2022-2023学年广西南宁市九年级（上）第三次段考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市九年级第一学期第三次段考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列银行标志是中心对称图形的是（)

A©D.春

2.下列函数中，y是亢反比例函数的是（

A.y=xB.y="C.y=3x+\D.y=/+2x

X

3.若x=l是方程N-3x+2a=0的一个根，则（)

A.a=-1B.a=-2C.a=1D.a=2

4.已知:。。的半径为2,04=3,则正确的图形可能为()

%

5.下列事件是必然事件的是（）

A.某人体温是100℃

B.三角形的内角和等于180度

C.购买一张彩票中奖

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

6.将抛物线y=（x-1>+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）

A.y=(x-1)2B.y=(x-2)2+6C.y=x2D.y=N+6

7.圆锥的底面半径为2c,〃?，母线长为3ca,则该圆锥的侧面积为（）c,〃.

A.2遥nB.67TC.9nD.12ii

8.如图，A8是。。的直径，若4C=4,ZD=60°,则8c长等于（)

AB

9.已知反比例函数丁=-反，下列结论中不正确的是（）

x

A.函数图象经过点（-2,4）

B.函数图象分别位于第二、四象限

C.y随x的增大而增大

D.若x<-4,则0<y<2

10.某厂今年一月的总产量为720吨，三月的总产量为500吨，平均每月下降率是x,列方

程得（）

A.500（1-2x）=720B.500（1-x）2=720

C.720（1-x）2=500D.720（1-x2）=500

11.如图，点A是反比例函数y=K的图象上的一点，过点A作轴，垂足为艮点C

X

为y轴上的一点，连接AC,BC,若AABC的面积为4,则女的值是（）

A.4B.-4C.8D.-8

12.已知二次函数y=-/+/+6及一次函数y=x+m,将该二次函数在工轴上方的图象沿x

轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线

与这个新图象有四个交点时，机的取值范围是（）

A.-7<m<-3B.-7<m<-2C.-6<m<-3D.-6<m<-2

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

13.已知反比例函数y上的图象经过点尸（-1,2）,则％=.

x

14.二次函数y=N-2r+3的图象的对称轴为直线.

15.在数学实践课上，同学们进行投针试验：在平面上有一组平行线，相邻两条平行线间的

距离都为5a〃，将一根长度为3c机的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交,

也可能与任一直线都不相交，如表记录了他们的试验数据.

试验次数〃5010020050010002000

相交频数m234883207404802

相交频率&0.4600.4800.4150.4140.4040.401

n

若进行一次投针试验，估计针与直线相交的概率是（结果保留小数点后一

位）.

16.关于x的一元二次方程分2+4X-2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围

为.

17.如图，把绕点4逆时针旋转44。，得到Rt/VLB'C',点C'恰好落在边

AB上，连接88,，则NBB'C=.

18.如图，点。在半圆。上，半径08=5/五，AD=IQ,点C在弧8。上移动，连接4C,

”是AC上一点，NO，C=90°,连接8H,点C在移动的过程中,B”的最小值是

D

三、填空题(本大题共8小题，共72分)

19.计算：(-2)2x5+16+2+■产

20.解方程：x(x-3)+x—3.

21.如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点坐标为A(1,-4),B(3,-3),

C(1,-1).

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△4BiCi；

(2)将AABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A282C；

(3)请求出在(2)中点B经过的路径长(结果保留n).

22.阅读理解：

画图可知道，一次函数y=x-1的图象可由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长

度得到；类似函数y七■的图象可以由反比例函数yf■的图象向左平移2个单位长度得

至九

(1)反比例函数y」的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式

x

是.

解决问题：

如图，已知反比例函数的图象与直线y=or(4W0)相交于点4(2,3)和点8.

X

(2)求点B的坐标.

（3）若将反比例函数y4的图象向右平移〃（〃为整数，且〃>0）个单位长度后，经过

点M（7,高），求〃的值及反比例函数y更平移后的图象对应的解析式・

2x

23.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组

织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,

得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60«70170.17

B70«8030a

C80«90h0.45

D90^x<10080.08

请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中a=,b=；

（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同

学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、

乙两名同学都被选中的概率.

