2023-2024学年江西省高一年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省高一上册期末考试数学试题

一、单选题

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},A={1,2,4,6},8={4,5},则&A)B=()

A.{4}B.{5}C.{3,5}D.{3,4,5}

【正确答案】D

由电,4={3,5},代入（七A）uB计算即可得解.

【详解】由Q,A={3,5},可得@A)I8={3,4,5},

故选：D.

本题考查了集合的运算，考查了补集和并集的计算，属于基础题.

2.若则下列不等式一定成立的是（）

A.—>—B.——<—C.x2+y2>2x-4y-5

x2+\2x2+\2丿'

D.x2+y2<2x-4y-5

【正确答案】C

作差法分别比较士与J、9+、2与2犬-”-5的大小.

/+12J

2

x丄-X2+2X-1一(1)Y]

【详解】"<0,••・"汚’故A、B错;

22(X2+1)2(/+1

x2+y2-(2x-4y-5)=(x-l)2+(y+2)2>0,

x2+y2>2x-4）,-5.

故选：C

本题考查作差法比较数或式的大小，属于基础题.

3.已知命题“hwR,使得£+（〃—l）x+l<0"是真命题，则。的取值范围是（）

A.（YO,-1）B.（—1,3）

C.（3,+oo）D.（-oo,-l）<J（3,+oo）

【正确答案】D

【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题“3xeR,使得

是真命题，则相应的二次方程有不等的实根，利用判别式即可求解.

【详解】因为命题“3veR,使得V+S-Dx+lvO”是真命题，

所以方程幺+(。—l)x+l=0有两个不等的实数根，所以△=(a-l)2-4>0,

解得："-1或々>3,

故选.D

4.命题“Dx£[0,+oo),x2+的否定是()

A.叫G[0,+OO),AJ-X0+^->0

B.3^0£[0,+<x))，莅—+—<0

C.Vx0£(-oo,0),尤2-x+—>0

2

D.Vx0G[0,+OO),X-x+-^-<0

【正确答案】B

根据全称命题的否定为特称命题即可解答.

【详解】解：命题为全称命题，则全称命题“Vxe[0,+8),犬-x+；2o，，的否定是现目0,-8),

4f+；<0

故选：B.

本题主要考查含有量词的命题的否定，含有量词命题的否定：结论否定，量词相应改变，属

于基础题.

5.某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系

列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是

2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是()

2020年收入构成比例2022年收入构成比例

A.2022年甲系列产品收入比2020年的多

B.2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多

C.2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的;

D.2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍

【正确答案】C

【分析】利用已知条件可分别得出2022年和2020年5种系列产品所占总收入的比例，结合

该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，逐一检验选项，得出答案.

【详解】对于A,2022年甲系列产品收入占了总收入的2()%,2020年甲系列产品收入占了

总收入的30%,而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年甲系列

产品收入比2020年的多，正确；

对于B,2022年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%,该企业2022年5种系列产品

年总收入是2020年的2倍，故2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还

多，正确；

对于C,2022年丁系列产品收入占了总收入的5%,2020年丁系列产品收入占了总收入的

20%,而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年丁系列产品收入

是2020年丁系列产品收入的错误；

对于D,2022年戊系列产品收入占了总收入的20%,2020年戊系列产品收入占了总收入的

20%,而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年戊系列产品收入

是2020年戊系列产品收入的2倍，正确；

故选：C

6.用二分法求方程log.》-4=0近似解时，所取的第一个区间可以是()

3x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【正确答案】B

【分析】/(x)=log8x-^-,判断函数得单调性，在求出区间的端点的函数值，再根据零点

的存在性定理即可得出答案.

【详解】解：令〃X)=10g8X-f,

因为函数、=1088%丫=-(在(0,+00)上都是增函数，

所以函数=在(0,转)上是增函数，

/(1)=-1<0J⑵=1八2-J=J=J>0，

30300

所以函数“力=1唱》-3；在区间(1，2)上有唯一零点，

所以用二分法求方程log*x-J=0近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2).

3x

故选：B.

7.设正数x,y满足x+4y=40，则Igx+lgy的最大值是

A.40B.10C.4D.2

【正确答案】D

【详解】x>(),y>(),x+4y=40;/.40>2Mxy=孙0100；所以

lg%+lgy=lg孙Wlgl00=2故选D

9

8.函数〃x)=x+i-a+a(awR)在区间[1,9]上的最大值为10,则实数”的最大值为()

A.6B.8C.9D.10

【正确答案】B

0

【分析】令f=x+Lxe[l,9],则f€[6,10],问题转化为y=|f—«|+a在fe[6,10]上的最大

X

值为10,对a分四种情况讨论求出最大值即可得解.

