

10.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,=I-1（）〃，则下列结论正确的有（）

A.｛4｝是递减数列

B.a6>Q

C.S11>0D.当S“最小时，〃=5

【正确答案】BCD

【分析】由数列前〃项和为可求数列通项，然后逐个验证选项.

2

【详解】Stl=n-10n,当〃=1时，α,=S1=1-10=-9；

22

当〃22时，an=S11-S,,-1=(n-l0n)-[(n-l)-10(〃-l)]=2n-ll

注意到n=1时也满足α∣=2xl-ll,

所以数列｛q｝的通项公式为a,,=2n-∖∖,〃©N*，

%∙~%=2,｛a,,｝是递增数列，A选项错误：

4=2x6-II=I>0,B选项正确；

S11=UfelJlfLi)=Ilfl6>0,C选项正确；

Sa=〃2—10〃=("—5)2—25,"∈N*,当S“最小时，〃=5,D选项正确.

故选：BCD.

11.已知点P(XO,%)是直线/：x+y=4上的一点，过点P作圆O:/+V=2的两条切线，切点分

别为A,B,连接OAO8,则()

A.当四边形Q4PB为正方形时，点P的坐标为(2,2)B.IeAl的取值范围为[指,+8)

C.当，246为等边三角形时，点尸的坐标为(1,3)D,直线AB过定点

【正确答案】BD

【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行判断即可.

【详解】解：

对于A选项：当四边形。4P8为正方形时，则∣Q4∣=∣O8∣=∣AH=∣3H

则圆0:X?+y?=2=>r=∖∣2

.∙.∣PO∣=J（扬2+（扬2=2

又点产（%,%））是直线/：x+y=4上一点

设P(Xo,4-%)

二22即√-

IP0∣=7(XO-O)+(4-%O-O)=λ∕2√-8x0+16=2，∙4x0+6=0

该方程A<0,%无解

故不存在点P使得。4PB为正方形，A错误；

对于B选项：由A知，∣PA∣ɪy∣∖Pθf-∖θAfɪy]∖Pθf-2

222

.∙.∣PO∣=√+(4-x0)=2X0-8X0+16=2(X0-2)+8≥8

.∙.∣PO∣2-2N6,贝IJlp4∣≥遥，即Q4的取值范围是[#,+8)

故B正确；

对于选项C：若三角形Q48为等边三角形为等边三角形，易知NAPB=60°

又OP平分/APB

.-.ZAPO=ZBPO=30a

在RJQ40中，由于IQAl=J5

.∙.sin30。=n∣OP∣=2√2

∖OP∖I1

又尸点坐标为：(XO,4-/)

222

.∙.X0+(4-X0)=8,即2J√—8/+8=On(XO-2)=0

x0=2,y0=2,故C错误；

对于选项D：P(x0,4-⅞)

222

.∙.∣P<9∣=x0+(4-¾)=2Λ0-8x0+16

记OP中点为O(字,三五)

则以D为圆心，㈣为半径的圆与圆O的公共弦为AB

2

••・圆。方程为卜—率)+(>_与a)=∣-(2√-8%0+16)

22

整理得X+y-x0x-(4-xo)y=O

联立bJyJ%x-(4τ°)y=0,化简得χ0χ+(4r0)y=2

χ2+y~=2

即得直线方程为XOX+(4-x°)y-2=0

将X=>=；代入方程恒成立；故直线AB过定点(；，；)，D正确.

故选：BD

12.已知正四面体ABC。的棱长为28，其外接球的球心为。.点E满足AE=ZIA3(0<4<1),

C户=〃Co(()<〃<1),过点E作平面α平行于AC和BZX平面α分别与该正四面体的棱SC,CD,

AD相交于点M,G,H,则()

A.四边形EMG”的周长为是变化的

64

B.四棱锥A-田WG”的体积的最大值为上

81

C.当4=’时，平面ɑ截球。所得截面的周长为叵兀

42

14

D.当％=〃=—时，将正四面体ABCC绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分体积为一

23

【正确答案】BD

【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A：根据面面平行的性质定理结合

平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运

算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体

体积公式运算求解.