24.受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降.借此机会，为了贯彻

“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月

的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，

工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设2022年1月为第1个月，第x(x为正整

数)个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：

(1)分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式，并写出

自变量范围；

(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？

(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有

25.如图，△ABC内接于。0,AB为直径，点Z)为半径OA上一点，过点。作的垂线

交4c于点E,交8c的延长线于点P,点尸在线段PE上，且

(1)求证：CF是。。的切线：

(2)连接AP与。。相交于点G,若求证：AB=BP；

(3)在(2)的条件下，若AC=4,BC=3,求CF的长.

26.如图，二次函数>=/+法+。的图象交x轴于点A(-3,0),B(1,0),交y轴于点

C.点P(m,0)是x轴上的一动点，轴，交直线AC于点例，交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)①若点尸仅在线段AO上运动，如图，求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点。，使以M,N,C,。为顶点的四边形

为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列银行标志是中心对称图形的是（）

AB魅C0D高

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

2.下列函数中，y是x反比例函数的是（）

5

A.y—xB.y=—C.y=3x+lD.y—x2+2x

【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如y上（k是常数，女—0）的函数叫做反

X

比例函数，即可判断.

解：4、y=x,），是X的正比例函数，故不符合题意；

B、y=-1,y是x的反比例函数，故符合题意；

C、y=3x+l,y是x的一次函数，故不符合题意；

D、丫=炉+法，y是x的二次函数，故不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.

3.若x=l是方程9-3x+2a=0的•一个根，则（）

A.a=-1B.a=-2C.a=1D.a=2

【分析】把X=1代入方程x2-3x+2a=0得到关于。的一元一次方程，然后解一元一次方

程即可.

解：把x=l代入方程3x+2a=o得12-3X1+2。=。，

解得a—\.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

4.已知：。。的半径为2,。4=3,则正确的图形可能为（）

【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可.

解：的半径为2,0A=3,

.•.点A在圆外，

V2<3<4,

故选：C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离

和圆的半径的大小关系，难度不大.

5.下列事件是必然事件的是（）

A.某人体温是100℃

B.三角形的内角和等于180度

C.购买一张彩票中奖

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

解：4、某人体温是100℃,是不可能事件；

B、三角形的内角和等于180度，是必然事件；

C、购买一张彩票中奖，是随机事件；

。、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

6.将抛物线y=(x-1>+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是()

A.y—(x-1)2B.y—(x-2)2+6C.y—x2D.y—x2+6

【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题.

解：•••向左平移1个单位，再向下平移3个单位，

；.)，=(x-1+1)2+3-3.故得到的抛物线的函数关系式为：尸/.

故选：C.

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并

用规律求函数解析式.

7.圆锥的底面半径为2c•〃?，母线长为3c7〃，则该圆锥的侧面积为()cm2.

A.2\[^弋B.6nC.9nD.127T

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2.

解：底面半径是20",则底面周长=4nc〃?，圆锥的侧面积=/x4irX3=6TtC7n2.

故选：B.

【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.

8.如图，AB是OO的直径，若AC=4,ZD=60°,则BC长等于()

B.10C.2百D.4如

【分析】由”是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得NAC2=90。，

又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得/A的度数，继而求得NABC

=30°,则可求得AB的长，再根据勾股定理即可求解.

解：是。。的直径，

AZACB=90°,

VZD=60°,NA=NO,

AZA=60°,

AZABC=900-ZA=300,

VAC=4,

・・・A8=2AC=8,

22

•*-BC2-VAB-AC=V82-42=4V3,

故选：D.

【点评】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，熟记圆周角定理是解

题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

9.已知反比例函数>=-@,下列结论中不正确的是（）

x

A.函数图象经过点（-2,4）

B.函数图象分别位于第二、四象限

C.y随x的增大而增大

D.若x<-4,贝lj0<y<2

【分析】根据反比例函数的性质：当上<0,双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每

一象限内y随x的增大而增大进行分析即可

解：A选项，将（-2,4）直接代入，成立.

B选项，根据反比例函数性质成立.

C选项，上=-8<0,每个象限内，y随x的增大而增大，应该是增函数，但没有指明在

单独的象限，因此说法不正确.

。选项将x=-4代入，y=2,再从图象上观察，成立.

