第17讲 对数（学生版）-高一数学同步讲义

第03讲对数

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课程标准课标解读

1.理解对数的概念、掌握对数的性质.

掌握指数式与对数式的互化，能进行简单

通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，

的对数运算.

熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则

2.理解对数的运算性质和换底公式，能熟

练运用对数的运算性质进行化简求值.进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合

问题.

3.能利用对数的运算性质进行解方程及与

指、器函数的综合应用问题的解决.

ST知脸井

叁'知识点01对数

1.对数的概念

（1）对数：一般地，如果优=N（a>0,且。工1）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把loggN记为IgN.

（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底的对数称为自然

对数，并把logeN记为InN.

2.对数与指数的关系

当”>0,且时，a''=N=b=log«N.即

工N*。些》To&N

ttN>0

3.对数的性质

根据对数的概念，知对数log,,N(a>0,且aH1)具有以下性质：

(1)负数和零没有对数，即N>()；

(2)I的对数等于0,即bg"=0；

(3)底数的对数等于1,即log/=l.

【微点拨】指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的基作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为基，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

4

史'知识点02对数的运算

1.基本性质

若a〉0,且aHl,N>0,则

(1)a'0s小=N；

h

(2)logoa=b.

2.对数的运算性质

如果a>0,且aHl,M>0,N〉0,那么:

(1)loga(M•N)=logaM+log.N；

M

<2)>og„—=log„M-log„7V；

n

(3)]og,aM=n\ogaM(T?GR).

3.对数的运算法则

如果。>0,且存1,M>0,N>0,那么：

①10ga(MN)=lOgaM+104W；

M

②lo&W=lo&M—lo&N；

③logJVT=(〃£R).

三、换底公式及公式的推广

1.对数的换底公式

Io。N

log%N=------（Z?>0,且〃Hl;c>0,且cH1;N>0）.

log,b

【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.

2.公式的推广

(1)log,/?=—!—(其中。>0且/?>o且；

log/,a

(2)log,,hn=log*(其中a>0且a。1；b>0)；

IT!

m

(3)logdb=—\og(lb(其中〃>0且awl；。>0)；

an

(4)logjZ?=-lognb(其中且awl；fe>0)；

(5)logah-log/?c-logt.d=logrtd(其中a,b,c•均大于0且不等于1,J>0).

【微点拨】①换底公式常利用常用对数、自然对数表示

②推导结论logv“M。=m1呜M.

a

已知log3〃=3,则a

【即学即练1】的值为（)

A.1B.6C.9D.27

【即学即练2】已知4"=2，lgx=a:,则才=（)

A.12B.710C.10D.1

【即学即练3】对于a>0,且时1,下列说法中，正确的是（）

①若M=N,则logaM=log“M

②若log〃M=logaN,则M=N；

③若logaMMogJV2,则M=N；

④若M=M则1oga“=log”M.

A.①③B.②④

C.②D.①②③④

logIx,x>3

【即学即练4】已知函数/a）={3,则〃/（8i））=（）

2\x<3

1

A.16B.-log4C.D.log4

3163

【即学即练5】已知方程8x+4=0的两根为b,则log8〃+loga=（）

A.!B.1C.2D.-

23

【即学即练61若4"=25唯10,则1+（）

ab

A.1B.2C.3D.4

【即学即练7】（多选）下列选项中错误的是（）

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

【即学即练8】下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

c」1-11

A.10。=1与31=0B.273=三与log27-=—~

乙，333

C・log39=2与琥=3D.Iog55=l与51=5

【即学即练9】有以下四个结论，其中正确的有（）

A.1g(1g10)=0B.lg(Ine)=0

C.若e=lnx,则x=°2D.In(lg1)=0

【叩学即练10］下列运算错误的是（）

A21ogj10+logj0.25=2

55

8

B.log4271og2581og95=-

C.lg2+lg50=10

D-1。&2+5(2-扬-(1唯

u能力拓展

考法01

对数的概念

解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可.对数

的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系.

【典例1】在人=1。&3启）（3-2〃）中，实数。的取值范围为.

【即学即练11】在对数式log（x-D（3-x）中，实数x的取值范围应该是（）

A.\<x<3B.且冲2

C.x>3D.14<3且冲：2

考法02

对数运算性质的应用

对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则

是：

（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；

（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；

（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）.运算时要灵活运用对数的相关公式求解，

如log"a=l（fl>0,且a丰1）,log„h-log,,a=1等.

