2023届浙江省浙南联盟招生全国统一考试·数学试题

2023届浙江省浙南联盟招生全国统一考试•数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.关于函数/(x)=；——9+cos2》,下列说法正确的是()

1+tan-x

A.函数f(x)的定义域为R

3471

B.函数f(x)一个递增区间为一丁,g

OO

C.函数/(X)的图像关于直线X=J对称

O

D.将函数y=J^sin2x图像向左平移g个单位可得函数y=/(x)的图像

O

r2

2.已知双曲线C：・=1(。>0,b>0'),以点P(h。)为圆心，a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条

渐近线交于M,N两点，若NMPN=90°,则C的离心率为()

A.J2B.J3C.立D.—

22

(1n\(17C\

3,关于函数/(x)=4sin-^+-+4cos+-,有下述三个结论:

7T

①函数/(X)的一个周期为一；

2

7734

②函数/(X)在上单调递增；

24

③函数.f(x)的值域为[4,4&].

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.②C.②③D.③

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列,

则该数列各项之和为()

A.56383B.57171C.59189D.61242

5.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为Pl,P2,则（）

115

A.Pi»P=-B.Pi=P=-C.Pi+P=-D.Pi<P

2432622

x>0,y>0

6.已知x,）‘满足条件（A为常数），若目标函数z=3x+y的最大值为9,贝！U=（）

2x+y+k40

7.已知正项等比数列｛4｝中，存在两项4,,4,使得J。,”,，=3q,%=2%+3%,则\+：的最小值是（）

3一八9

A.-B.2C.-D.一

234

8.记等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S..若50=40,4=5,则（）

A.6?=3B.4（）=12C.520-280D.《=一4

9.已知点A是抛物线/=4）的对称轴与准线的交点，点b为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|Q4|=m|P目，

若，〃取得最大值时，点P恰好在以AF为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）

A.>/3-1B.V2-1C.D.1-

22

10.下列函数中，值域为R的偶函数是（）

A.y=x2+]B.y=ex-e~xC.y=lg|x|D.丫=后

IL已知双曲线与-丁2=1的一条渐近线方程是丫二正方，则双曲线的离心率为（

a~3

A百>/6「百2>/3

A.RB.C.Dn.--------

3323

12.已知直线23+/“=2（加>0,〃>0）过圆（％-1）2+（丁—2）2=5的圆心，则,+1的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

e'+2019,x<0

13.设函数/(x)=,则满足了（f-4）＞/（-3x）的x的取值范围为

2020/>0

14.曲线/（x）=4x-e'在点（0,/（0））处的切线方程为

15.如图，棱长为2的正方体ABC。—AAG2中，点”,N,E分别为棱的中点，以A为圆心，1为半

径，分别在面和面A3CO内作弧MN和NE,并将两弧各五等分，分点依次为M、《、鸟、乙、鸟、N

以及N、Q?、Q、E.一只蚂蚁欲从点《出发，沿正方体的表面爬行至则其爬行的最短距离为

,参考数据：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos270=0.8910)

16.在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中.现从中随机取出的2〃/

种子，则取出了带麦锈病种子的概率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率;

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用=1”表示任选一位第4类受访者是习惯良好者，“4=0”表示任选一位第

改类受访者不是习惯良好者=1,2,3,4,5,6）.写出方差屿,小,%,%,。短的大小关系.

221

18.（12分）已知椭圆T：\+==1（。>/,>0）的离心率为万，直线/：x+y-太=0与以原点为圆心，以椭圆C

的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点G（l,0）的直线交椭圆T于8,C两点，直线AB,AC分别交直线x=4

于Af,N两点.

（1）求椭圆T的方程；

（2）以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

19.（12分）已知四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC,/%=AZ>=AB=CO=2,BC=4,

/%_L底面ABCD.

（1）证明：平面24C_L平面R4B；

（2）过24的平面交8C于点E，若平面A4七把四棱锥P-A8CD分成体积相等的两部分，求二面角A—PE—3的

余弦值.

20.（12分）如图，已知椭圆E的右焦点为6。，0）,P,。为椭圆上的两个动点，PQQ周长的最大值为8.

(I)求椭圆E的标准方程;

(II)直线/经过尸2,交椭圆£于点A,3,直线加与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点M,N,|MN『=4|A8|,

求证：直线加与直线/的交点T在定直线上.

21.(12分)已知数列｛4｝满足：x„+l=<-6,neN*,且对任意的〃wN*都有当<当二1

(I)证明：对任意〃wN*,都有一3Kz4上叵

"2

(H)证明：对任意〃eN*,都有|/+|+2]22|七+2|；

(ni)证明：玉=一2.

x=tcosa,x=sinB,

22.(10分)已知曲线G的参数方程为产i+反吟"为参数)'曲线G的参数方程为,--（。为参

y=x/l+cos26,

数）.