【详解】令f=x+=9,9xe"9],则函数f=x+2在[1,3)上单调递减，在[3,9]上单调递增，

XX

所以当x=3时，3=6,当x=9时，*x=10，

所以re[6,10],所以y=|f-a|+a在re[6,10]上的最大值为10,

①当aNIO时，y=|f-a|+a=a—r+a=2a—f,所以=2n-6=1。，：.a=8,舍去；

②当a46时，y=\t-a\+a=t-a+a=t<\0,此时命题成立；

③当6<a<8时，y1rax=|10-a|+a=10,此时命题成立;

④当84。<10时，y,m=\6-a\+a=a-6+a=2a-6,所以2。-6=10,解得a=8,此时

命题成立；

综上所述：实数”的取值范围是a48,

即实数〃的最大值为8,

故选：B.

本题考查了对勾函数的单调性，考查了转化化归思想，考查了分类讨论思想，考查了由函数

的最大值求参数的取值范围，属于中档题.

二、多选题

9.一元二次方程公2+2》+1=0（存0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）

A.4<0B.a>0C.a<—1D.a--\

【正确答案】CD

【分析】先根据一元二次方程以2+法+1=0（存0）有一个正根和一个负根，求得”0,然后

结合选项与充分不必要条件的概念即可求出结果.

【详解】因为一元二次方程ax2+2x+1=0（。邦）有一个正根和一个负根，

所以<厶=22-4">0,解得“<0,

-<0

.a

结合选项与充分不必要条件的概念可知选CD,

故选：CD.

10.小张一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确

的是（）

B.日常开支比食品中的其他开支多150元

D.肉类开支占总开支的;

C.娱乐开支比通信开支多50元

【正确答案】ABC

【分析】根据图表信息一一分析可得;

【详解】解：由食品开支图，可知食品开支有30+40+100+80+50=300元，所以一星期的

总开支300+30%=1000元，其中储蓄金额为1000x30%=300元，故A正确；

日常开支为1000x20%=200元，故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B正确;

娱乐开支比通信开支多1000x(10%-5%)=50元，故C正确;

肉类开支占总开支的100+1000=，，故D错误；

故选：ABC

11.已知函数f(2x)=4x2+l(xe[-2,2]),下列说法正确的是()

A./(1)=5

B./(x)=x2+\

C.〃x)的定义域为[-1,1]

D./。-1)的图像关于x=l对称

【正确答案】BD

【分析】先求解函数/(x)的表达式及定义域，根据函数/(*)的性质判断各项正误.

【详解】解：因为/(2*)=4四+1([€[-2,2]),所以=/+1,故B项正确；

/(1)=1+1=2,故A项错误；

因为xe[-2,2],所以2xe[Y,4],故f(x)的定义域为[-4,4],故C项错误；

因为/（x）=w+l,所以/（x）为偶函数，则/（X-1）的图像关于X=1对称，故D项正确.

故选：BD.

12.己知函数/（x）=][ogJ；>]，若玉<七，且/（%）=/（々）=/（七）=/（々），

则下列结论正确的是（）

A.x{+x2=-4B.x3-x4=1C.1<x4<4D.0<%工2工3工444

【正确答案】AB

【分析】作出函数/（x）的图象，设/（斗）=/（毛）=/（&）=/（玉）=L则直线y=f与函数

y=/（x）的图象4个交点横坐标分别为不々，三，匕，可得出o<r<4,再结合对称性与对数

运算即可得正确选项.

设/（石）=/（8）=〃玉）=/（“4）=，,则0<f<4,

则直线y=♦与函数y=f（x）的图象4个交点横坐标分别为占,々，w，甚,

对于A：函数y=-/-4x的图象关于直线x=-2对称，则为+々=-4,故A正确;

对于B：由图象可知卩082天|=卩。82%|，且。＜覆＜1＜々，

-Iog2x3=log2x4,即log2(A/4)=0,所以X3X4T，故B正确;

当x40时，/(x)=-x2-4%=-(%+2)2+4＜4,

由图象可知logzWe（0，4）,贝1]1<彳4<16,故C错误;

由图象可知-4<眞<-2,

所以凡赴马七=%・(-4-玉)=一片一4%=-(玉+2)2+4e(0,4),故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13.已知幕函数〃x)满足"4)=2,则〃16)=.