【典例2】I.化简下列各式：

（1）（lg；-lg25）+10（）F

（2）log225-log,4-log,9

（3）&+怆0^

7

【即学即练12】计算：（1）log535-21og5-+log57-log51.8；

（2）log,+log212-log,42-1.

【即学即练13】计算：⑴log夜+6（6—亚）一2喻:（2）（Ig5）2+Ig2xlg5+Ig2.

【即学即练14】计算：—k-g-kg8

X10g'6T4~'~^____.

考法03

换底公式的应用

换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟

换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

【典例3】已知（3）=；,log74=8,试用。,人表示k）g4948.

【即学即练15】已知log95=a,3"=7,试用学6表示唾2135

考法04

对数方程的求解及对数不等式的求解

解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式

的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解.

【典例4】求下列各式中的x的值：

（1）log,（x2-2）=0；

（2）心①T）（3V+2XT）=1.

【即学即练16］方程1。82（9口—5）=1082（3a—2）+2的解为______.

3

【即学即练17］若log京1（〃>0且存1）,则实数。的取值范围是.

【即学即练18】已知对噫*）］=0,则x的值为一.

考法05

易错——忽略真数大于0

X

【典例5】己知lgx+lgy=21g（2x-3y）,求logs一的值.

2y

fii分层提分

题组A基础过关练

4

1.若2*=6，Iog4§=y，贝I]x+2y的值是()

A.3B.|C.log,3D.-3

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2',则〃1/827)的值为()

A.—B.-C.—3D.3

33

3.方程4'-2”|-3=0的解是（）.

A.log?2B.1C.log?3D.2

4.已知b>0/og5b=a,lgb=c,5"=10,则下列等式一定成立的是）

A.d=acB.a=cdC.c-abD.d.=a+c

5.已知函数小）=怦:则/（/⑶的值为（，

A.gB.-C.3D.5

22

6.在N=log（5—〃）S—2）中，实数〃的取值范围是（）

A.b<2或b>5B.2<b<5

C.4</?<5D.2Vx5且厚4

2

7.3*4—27^一】g0.01+Ine?等于（）

A.14B.0

C.ID.6

8.对于a>0且awl,下列说法正确的是()

①若M=N,则bg“M=log”N；

②若log“M=log“N,则知=2；

③若log.M'log.V,则A/=N；

④若M=N,贝IJlogaM?=log“N2.

A.①②B.②③④

C.②D.②③

9.(,+g]g2+lg6的值是()

57-97

A.-B.一C.一D.一

6223

10.已知ln2=a,ln3=b,则ln（36e’）可以用。和匕表示为（)

A.ci+2Z?—3B.4a+2b+2

C.2a+2Z?+3D.2Q+3b+3

U」og@D（3-2&）等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

12.正实数。，b,c均不等于1,若log；：+log；,=5,log#k）g/=3,则log；的值为（）

A.1B—5-5

C.-D."

5543

题组B能力提升练

1^alog34=2,则4「=()

1B.11

A.—c.D.

16986

21

2.设x、yeR,a>l,b>\,若〃，="=2,a1+b=4>则一+一的最大值为().

xy

A.1B.2C.3D.4

3.已知函f(x)=log2(Jl+4x2+2x)+3,且/(，")=一5,则/(-%)=()

A.-1B.-5C.11D.13

则a+〃+c+L+,+1=()

4.已知实数。，b,c满足。4"==2,0.2"=5,OS=0.4,

abc

A.2B.1C.-2D.-1

x

5.已知21g(x—2y)=lgx+lgy,则一的值为（）

y

A.0B.1C.0或1D.-1或1

6.已知函数/(x)=a?+$+4(a,北R),/0g(log21O))=5,则f(lg(lg2))=()

A.3B.一1C.—5D.4

7.（多选题）若10。=4,10^=25,则（）

A.a+b=2B.h-a=\C.ah>Slg22D.b-a<lg6

8.（多选题）设。=log,6,Z>=log31,则下列结论正确的有（）

6

ell,

A.a+b<0B.——=1

ab

-111

C.ab<0D./+屏>5

9.（多选题）己知"，b均为正实数，若bg“6+log/=:，ah=b\则?=（

）

2b

A"B.变C.V2D.2

22

10.已知函数於）=""3’则负2+k）g32）的值为.

/（x+l）,x<3,

11.若函数〃》）=1。82（4'+。）-》为偶函数，则"=.

12.方程8x2'=3A"的解为.

1