上海市进德中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

上海市进德中学2022N023学年上学期期中质量检测九年级

数学试卷

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

1.Rf.ABC中，ZC=90°,BC=n,AC=5,那么cotB等于()

512125

A.—B.—C.—D.—

1313512

【答案】C

【解析】

【分析】作出直角三角形，结合余切函数的定义(邻边比对边)可直接得出.

【详解】解：直角三角形.ABC中，BC=12,AC=5,

AC5

故选：C.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，理解余切函数的定义是解题关键.

2.抛物线产炉-4光+5的顶点坐标是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法化成顶点式求解即可.

【详解】Vj=x2-4x+5=(x-2)2+l,

顶点坐标为(2,D,

故选:B.

【点睛】本题考查了二次函数性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的--种方法，也可以直接代入

顶点坐标公式.

3.已知4=3。，下列说法中不正确的是（)

D.同=3问

A.a-3b=0B.d与b方向相同C.a//b

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件可知：a与〃的方向相同，其模是3倍关系.

【详解】解：A、由〃=3。知："一3/?=0，选项不正确，符合题意;

B、由“=36知：。与方的方向相同，选项正确，不符合题意；

C、由a=3人知：。与的方向相同，则选项正确，不符合题意;

D、由。=3人知：同=3网，选项正确，不符合题意.

故选A.

【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小.

4.如图，在四边形ABC。中，如果NADC=NR4C,那么下列条件中不能判定八4£9和相似

B.C4是ZBCD的平分线

、ADDC

D.AC2=BC-CD

【答案】D

【解析】

【分析】已知NAQC=NB4C,则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项

可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例

但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.

【详解】解：在八4。。和4区4c中，ZADC=ZBAC,

A、当ND4C=NABC,则△A£>CS2XBAC,故该选项不符合题意；

B、当C4是N5C。的平分线，即NOC4=NACB,则△ADCS^RAC,故该选项不符合题意；

c、当22=生，则△ADCSABAC,故该选项不符合题意;

ABAC

D、当AC?=8C•C。，即4G=匹，但夹角ZDC4与ZACB不一定相等，不能推出,

BCAC

故该选项符合题意;

故选：D.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

5.如图，ZAOB是放置在正方形网格中的一个角，则s加NAOB的值为（）

C也V2

2

【答案】D

【解析】

【分析】先利用勾股定理计算出△ABO的三边，再判断△ABO的形状，最后利用正弦函数的定义即可.

【详解】解:如图，连接A3.

丁点。、A、B在格点上，

=2A/5,

(9A=V32+12=Vio，

AB=A/32+12=Vio-

•.•(何『+(而『=(2石『,

AB2+0A2—OB2-

AOAB直角三角形.

，5必呀"=芈=也

OB2石2

故选：D.

B

【点睛】本题主要考查了在直角三角形中求一个锐角的正弦，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是

解决本题的关键.

6.己知二次函数y=a(x-D2+Ha>0)的图像上有A(；,y)、B(&%)两个点，则()

A.X=>2B.C.D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】由于。>0,开口向上，所以点A、B离对称轴越近，对应的纵坐标越小，即可判断出%、为

的大小关系.

(详解】•••y=a(x-I)2+k(a>0)

抛物线开口向上，对称轴为x=l,开口向上.

•..点A横坐标到对称轴的距离是=-1='

22

点B到横坐标对称轴的距离是|夜-<；,

故选:B.

【点睛】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质和熟练应用数形结合思想是解题关键.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.已知之=则口=__________.

34x

【答案】T

【解析】

【分析】根据*可得：y^-x,把>代入二二2运算求解即可.

343x

【详解】解：•••2=£

34

4

/.V--X

3

.•.把y=&x代入q得:

3x

xx3

故答案为一3

【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质正确计算是解题的关键.

8.抛物线y=ax2+2经过点(-2,6),那么。=.

【答案】1

【解析】

【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4〃+2,解方程即可.

［详解】•••抛物线y=ax2+2经过点(-2,6),

6=4〃+2,

解得。=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.

9.如果两个相似三角形对应边之比是4:9,那么它们的周长之比等于.

【答案】4:9

【解析】

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解.

【详解】解：•.•两个相似三角形对应边之比是4:9,

它们的周长之比等于4:9.

故答案为：4:9

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

10.二次函数y=x2-4x图像上的最低点的纵坐标为.

【答案】-4

【解析】

【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案.

【详解】解:，二次函数y=f-4X=(X—2)2—4,

二次函数图象上的最低点的纵坐标为：-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式.