(1)求G与的普通方程;

(2)若G与相交于A,B两点,且|48|=血，求sina的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

化简到/(%)=夜sin(2x+?J,根据定义域排除ACD,计算单调性知8正确，得到答案.

【详解】

/(JC)=2tan：+©os2%=sin2x+cos2x=5/2sin|2x+—|,

l+tan2x(4)

71

故函数的定义域为xxWu+Z万次eZ,故A错误；

2

\jrJT71717T

当xw---时，2x+—e-—，函数单调递增，故8正确；

_88J4L22_

TTTT7T

当》=一工，关于X=J的对称的直线为X=g不在定义域内，故C错误.

482

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(x),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

2、A

【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆。与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，且NM/W=90。，则可根据圆心

到渐近线距离为注a列出方程，求解离心率.

2

【详解】

不妨设双曲线C的一条渐近线法-ay=0与圆P交于M,N,

因为NMPN=90°,所以圆心P到。x一4=0的距离为：-^==—=—«,

J/+/c2

即2c2—2/=岛o，因为e=£>l,所以解得6=血.

a

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题.对于离心率求解问题，关键是建立

关于a，c的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关

系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.

3、C

【解析】

TT37r171去等,gx+a)，再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当xw-，时,—x+—ef(x)=4&n

T23

1兀

判断.③根据平移变换，函数.f(x)=4sin：x+=|+4cos+的值域等价于函数

23237

1X的值域，而g(x+/)=g(x),当xw[O,加时，g(x)=4夜sin(gx+g]

g(x)=4singx+4cosg再求值域.

2

【详解】

因为/[-^+―fl7万17兀、\71](1吟

—XH----+---4cos-x-\-----4cos—XH------+4sin—XH------(x),故①错误;

(212212)(212；(212；

,7t34」171ITTJ17兀，所以y(x)=4sin(；1x+qn)-4cos+?171

当xe——时,—X+——E=4>/2sin—X+一

2423122423212

1nTTI\TT7TT137r

一XH----€y,—所以/(x)在上单调递增，故②正确;

21224

函数/(x)=4sin：1x+=兀|+4cos+=71|的值域等价于函数g(x)=4sin；x+4cos；1x的值域，易知

23232

,g(x)=4而in(g71

g(X+%)=g(X),故当上£[0,乃]时—XH-----e[4,472],故③正确.

3

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

4、C

【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列{4}

贝!|an=23+35(〃-1)=35〃—12

2

令为=35〃-1242020,解得〃458—.

35

CQ*S7

故该数列各项之和为58x23+x35=59189.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

5、C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312,321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐车可能：312、321,所以，P!=-;

6

所以Pl+P2=—

6

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

6,B

【解析】

x廊,y0

由目标函数z=3x+），的最大值为%我们可以画出满足条件件＜y,,x依为常数）的可行域，根据目标函数

2x+y+k„O

的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数攵的方程组，消参后即可得到女的取值.

【详解】

0

画出X,）‘满足的为x（A为常数）可行域如下图：

2x+y+k„0

由于目标函数z=3x+y的最大值为9,

可得直线＞=0与直线9=3x+y的交点8（3,0）,

使目标函数z=x+3），取得最大值，

将x=3,y=0代入2x+y+A=0得：k=-6.

故选：B.

【点睛】

如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的

交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去》,丁后，即可求出参数的值.

7、C

【解析】

由已知求出等比数列｛4｝的公比，进而求出根+〃=4,尝试用基本不等式，但加,〃eN"取不到等号，所以考虑直

接取以〃的值代入比较即可.

【详解】

ab~2a5+3a4,：.-2^-3=0,；.q=3或g=-l（舍）.

r2

yjain-an=3",am-an=a；­y""-=9a^,:.m+n=4.

147

当根=1,屋=3时一+—=—；

mn3

145

当"2=2,〃=2时一+-=一；

tnn2

当m=3,〃=1时，—+—=所以最小值为一.

mn33

故选:C.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.

8、C

【解析】

由SO=（4+；O）・1O=5（%+4）=4O,和4=5,可求得见=3,从而求得d和4,再验证选项.

【详解】

因为Eo=(4+；°)・10=5(%+4)=40,4=5,

所以解得%=3,

所以d=4-%=2,

所以Go=%+4"=5+8=13,4=%—4d=3—8=—5,S->n-20a,+190i/=-100+380—280,

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.

9、B

【解析】

设P(x,y),利用两点间的距离公式求出加的表达式，结合基本不等式的性质求出，"的最大值时的P点坐标，结合椭

圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.