【详解】对于边长为2的正方体A4CA-4BC∣D,则ABCD为棱长为20的正四面体，则球心。

即为正方体的中心，

连接80，设AClBxDy=N

,；BBlDD∣,BBi=DDi,则BBQQ为平行四边形

/.BDBtDl,

又；BO〃平面α,片22平面ɑ,

B1D1I平面α,

又；AC.平面α,ACIBlDI=N,AC,BiDiI平面ABC。，

.∙.平面1平面A4CZ）∣,

对A：如图1,

∙.∙平面α平面ABCA,平面α平面ABC=EM，平面4耳。。平面ABC=AC,

EMBE

.,.EMAC,则=I-A,即EM=(I_/l)AC=2&(1-/1),

ACAB

同理可得：HEGM/.BlDi,HE=GM=2√2λ-EMGHAC,

EM=GH=2近(\-孙

四边形EMGH的周长L=EM+MG+G4+EH=4j5（定值），A错误;

对B：如图1,由A可知：HEGMBQ,HE=GM2√2Λ>EMGHAC,

EM=GH=2y∕2(l-λ),

■：ABiCD,为正方形，则AC±BfDt,

：.EMG”为矩形,

根据平行可得：点A到平面α的距离d=/IAA=2Λ,

故四棱锥A—EMGH的体积V=-×2λ×2√2λ×2√2(l-λ)=y(Γ-A3),则

V,=yΛ(2-3A),

2(212

V0<2<l,则当0<∕l<5时，则V'>(),V在［0,5J上单调递增，当5<∕l<l时，则V'<(),V

33

g,l）上单调递减,

在

264

...当4=；时，V取到最大值上,

381

故四棱锥A—£MG”的体积的最大值为J,B正确；

81

对C：正四面体ABCo的外接球即为正方体ABCA-A/G。的外接球，其半径H=百，

设平面。截球0所得截面的圆心为。I,半径为r,

当zl=∙L时，则Oo=

42

2222

∙.∙OO1+产=R2,则r=y∣R-OO,=gɪ，

.∙.平面α截球0所得截面的周长为2兀r=JH兀，C错误；

对D：如图2,将正四面体ABe。绕E尸旋转90°后得到正四面体A与GA,设

AiDiIAD=P,AiCyIBD=K,BλCiIBC=Q,BQ∣IAC=N,

；丸=〃=；,则E尸,P,Q,K,N分别为各面的中心，

.∙.两个正四面体的公共部分为EFPQKN,为两个全等的正四棱锥组合而成，

根据正方体可得：EP=母,正四棱锥K-PEQF的高为gAA=1,

故公共部分的体积V=2Vκ=2×ɪ×1X√2×√2=,D正确；

故选：BD.

思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线y=2f的准线方程是.

【正确答案】y=~-

8

【分析】

先将抛物线方程化为标准形式，求出，的值，即可求解.

【详解】由y=2f得抛物线方程为χ2=_1）,,所以〃=]_,

24

所以抛物线y=2√的准线方程是γ=-^=-∣,

故答案为.y=——

14.正三棱柱ABC-44G的所有棱长都相等，则异面直线A与与BC所成的角余弦值是

【正确答案】ɪ

【分析】分别取的中点LMN,则ABl//LM,BGzzMN,进而NLMN（或其补角）

是直线ABl与Ba所成角，然后解出.LMN的三边，进而用余弦定理即可解得.

【详解】设三棱柱棱长为2,取AB,35,B∣G,BC的中点分别为乙,M,N,P,连接LM,MN,LN,

：.ABi//LM,BG〃MN,设直线AB∣,BG所成角为a,cosα=∣cosNLMN

连接LP,PN,容易判断尸，易知：LP=I,NP=2,：.LN=dL产+N产=石,

易知：LB=BM=∖,NLBM=90°,：.LM=^LB-+BM2=√2-同理∙LM=√Σ

..ɪɪ2+2—511

在4LMN中，由余弦定理：CoSNrLMNr=-----=~~-==--,：.cosa=∣cosZLMN∣=—.

2×√j2×√j244

故答案为

/2—1,〃为奇数

15.若数列q,,%I佣*,则q+/+%+%+…+^99+400=---------

n,〃为偶数

【正确答案】5000

【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.

［详解］4+%+%+%"I-----1^%9+"∣OO=%-----。99)+(“2+“4+…+"100)，

,t,,π-τzs50(a∣+%)50(0+98)C

由已知可得4+%-l----1-^99=-------2-------=-------2------=2450,

a2+a4+---+ai00=5。(％尸00)=50(2700)=255θ^所以原式=2450+2550=5(X)().

故答案为5000.

本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.

尤2V2

16.过双曲线「：三—方=l(4>O∕>O)的左焦点6的动直线/与『的左支交于A、B两点，设「

的右焦点为F2.若存在直线/,使得AF2LBF2,则Γ的离心率的取值范围是.

【正确答案】(6」+&］

+%；

【分析】由题可设/为％=〃)一。，A(x,,y),B(A2,%),联立/与双曲线的方程可得My?、X

根据Ag_LB居得KA∙=0,将Xy2、X+%代入可得关于m的表达式,根据m范围和yly2<O

可求离心率范围.