【正确答案】4

【分析】先求得〃x)的解析式，然后求得”16).

【详解】设/(x)=x〃，

111

则〃4)=4"=22"=2=a=5，〃x)=x2="16)=162=4.

故答案为.4

14.已知函数,、，则"AD)=.

【正确答案】0

【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.

【详解】由题意，/(I)=21=2,.•./(/(1))=/(2)=1g1=0.

故。

log(x24-lkx>l

15.已知函数/(工)=八4),若/(l)=a,则/(。)=______.

4-x,x<1

7

【正确答案】y

【分析】通过/(1)=。求出。，代入解析式求得结果.

【详解】因为a=f(l)=log"=g

所以/(a)=吗)=4_g=g

本题正确结果：;7

本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.

2

16.已知函数/(x)=x+l,g(x)=-,用加(x)表示〃x),g(x)中的较小者，记为

〃?(x)=min{/(x),g(x)},则机(x)的值域是.

【正确答案】(3,—l]u(O,2]

【分析】令/(x)=g(x)可求得临界点，结合〃x),g(x)的图像可确定，"(x)的图像，由此可

得结果.

2

【详解】令〃x)=g(x),即x+l=W,解得：x=—2或x=l,

X

则”x),g(x)图像如下图所示,

由图像可知：加(X)的值域为(0,一1]口((),2].

故答案为.(—,一1]口(。,2]

四、解答题

17.已知la>0,记关于X的不等式(X—a)(x+l)<o的解集为尸，不等式卜-1|41的解集为。.

(1)若。=3，求集合P；

(2)若QgP,求。的取值范围.

【正确答案】⑴{x|-l<x<3};(2)(2,+00).

(1)直接解不等式得解；

(2)先化简集合P,Q,再根据。=卩，得到关于。的不等式得解.

【详解】⑴由(x-3)(x+l)<0,得P={x|—l<x<3}；

(2)0={x||x-l|<l}={x|O<x<2}.

由a>0,得P={x|-l<x<a},

又QuP,

所以a>2,

即。的取值范围是(2,+8).

18.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率

分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100).

(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请

估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.

【正确答案】(1)x=0.0125(2)72名⑶33.6分钟.

【分析】(1)利用概率和为1列方程即可得解.

(2)计算出新生上学时间不少于1小时的频率为0.12,问题得解.

(3)直接利用均值计算公式求解即可.

【详解】解：(1)由直方图可得：20xx+0.025x20+0.0065x20+0.003x20x2=l,解得

x=0.0125.

(2)新生上学时间不少于1小时的频率为0.003x20x2=0.12,

因为600x0.12=72,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.

(3)由题可知20x0.0125x10+0.025x20x30

HFO.0065x20x50+0.003x20x70+0.003x20x90=33.6分钟.

故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.

本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式,

属于中档题.

19.已知函数/(x)=A%(a,6eR),且〃1)=；,=

(1)求。、6的值；

(2)试判断函数“X)在(2,+8)上的单调性，并证明；

(3)求函数f(x)在xe［2,6］上的最大值和最小值.

【正确答案】(l)a=2,b=\

(2)函数/(x)在(2,+0。)上为减函数，证明见解析

(3)最大值为：，最小值为］

【分析】(1)根据已知条件可得出关于实数“、6的方程组，即可得解；

(2)根据反比例函数的单调性可得出函数“X)在(2,+8)上的单调性，然后任取为、

9€(2,一)且芯＞々，作差〃斗)-〃々)，通分、因式分解后判断〃占)一〃々)的符号，

即可证得结论成立；

(3)根据函数f(x)在［2,6］上的单调性可求得/(x)在xe［2,6］上的最大值和最小值.

【详解】(1)解：由己知可得〈,，解得，,.

一価口

b-a

(2)解：由(1)可知，函数在(2,y)上为减函数，证明如下：

任取巧、马e（2,+<x>）且%>々，则七一占<°，2占+1>0,2x2+1>0,

/（x,）—/（%,）=--------------=---（*；/，'）__<0.,./（%）</（x,）,

八"'"2x,+l2七+1（2^+l）（2x,+l）八"八2八

所以，函数〃x）在（2,+8）上为减函数.

（3）解：由（2）可知，函数〃力在［2,6］上为减函数，

当xe［2,6］时，/•（4「〃2）=；，小）而“=〃6）$.

故函数〃x）在［2,6］上的最大值为g,最小值为5.