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图象与性质，难度不大.对于反比例函数（AW0）,

当人>0,反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当上<0,

反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，y随x的增大而增大.

10.某厂今年一月的总产量为720吨，三月的总产量为500吨，平均每月下降率是x,列方

程得（）

A.500(I-2x)=720B.500(1-x)2=720

C.720(1-x)2=500D.720(1-/)=500

【分析】根据该厂今年一月及三月的总产量，即可得出关于尤的一元二次方程，此题得

解.

解：依题意得：720(1-jc)2=500.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

11.如图，点A是反比例函数y=K的图象上的一点，过点A作ABLx轴，垂足为B.点C

X

为y轴上的一点，连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则攵的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【分析】连接。4如图，利用三角形面积公式得到See=S△板=4,再根据反比例函

数的比例系数k的几何意义得到■因=4,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.

解：连接04,如图，

・・・AB_Lx轴，

・•・OC//AB,

==

••S/\OABS^ABC49

=

而S^OAB—\k\9

・••和=4,

•・・&V0,

:.k=-8.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数上的几何意义：在反比例函数产区图象中任

X

取一点，过这一个点向X轴和），轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|乩

12.已知二次函数尸-N+x+6及一次函数y=x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x

轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=x+，w

与这个新图象有四个交点时，机的取值范围是（）

A.-7</n<-3B.-l<m<-2C.-6<m<-3D.-6<in<-2

【分析】先求得y=-x2+x+6与x轴的交点，结合图象得右边交点的坐标，代入直线解析

式求得机的值，当-2VxV3时，对应的新函数解析式为y=9-x-6,与直线只有I个

交点时，求得加的值，然后结合图象即可求解.

解：如右图所示，

将y=0代入二次函数y=-N+x+6,可得冗i=3,xi=-2,

当直线与这个新图象有四个交点时，

将犬=3,y=0代入直线y=x+得0=3+加，

解得m--3,

当-2VxV3时，对应的新函数解析式为y=N-x-6,

贝！］x2-x-6=x+m可彳七为x2-2x-6-m=0,

当/-2x-6-〃2=0有两个相等的实数根时，△=(-2)2-4XlX(-6-7/7)=4.+28

=0,

解得m=-7,

故当-7<m<-3时、直线y=x+m与这个新图象有四个交点，

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称的性质，一次函数的平移，数形结合

是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

13.已知反比例函数y=K的图象经过点P（-1,2）,则2-2.

X

【分析】将点P（-1,2）直接代入y上，待定系数法求解析式即可求解.

X

解：依题意，k=-IX2=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是待定系数法求出解析式.

14.二次函数y=x2-Zr+3的图象的对称轴为直线x=\.

【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴.

解：•.•二次函数y=N-2X+3=（x-1）2+2,

.•.该函数的对称轴是直线x=l,

故答案为：x=l.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

解答.

15.在数学实践课上，同学们进行投针试验：在平面上有一组平行线，相邻两条平行线间的

距离都为5a“，将一根长度为3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交,

也可能与任一直线都不相交，如表记录了他们的试验数据.

试验次数n5010020050010002000

相交频数m234883207404802

相交频率四0.4600.4800.4150.4140.4040.401

n

若进行一次投针试验，估计针与直线相交的概率是0.4（结果保留小数点后一位）.

【分析】根据频率和概率的关系即可解答.

解：在大量的重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是04

故答案为：04

【点评】本题主要考查了频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解答

本题的关键.

16.关于x的一元二次方程ax2+4x-2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为a>

-2且aWO.

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到aWO且A=42-4XaX(-2)

>0,然后求出两不等式的公共部分即可.

解：根据题意得“W0且△=42-4X。*(-2)>0,

解得a>-2且a#0.

故答案为a>-2且aWO.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)的根与△=b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

17.如图，把RtZ\ABC绕点A逆时针旋转44。，得到RtZVLB'C',点C'恰好落在边

【分析】根据旋转的性质可得A8=AB',ABAB'=44°,然后根据等腰三角形两底角

相等求出NAB*,再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

解：:RtZVlBC绕点A逆时针旋转40°得至URtZVlB'C,

：.AB=AB',NBAB'=44",

在△A68'中，AABB'=—(180°-NBAB')=—(180°-44°)=68°,

22

VZACB'=ZC=90°,

：.B'C'±AB,

：./BB'C=90°-NABB'=90°-68°=22°.