【详解】依题意知直线/的斜率不为0,设/的方程为x=2Y-c,

x=∕ny-c

222224

联立《炉y2,消去X,(⅛w-a)y-2bcmy+b=0,

b-F=1

9h2rmh4

设A(χ∣,y),B(Λ⅛,%),则由△>()知,y1+y2=τn一,必=丁三一F'

b'm~-a^b^m-a^

由Ag写得EA•g8=0,

故(％-C)(W-C)+%%=°，即(/孙-2c)W%-2c)+χy2=0,

2

整理得("P+1)y∣-2c∕n(yl+y2)+4c=0,

将)'1>2、X+%代入整理得,(加2+1)"-4w202/^+402^24-/)=0,

则(n?+1)//=4α>2,.∙./+1=4；：N],故44,2Z(c2_q2)2,

c4+a4-6a2c2≤0-两边除以03^/-6e2+l≤0,)W⅛3-2√2<e2≤3+2√2，

XVe>l,.∙.l<e2≤(l+√2p故l<e≤l+√∑,

又A、B在左支且/过片，.∙.χ%<O,即"~7<0,故布<、，

b^m--a~b~

...机2+1=lʃr<.+1,4鸟2<a2b2+/=〃(/*对=bιc2,

BP4a2<b2=c2-a2>JS1J5a2<c2>故e'S，即e>J?,

综上：√5<e≤l+√2.BPe∈(75,l+72].

故答案为.(√5,l+√2]

本题的关键在于根据直线/方程X=中Y-C里面〃?的范围，得到关于“、b、C的不等式，从而求得离

心率的范围.

四、解答题

17.ABC内角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知石“cosC=CSinA，b-C-1.

(1)若。=4,求_ABC的周长；

(2)若COSB=L,求ABC的面积.

7

【正确答案】(1)18(2)10√3

【分析】(1)由正弦定理边化角可求出C,结合余弦定理c?=a?+〃—CoSC,由b-c=l代换》，

求得c,b,进而得解;

hcr÷1C

(2)由正弦定理二一=-一,b=c+l代换得二一=-一,求出sinB,可解得b,c,由正弦

sinBsinCsinBsinC

面积公式S2BCCSinA=gz?CSin(3+C)即可求解.

【小问1详解】

因为GaCOSC=CSinA，所以GSinACOSC=SinCSinA.

又SinAWO,所以SinC=geosC，即tan。=G.又O<Cv兀，所以C=§.

c2=∕+∕-"=i6+(c+ι)2-4(c+ι)=c2-2c+13,

1315

解得c=],则人=万.故JIBC的周长COBC=Q+H+C=18;

【小问2详解】

因为CoSB=L,所以sin8=±叵

77

c+1_c

由一--=—--,i>=c+l,得4ΛQ∖∣3，解得c=7,b=8.

sinBsinC————

1I

ɪbesinA=^⅛csin(β+C)=28×=10百.

故一ABC的面积SAABC—+—×

227

18.等比数列｛%｝中,4=2,且。2,4+%，。4成等差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）若数列功Iog2fl,l+l-Iog2fl/求数列也｝前〃项的和却

【正确答案】（1）4=2"

⑵TLT

【分析】（1）设出公比，得到。2+4=2（卬+%），求出公比，得到通项公式;

,111

（2）在第一问的基础上，得到a=-~Z=------三，裂项相消法求和.

zn/1+1

【小问1详解】

设等比数列｛4｝的公比为q.

因为4=2,且。2,6+%，。4已成等差数列，

所以O2+“4=2卜4+«3）,

因为4+%=4+44?=q(ι+q2)wθ,所以'£+：，=2，即q=2,

n

所以数列｛。“｝的通项公式为al,=2×2-'=2".

【小问2详解】

由(1)得数列｛4｝的通项公式为%=2",

,1111

所以数列b,,="；-----------；-------=Z.X=----T

Iog20,,+1-Iog2∕ι(∏+l)nn+↑

所以数列｛〃｝前〃项的和（=11-3）+[3-；）+2+[：-/7）=1-/7-

π

19.如图，在多面体ABa>E中，平面ABCz)J,平面Λ5E,AD±AB,ADHBC,NBAE=—,

2

AB=AD=AE-2BC=2,尸是AE的中点.

(1)证明：BF〃平面CDE；

(2)求点尸到平面CDE的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取OE中点G,结合三角形中位线性质可证得四边形BCGF为平行四边形，从而得到

BFHCG,由线面平行的判定可证得结论；

(2)根据面面垂直性质可得ADj"平面ABE,以A为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点到面距

离向量求法可求得结果.