20.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各

月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型/•（x）="2+bx+c,乙选

择了模型y=P4'+r,其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,g,，•都是常数.

（1）如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115,你认为谁选择的模型较好？请

说明理由；

（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决

上述问题.（参考数据：2lfl=1024,上793x88.28）

【正确答案】（1）应将y=2,+50作为模拟函数，理由见解析

（2）至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人

【分析】（1）分别将x=l,2,3代入两个解析式，求得a,b,c,p,q,r,求得解析式，

并分别检验尤=4,5,6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案.

（2）令2，+50>2000,可求得x的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案.

。+/7+。=52,

【详解】（1）由题意，把％=1,2,3代入“力得:4〃+2b+c=54,

9a+3A+c=58,

解得Q=1,。=—1,c=52,所以/（x）u%2-％+52,

所以/（4）=42-4+52=64,/（5）=52-5+52=72,/（6）=62-6+52=82,

则|/（4）一66|=2,|〃5）-82|=10,|〃6）-115|=33；

pq+r=52,

把x=l,2,3代入y=g（x）=/>4*+r,得：<pq1+r=54,

pq3+广=58,

解得P=l,4=2,r=50,所以g（x）=2*+50,

所以g（4）=24+50=66,g（5）=25+50=82,g（6）=26+50-l14,

则|g⑷一66|=0,|g（5）—82|=0,|g⑹-115|=1

因为g（4）,g（5）,g⑹更接近真实值，所以应将y=2,+50作为模拟函数；

（2）令2*+50>2000,解得x>log21950

由于2'°=1024<1950<2048=2"即log21950e（10,l1）,

所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人.

21.已知关于x的不等式公?—3x+2>0的解集为{x|x（l或9}.

⑴求a,b的值；

（2）当x>0,y>0f且满足@+2=1时，有恒成立，求左的取值范围.

xy

【正确答案】（1）〃=LL=2

⑵[T3]

【分析】（1）由一元二次不等式的解集可得该二次不等式对应的一元二次方程的两个根，再

利用韦达定理即可解出。力的值.

（2）2》+>2公_1恒成立等价于公_1«2》+力112结合（1）的结论再利用均值不等“1”

的代换即可求出（2%+>）“访，最后解出不等式即可.

【详解】（1）因为不等式奴2一3》+2>0的解集为卜卜«或x»},

\+b=-

所以1力为方程江-3x+2=0的两个根，由韦达定理可得；，

\xb=-

故：a=l,b=2

12

(2)因为x>0,y>0时，有一+—=1,

%y

所以2x+y=(2x+y)(g+；)=2+T+?+224+2^^=8,当且仅当年=会,即

x=2,y=4时等号成立.

2

又因为2x+y2无2-1恒成立,所以廿一14(2x+y)1nBPjt-l<8，

m-3<k<3.

故:左的取值范围为13,3].

22.已知函数/(x)=log„,(x-/H)+log„,(x-2m)(m>OSun*1).

⑴当m时，解不等式〃力+](€5>0；

(2)若对于任意的x<3〃?,4间，都有f(x)5,求实数，"的取值范围；

⑶在(2)的条件下，是否存在a,夕€(言,+oo),使〃x)在区间[a,以上的值域是

1og〃,/Uog,,c]?若存在，求实数机的取值范围:若不存在，说明理由.

【正确答案】⑴{即<x<3}

(2)g4山<1

(3)不存在，理由见解析

【分析】(1)根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的

定义域；

(2)根据对数函数性质求得/(*)在[3肛4汨上的最大值f(x)皿，由/(x)1rax41可得；

(3)由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在(手,+由上有两个不等实根，由一元二

次方程根的分布知识求解可得.

【详解】(1)，：m=\

二〃x)=logjx-g)+logi(x-l)的定义域为Q,+C0).

由log]+log25=logL(x-gj(x-l)+log,|>0>

化简得(x—；)(x-l)<5,解得-|<x<3,又x>l,

.•.所求不等式的解集为{屮<x<3}.

(2)对于任意的x«3肛4冋,都有/(%)<1,等价于/(x)mx<1,

*.*f(x)=log,”[(x-m)(x—2/叫=log,〃(/-3mx+2M)(xe[im,4m])

设，=f-3inr+2M=

则方在[3九4M上是增函数，下面按照y=log,/的单调性分类讨论：

当0<加<1时，，/(X)在⑶*,4词上递减，则/(x)gx=/(3/n)=log,“(2w?)w],解得

2

当/>1时，/(x)在[3m,4m]上递增，则/(x)irax=/(