故答案为：22。.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较

简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题

的关键.

18.如图，点。在半圆。上，半径0B=J五，AD=10,点C在弧上移动，连接AC,

H是4c上一点，/£>HC=90°,连接BH,点C在移动的过程中，8"的最小值是8.

【分析】如图，取AO的中点M,连接8£>,HM,BM.由题意点//在以“为圆心，MD

为半径的0M上，推出当M、H、B共线时，8”的值最小.

解：如图，取4。的中点M,连接BO,HM,BM.

\'DH±AC,

：.ZAHD=90°,

...点〃在以M为圆心，为半径的。M上，

...当M、H、B共线时，出7的值最小，

是直径，

；.NADB=90°,

；•(2V61)2-102”，

•••BM=VBD2+DM2=V122+52=13，

.♦.BH的最小值为-5=8.

故答案为8.

【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，利用圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

三、填空题(本大题共8小题，共72分)

19.计算：(-2)2x5+16+2+6)

【分析】先算乘方和负整数指数’幕，再算乘除，后算加法，即可解答.

解：(-2)2乂5+16+2+6厂2

=4X5+8+4

=20+8+4

=32.

【点评】本题考查了负整数指数累，有理数的加法，乘法，除法，乘方，准确熟练地进

行计算是解题的关键.

20.解方程：x(x-3)+x=3.

【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一

元一次方程，再进一步求解即可.

解：(x-3)+x=3,

.'.x(x-3)+(x-3)—0,

则(x-3)(x+1)=0,

.,.x-3=0或x+1=0,

解得X|=3,X2=-1.

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4),8(3,-3),

C(1,-1).

(1)请画出△48C关于x轴对称的△4BiG；

(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2B2C；

(3)请求出在(2)中点B经过的路径长(结果保留7T).

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,G即可.

（2）利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,C2即可.

（3）结合（2）根据弧长公式即可求出点8经过的路径长.

解：（1）如图，△AiBG即为所求；

（2）如图，232c即为所求；

（3）点B经过的路径长=9°冗*j57T

180v

【点评】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变

换，旋转变换的性质，属于中考常考题型.

22.阅读理解：

画图可知道，一次函数y=x-1的图象可由正比例函数），=x的图象向右平移1个单位长

度得到；类似函数y—7的图象可以由反比例函数y」的图象向左平移2个单位长度得

x+2x

到.

（1）反比例函数y」的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是

解决问题：

如图，己知反比例函数yW■的图象与直线y=ox（q/0）相交于点A（2,3）和点B.

X

（2）求点B的坐标.

（3）若将反比例函数yW■的图象向右平移〃（〃为整数，且〃>0）个单位长度后，经过

X

点M（7,最），求”的值及反比例函数y更平移后的图象对应的解析式-

2x

【分析】（1）根据函数图象向右平移减，向左平移加，可得答案;

（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据联立函数解析式，可得方程组，根据解方

程组，可得8点坐标；

（3）根据函数图象向右平移减，可得平移后的函数解析式，根据待定系数法，可得〃值,

函数解析式.

解：（1）根据题意得：反比例函数y」的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是

故答案为：y=——

(2):直线y=“x(aWO)过点A(2,3),

，3=2a,解得：

2

.•.直线丫或*，

（3,

y=yxfx.=2X2=-2

联立得：，解得：

一6y.=3了2=-3‘

...点8(-2,-3)；

(3)根据题意得：将反比例函数y儿的图象向右平移〃("为整数，且〃>0)个单位长

X

度后的函数解析式为y=£一,

x-n

•••平移后的函数图象经过点M(7,-1),

解得：〃=3,

7-n2

经检验〃=3是原分式方程的解，

二平移后的解析式为yY?.

【点评】本题考查了反比例函数综合题，利用了函数图象平移的规律：数图象向右平移

减，向左平移加；解方程组得出函数图象的交点坐标，利用了待定系数法求函数解析式

是解题的关键.

23.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组

织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，

得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60«70170.17

B70«8030a

C80«90b0.45

D90«10080.08

请根据所给信息，解答以下问题：

(1)表中a=0.3,b=45；

(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同

学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、

乙两名同学都被选中的概率.