11.已知点P是线段43的黄金分割点，AP>PB.若AB=2,则AP=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】根据黄金分割点的定义，知4P是较长线段；则AP=避二代入数据即可得出AP的长.

2

【详解】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；

则”=2x誓1=痒1，

故答案为：75-1.

【点睛】本题考查了黄金分割点即线段上一点把线段分成较长和较短的两条线段，且较长线段的平方等于

较短线段与全线段的积，熟练掌握黄金分割点的公式是解题的关键.

12.在直角坐标平面内有一点A(3,4),点A与原点0的连线与x轴的正半轴夹角为a,那么角a的余弦

值是.

【答案】|

【解析】

【分析】根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.

【详解】•.•点A坐标为(3,4),

0A=J32+4z=5，

3

cosa=—,

5

3

故答案为彳

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；

余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.

13.如图所示，在Z7ABCZ)中，AC,BD交于点0,80=a,5c=4则OC=.

AD

【答柒】-2a+b

【解析】

【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可

求解.

【详解】解：；四边形ABC。是平行四边形，AC,8。交于点。，

又BO=a，BC=b>

•••BD=2BO=2a，

•••DC=BC-BD=b-2a>

故答案为：一+

【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四

边形法则.

14.如果抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的一个交点为（5,0）,那么与x轴的另一个交点的坐标是.

【答案】（-3,0）.

【解析】

【详解】•••抛物线丫=2*2-22乂+©（aWO）的对称轴为直线x=l,且抛物线与x轴的一个交点为（5,0）,

.•.抛物线与x轴的另一交点坐标为（1X2-5,0）,即（-3,0）.

故答案为（-3,0）.

15.在直角AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是一.

【答案】

3

【解析】

【分析】根据勾股定理可求得AB=10,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=5,最后

根据重心的性质可求DG.

【详解】解：；NC=90。，AC=8,BC=6,

•••AB=VAC2+BC2=1。，

•.,CD为A8边上的中线,

1

.•.CD=-AB=5,

2

•.•点G是重心，

15

・・DG=—CD=—.

33

故答案为3.

3

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距

离的2倍是解题的关键

s1s

16.如图，四边形ABCD中，AD//BC,对角线AC,8。交于点0,已知诚巨=不，则

〉BCD23BCD

【答案】|2

【解析】

An।

【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出——=—,再根据△AODS^COB得出

BC2

再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可

OBBC2

【详解】解：作AELBC,CFLBD

C

BE

・・SABD=1

SBCD2

•••△ABD和△BCD等高，高均为AE

Q—AD9AE4八[

...SABD[2JD=1

SBCDLBC.AEBC2

2

•：AD//BC

：./\AOD^/\COB

.OP_AD_]

•.•△80C和△OOC等高，高均为CF

SBOCOB2

••・---b-O-C-—-乙--------—----——

SDOC1OD-CF°。1

2

.SBOC__2

SBCD3

故答案为：!2

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的

面积的特点是解题的关键

AODEAE

17.如图，在AABC中，NA=30。，NB=90。，。为AB中点，E在线段AC上，——=——，则一=

ABBCAC

【答案】；或，

24

【解析】

【分析】由题意可求出=，8C,取AC中点屈，连接。0,则OE是△ABC的中位线，满足

2

!AF\

DEX=-BC,进而可求此时芸==,然后在AC上取一点良，使得DEI=DE2,则。E,=—BC,证明

2AC22

△DE1E2是等边三角形,求出E/E2='AC,即可得到空=:，问题得解.

4AC4

【详解】解：；。为A8中点，

.ADDE_1

••-------———,即DE=——BC，

ABBC22

取AC中点自，连接。豆，则是AABC的中位线，此时。豆〃8C,DE.=-BC,

2

.AE.AD1

••------=一，

ACAB2

在4c上取一点E2,使得DEI=DE2,则

VZA=30°,ZB=90°,

ZC=60°,BC^-AC,

2

,:DE\〃BC,

：./DEIE2=60°,

...△DE/E2是等边三角形，

DEI=DE2=EIE2=-BC,

2

：.EIE2=-AC,

4

AE.=-AC,

12

AE,=—AC,即AJ=J.

24AC4

A17.i

综上，---的值为：5或一,

AC24

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30。角

的直角三角形的性质等，根据。E=4BC进行分情况求解是解题的关键.

2

18.若△ABC内一点P满足NB4C=PCB=NP84,则称点P为，ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡

尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命

名.如图，已知一ABC中C4=CB，NACB=120。，P为一48c的布罗卡尔点，若PA=5则

PC=.

【答案】叵

33

【解析】

【分析】过。作8,4?于。，由C4=CB,NACB=120°,CDLAB,可得43=百3。，根据P

为一ABC的布罗卡尔点，可得APABSPBC,即得以=四=竺，故且="=百，可解得答

PBPCBCPBPC

案.