【小问1详解】

取。E中点G,连接RG,CG,

",G分别为SDE中点，“G//A。，FG=-AD,

又ADHBC,BC=-AD,.-.BCHFG,BC=FG,

2

四边形BCGb为平行四边形，.∙.3F7/CG,

又BFz平面COE,CGU平面CDE,.∙.8/7/平面CDE

【小问2详解】

平面ABeD工平面A3E,平面ABCZ)C平面ABE=AB，ADJ.AB，4)U平面ABC£),

π

.∙.AT),平面A3E,又NBAE=一,

2

则以A为坐标原点，AB,AE,Afj正方向为MV*轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则F(0,1,0),C(2,0,l),O(0,0,2),£(0,2,0),

.∙.CD=(-2,0,1),D£=(0,2,-2),FE=(0,1,0),

设平面CDE的法向量"=(x,y,z),

CD`n=-2x+z=O

则令X=1,解得：y=2Z=2、.*."=(1,2,2),

DE∙n=2y-2z=O

∖b'E-n2

•・•点尸到平面CDE的距离d

H3

20.已知。为坐标原点，抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为凡P是C上在第一象限内的一点，PF

与X轴垂直，|0"=3石.

(1)求C的方程；

(2)经过点F的直线/与C交于异于点P的A,B两点，若RW的面积为186，求/的方程.

【正确答案】(1)r=12x

(2)y=&x-3后或y=-λ∕Σx+3>∕Σ.

【分析】(1)根据抛物线方程以及P的位置关系，由IOH=3店即可计算抛物线方程；(2)由题意

可知直线/的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长公式并根据.A43的面

积为186即可求得直线的斜率，得到直线方程.

【小问1详解】

由题可知，点P的坐标为

因为IoH=3石，所以+p2=45,解得P=6或P=—6(舍去)，

故C的方程为V=12x.

【小问2详解】

由题可知，P(3,6),所以直线/的斜率一定存在，

可设/的方程为V=左(*一3),A(%,y),B^x2,y2).

y=k(x-3)

联立方程组12二，

Iy=⑵

整理得女2%2_(6%2+12卜+9攵2=0,

则xl+x2=6k,X1X2=9.

所以，Q46的面积S3，(X]+/F-4中2=3^^=18W)，

=^∣PF∣∣ΛI-Λ2∣=

2

解得公=2或公=一§(舍去)，

故/的方程为y=y∕2x—3∖∣2或y=-Ox+3JΣ.

21.如图1,在直角三角形ABC中，NC为直角,NA=30°,。在AC上，且OA=OC=6,作

DEJ.AB",将VAQE沿直线DE折起到E所处的位置，连接PB,PC,如图2.

(2)若二面角P—DE-A为锐角，且二面角P—8C—E的正切值为渲，求PB的长.

9

【正确答案】(1)证明见解析

⑵√∏

【分析】(1)由题意知BElZ)E，由面面垂直的性质定理可得BE_L平面PDF，进而可得BE，PZ)；

(2)作尸所在的直线于点”,由题意可得知OEJ所以即，平面PEB，即可

得平面PBE_L平面BCOE,作HG_LBC于点G,连接PG，进而可得NPG”为二面角

P-BC-E的平面角，设APGH=θ,则tan。=里=巫,设CG=XlOVX,则

GH9

4"=2%〃£=3-2苍〃8=4-2》，进而可得华三鱼=娅，解得光=',再由/>8=7^^7京，

2√3(2-x)92、

计算即可得答案.

【小问1详解】

证明：由题意知E，

又平面PDE1.平面BCDE,平面PDE、平面BCDE=£>£8EU平面BCDE，

所以_L平面尸DE∙

又PDU平面PDE，

所以BE-LPD；

【小问2详解】

解：由题意知OELBE,OELPE,

PECEB=E,PEU平面PEB,EBU平面PEB,

因而EoJ_平面PEB，

又EDU平面BCDE,因而平面PBE_L平面5QDE.

如图，作尸〃J.所在的直线于点，，

又平面PBEC平面BCDE=BE,PHU平面PBE,所以PHL平面BCDE.

作“GLBC于点G,连接PG,

则NPGH为二面角P-BC-E的平面角，

设ΛPGH=Θ,则tan，=也，

9

在.ABC中，∠ɪC=90°,ZA=30∖L>A=DC=√3,

3

所以AB=4,BC=2,AE=二，

2

设CG=X(O<x<q),贝IjA'=2x,"E=g-2x,∕ffi=4-2x,

因而尸”=J∖一(∣-2x)=y∣6x-4xi,HG=曰HB=6Q-x),

在直角三角形的中，tad器=手即密与，

解得X=L或X=3(舍去)，此时尸H=虚,H8=3,

211

从而PB=-JPH2+HB2=√π.

2222

22.已知椭圆C：*+我=i(α>∕,>0)的长轴为双曲线会―3=1的实轴，且椭圆C过点

P(2,l)∙

(1)求椭圆C的标准方程:

(2)设点A,B是椭圆。上异于点尸的两个不同的点，直线Q4与PB的斜率均存在，分别记为占，

k2,若Z*2=