【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求

得a、b；

（2）B组的频率乘以360。即可求得答案；

（3）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；

解：（1）本次调查的总人数为17+0.17=100（人），

则4=-^-=0.3,6=100X0.45=45（人），

100

故答案为：0.3,45；

（2）360°X0.3=108",

答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；

（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,

列树形图得：

开始

•.•共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，

二甲、乙两名同学都被选中的概率为

126

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

24.受新冠肺炎疫情的影响，某化工厂从2022年1月开始产量下降.借此机会，为了贯彻

“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月

的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；从6月初开始恢复全面生产后，

工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设2022年I月为第1个月，第x（x为正整

数）个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：

（1）分别直接写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与X的函数表达式，并写出

自变量范围；

（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？

（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有

【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；

（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论;

（3）对于当y=50时，得x=2,得到x>2时，y\user2<50，对于y=10x

x

-30,当y=50时，得到x=8,于是得到结论.

解：（1）当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：y=K（k40），

X

由图可知：（1,100）在函数图象上，

・••左=100,

・-100

••y=------,

X

当x=5时，y=20

当x25时，设函数为丫="+力，

由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元，

A）1=10,

由图可知，过点（5,20）,

.*.20=5X10+/?,

：.b=-30,

・・.y=l(k-30,

综上:尸¥(<X<5)

10x-30(x>5)

(2)在函数y=10x-30中，令y=100,得10x-30=100,

解得：x=13,

答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元.

(3)在函数yUQ中，

X

当y=50时，x=2,

V100>0,y随x的增大而减小，

...当y<50时，x>2,

在函数y=10x-30中，

当y<50时，得10X-30V50

解得：x<8,

...2<xV8且x为整数；

••.X可取3,4,5,6,7；共5个月.

答：该化工厂资金紧张期共有5个月

【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关

键.

25.如图，△A8C内接于。0,A8为直径，点。为半径。4上一点，过点。作的垂线

交AC于点E,交BC的延长线于点P,点P在线段PE上，且PF=C尸.

(1)求证：C尸是。。的切线：

(2)连接AP与。0相交于点G,若/ABC=2/PAC,求证：AB=BP-,

(3)在(2)的条件下，若AC=4,8c=3,求CF的长.

【分析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得出NPCF=NCPF,NOCB=/OBC,

证出//。。=90°,得出OCLCF则可得出结论；

(2)连接BG,由圆周角定理得出NAP8=NPA8,由等腰三角形的判定可得出结论；

(3)由勾股定理求出45=5,证明△APC丝AAPO(AAS),由全等三角形的性质得出

AD=PC=2fPD=AC=4fZAPC=ZAPD9证出4E=PE,设QE=X,AE=PE=4-x,

由勾股定理得出22+N=(4-幻2,解方程求出工=»1,由直角三角形的性质可得出答案.

【解答】(1)证明：连接OC

♦：PF=FC,OC=OBf

：.ZPCF=ZCPF,NOCB=/OBC,

^PDLAB,

：.ZPDB=90°,

：.ZCPF+ZOBC=W°,

・・・NPCb+NOC8=90°,

：.ZFCO=9Q°,

:.OC±CFf

・・・C/是。。的切线.

(2)证明：连接8G,

VCG=CG-

:./PAC=/PBG,

9：ZPBA=2ZPAC,

:,NPBA=2NPBG,

TAB为。。的直径，

AZAGB=ZPGB=90°,

ZAPB=ZPABf

：.AB=BP；

(3)解：・「A8为。。的直径，

AZACB=90Q,

VAC=4,BC=3,

AAB=VAC2+BC2=V42+32=5>

：.AB=BP=5f

：.PC=2f

・.,NPDA=NPCAKO°,PA=PA,NAPB=NPAB,

：.(AAS),

：.AD=PC=2,PD=AC=4tZPAC=ZAPDf

：.AE=PE,

设。E=x,AE=PE=4-x,

在中，AD2+D£2=4E2,B|J22+x2=(4-x)2,

解得x=3，

2

5

.\EP=4-x=—f

2

T/PEC=900-NEPC,NFCE=90°-4PCF,即NPEC=NFC£

:.EF=CF=PF,