【详解】解：过C作CDLAB于D,如图：

•:CA=CB,ZACB=120°,CDS.AB,

：.AD=BD=-AB,ZABC=ABAC=?>0P,

2

ACD=-BC,BD=>/3CD=—BC>

22

AB=y/3BC，

为ABC的布罗卡尔点，

/.APAC=/PCB=ZPBA,

NPAB=/PBC,

：..PABsPBC,

.PAPBAB

''~PB~~PC~~BC'

,:AB=6BC，PA=6，

.6PB区

••---=---=75,

PBPC

:•PB=1，PC=B,

3

故答案为：迫.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明PABs,QBC是本题的关键.

三、解答题：(本大题共7题，满分78分)

cot45°

19.计算：4sin450-2tan30°cos30°+———

cos60°

【答案】2垃+1

【解析】

【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.

解：原式=4XYLzxXIx正+T

2325

=2丘-1+2

=2&+1.

20.如图，已知二次函数y=》2一ac的对称轴为x=2,过点A(5,b).

(1)求出a,6的值；

(2)若点8是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当AOAB的面积为15时，求8的坐标.

【答案】(1)a=4,Q5

(2)点B的坐标为(2,8)

【解析】

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)设6(2,m)(加>0),运用待定系数法求得直线。4的解析式为产》,设直线。4与抛物线对

称轴交于点，，则”(2,2),BH=\m-2\,利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案.

【小问1详解】

'''一次函数y=x~—ax的对称轴为x=2,

a=4,

•*.y^x~—4x,

•••过点A(5,b)，

/?==25-20=5；

【小问2详解】

•.•点8是抛物线对称轴上的一点，且点3在第一象限,

，设8(2,ni)(w>0)，

设直线。4的解析式为丁=丘，

则弘=5,

解得：k=l,

直线on的解析式为y=x,

设直线与抛物线对称轴交于点“，则”(2,2)，

BH^m—2,

,,S=[5

/.-^-x|/„-2|x5=15—x|/7z-2|x5=15,

解得：/«=8或/〃=一4(舍去)，

...点B的坐标为(2,8).

【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想是解题的关

键.

2

21.如图，已知在一ABC中，CDA.AB,垂足为点D,AD=2，8D=6,tanN8=§,点E是边8C

的中点.

(1)求边AC的长；

(2)求NE45的正切值.

【答案】⑴26

⑵2

5

【解析】

分析】(1)解直角三角形求出CO=4,再利用勾股定理求出AC即可;

(2)过点E作石”_LA6于点儿求出A”，EH.可得结论.

【小问1详解】

解：,••C0_L43,

•••^]ADC=CDB=90?.

BD=6,

/.CD=4,

AC=yJCD2+AD2=G+2?=2后；

【小问2详解】

解：过点E作EH_LAB于点儿

VCDLAB,EHLAB,

：.EH//CD,

.BEBH

"~CE~~DH'

EC=EB,

：.DH=BH=-BD=3,

2

:.EH=LCD=2,

2

：.AH=AD+DH=2+3=5,

EH_2

tan?EAB

~AH~5

【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

22.如图，为了测量建筑物A8的高度，先从与建筑物的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿

斜坡8行走至坡顶。处，斜坡CD的坡度i=l：3,坡顶。到8C的距离£＞岳=20米，在点。处测

得建筑物顶端A点的仰角为50。，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB

的高度（结果精确到1米）（参考数据：5//?50°«0.77；CO550°«0.64；ten50°®1.19）

【答案】建筑物A3的高度约为68米

【解析】

【分析】过。作叱J_A3于凡由坡度的定义求出CE=3£>E=60（米），则。/=£»=40（米）,

再解直角三角形求出A厂的长，即可得出答案

【详解】如图，过。作_LAB于F.

则，FB=DE=20米，

•；斜坡CD的坡度z=l：3,坡顶D到BC的距离£>E=20米，

CE=3PE=60（米），

DF=EB=BC-CE=1（X）—60=4（）（米），

在Rf_ADF中，ZADF=50°,

AC

tanZADF==tan500*1.19，

DF

二AF®1.19£>F=1.19x40=47.6（米），

AB^AF+BF^47.6+20«68（米），

即建筑物AB的高度约为68米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

23.已知：如图，已知△A8C与△AOE均为等腰三角形，BA=BC,DA=DE.如果点。在8c边上，且

NE£>C=N8AD点O为4C与OE的交点.

（1）求证：△ABCsaAOE；

（2）求证：DAPC=OD，CE.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

QAnA

【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到NB=NAOE,由于——=—=1,根据SAS得

BCDE

到结论；

(2)根据相似三角形的性质得到NBAC=/D4E,于是得到NBAQ=NC4E=NCZ)£,证得

△CODsMEOA,根据相似三角形的性质得到生=型，由NAOO=/COE,推出△A0£>S4C0E,根

OEOA

据相似三角形的性质即可得到结论.

【小问1详解】

NADC=ZABC+ZBAD^ZADE+ZEDC,

；.NB=NADE,

BADA,

——=——=1,

BCDE

：.△ABCs△7!&£；

【小问2详解】

•/AABC^AADE,

/8AC=NDAE,

/BAO=NC4E=ZCDE,

,：ZCOD=ZEOA,

：./\COD^/\EOA,

.OCOD

••---=----，

OEOA

'：ZAOD^ZCOE,

：.△AO£>S/\EOC,

：.DA：CE=OD：OC,

B|JDA>OC=OD-CE.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是

解题的关键.

1,

24.如图，抛物线丁=一万必+加:+。经过点4(-2,0),点B(0,4).

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)P是抛物线对称轴上的点，联结A8、PB,如果/PBO=/BA。，求点尸的坐标；

(3)将抛物线沿)，轴向下平移〃7个单位，所得新抛物线与y轴交于点。，过点。作QE〃x轴交新抛物线

于点E,射线E。交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求〃i的值.

i7

【答案】(1)y=-X2+X+4;(2)P(1,-);(3)3或5.

22

【解析】

【分析】(1)将点A、B代入抛物线y=—gV+笈+，，用待定系数法求出解析式.

(2)对称轴为直线x=l,过点P作PGLy轴，垂足为G,由NPBO=/BAO,得tan/PBO=tan/BAO,即

PGB0

可求出P的坐标.

1,

(3)新抛物线的表达式为y=-]x2+x+4—加，由题意可得。£=2,过点尸作轴，垂足为“，

j-yFEODO2

：DE//FH,E0=20F,：.——=—=——=一，.然后分情况讨论点。在y轴的正半轴上和在y

FHOFOH1

轴的负半轴上，可求得相的值为3或5.

【详解】解：(1)•••抛物线经过点A(-2,0),点B(0,4)

—2—2b+c=0b=\

c=4'解得

c=4'

1,

...抛物线解析式为y=——X2+X+4,

11?9

(2)y--—x2+x+4-——(x-1)+—,

对称轴为直线x=l,过点P作PG_LyW，垂足为G

,ZZPBO=ZBAO,；.tanNPBO=tan/BA。，

.PGBO

••茄一茄’

.12

••一，

BG1

(3)设新抛物线的表达式为^=一；/+尤+4—根

则£)(0,4-£(2,4-㈤，DE=2

过点尸作轴，垂足为“，-：DE//FH,EO=WF

工FH=1.

点。在y轴的正半轴上，则/(-Lg

:.OH=m——,

2

DO_4-m_2

m=3,

点。在y轴的负半轴上，则尸卜,■!一"?

9

2

DO_根一4_2

•••~OH-9-7，

m—

2

/.771=5,

...综上所述〃7的值为3或5.

【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.

25.在RtZiABC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,DAB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结

CD,过点D作DELDC交边BC于点E.

(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；

(2)设AD=x,BE=y,求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；

(3)把aBCD沿直线CD翻折得△CDB，，联结AB，，当△CAB，是等腰三角形时，直接写出AD的长.

【答案】(1)AD=-；(2)y=20X5X(0<X<4).(3)—-土叵或%+生叵

49+4x43434343

【解析】

An3

【分析】(1)根据等角的余角相等，证明/ACD=/EDB=NB,推出tan/ACD=tan/B,得到丁=—

34

即可求出AD；

34

(2)求出sin/B=j,cosZB=y,表达出EH,BH,DH,证明△ACDsaHDE,利用相似比即可解

答；

(3)分两种情形：①如图3-1中，设CB，交AB于K,作AEJ_CK于E,DN_LBC于

N.利用角平分线的性质定理求出BD即可.②如图3-2中，当CB，交BA的延长线于K时，同法可得

BD.

【详解】解：(1)VED=EB,

.\ZEDB=ZB,

VCD±DE,

ZCDE=ZA=90°,

VZACD+ZADC=90°,ZADC+ZEDH=90°,

AZACD=ZEDB=ZB,

/.tanZACD=tanNB,

.ADAC

**AC-AB?

.AD_3

••=—，

34

9

，AD=—.

4

(2)如图1中，作EH_LBD于H.