【详解】

设尸(x,y),因为A是抛物线V=4y的对称轴与准线的交点，点口为抛物线的焦点，

所以4(0,-1),60,1),

则加=粤=卜+可+匚卜+可+-

222

附\(y-l)+x]1(y-l)+4y

当y=0时，m=l,

14y,41+——^==V2

m=14--z-------=1H-----：---<

2

当y>0时，Vy+2y+lI2j2+2层’

Vy

当且仅当y=l时取等号，，此时P(9,1),

\PA\=2y/2,\PF\=2,

点P在以A,尸为焦点的椭圆上，2c=|AF|=2,

由椭圆的定义得2a=|PA|+|PF|=20+2,

所以椭圆的离心率e=£=争=cc=O-\，故选B.

a2a2J、2+2

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率

有以下几种情况：①直接求出。，。，从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定

义来求解.

10、C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但yNl,不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

yeR,满足条件；D中，函数为偶函数，但yNO,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

11、D

【解析】

双曲线的渐近线方程是y=±'x,所以1=正，即。为=1,/="+/=4，即。=2,e=£=2百，

aa3a3

故选D.

12、D

【解析】

圆心坐标为(1,2),代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.

【详解】

圆(x—If+(y—2尸=5的圆心为(1,2),

由题意可得2〃z+2〃=2,即〃2+力=1,m，n>09

II!jnmnrnl

则—+—=(—+—)(m+〃)=2+—+—..4,当且仅当一=—且加+〃=1即m="=一时取等号，

mninnmnmn2

故选：D.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，

考查运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1,+<»)

【解析】

当xWO时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，故需满足X2—4>—3X，且—3X<0,解得答案.

【详解】

7*+2019%<0

/(%)=i'一，当x40时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，

2020,x〉0

/(/-4)>/(—3x)需满足/一4>一3X，且一3x<0,解得x>l.

故答案为：(l,4w).

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

14、3x-y-1=0

【解析】

求导，得到./(。)和/(0)，利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于/(O)=T，/'(x)=4—，，所以/''(0)=4—1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-l=0.

故答案为：3x-y-i=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

15>1.7820

【解析】

根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据

所给参考数据即可得解.

【详解】

棱长为2的正方体ABC。一4402中，点",N,E分别为棱的中点，以A为圆心，1为半径，分别在

面ABgA和面A8C。内作弧MN和NE.

将平面ABCD绕A8旋转至与平面A6g4共面的位置，如下图所示:

1Qf)

则N6AQ4=*-X8=144，所以怩&|=2sin72；

将平面ABC。绕AO旋转至与平面AOAA共面的位置，将ABB4绕A4旋转至与平面ADD|A共面的位置，如下

图所示:

因为sin63<sin72»且由诱导公式可得sin63=cos27，

所以最短距离为用@=2sin63=2x0.8910=1.7820,

故答案为：1.7820.

【点睛】

本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应

用，综合性强，属于难题.

1

16、一

4万

【解析】

求解2"?3占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.

【详解】

21

解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率=——：—=—.

万x2~x24万

故答案为：—.

4万

【点睛】

本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.104(2)0.766(3)>D^2

【解析】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A，根据古典概型求出即可：

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,设事

件七为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则

p(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根据题意，写出即可.

【详解】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者"的事件为A,

有效问卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400x0.65=260人，

故P⑴=芸卜0104；

2500

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,

根据题意，可知尸(A)=0.6»(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“

贝(IP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(5)P(d)+P(A)P(耳)P(C)+P(X)P(5)P(C)+P(A)P(5)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

(3)必=%>必>必>必>

【点睛】

本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题.

22

18、(1)亍+]_=1；(2)是，定点坐标为(7,0)或(1,0)

【解析】

(1)根据相切得到b=JJ,根据离心率得到a=2,得到椭圆方程.

_6t_

(2)设直线8c的方程为x=<y+l，点B、C的坐标分别为(玉,X),(x,y),联立方程得到*+%=

223*+4

%%=--二，计算点”的坐标为(从'；],点N的坐标为圆的方程可化为

(x-4)(x-4)+/+6ry-9=0,得到答案.

【详解】

(D根据题意：61°+°二"|=6,因为2=所以。=2,

V2a2

X2丫2

所以椭圆T的方程为2-+乙=1.

43

(2)设直线8C的方程为x="+l,点8、C的坐标分别为(x，x),(x2,y2),

把直线BC的方程代入椭圆方程化简得到(3/+4)V+6)一9=0,

s।6，9

所以乂+旷一内,乂％=一=,

4_12/8

所以玉工2=/y%+/(X+%)+1=，3元屋，玉+工2=以+1++1=3r+4，

因为直线的斜率3=会,所以直线AB的方程1黄5(x+2),

所以点”的坐标为4,且J,同理，点N的坐标为4,出1

I玉+2JIX2+2)

故以MN为直径的圆的方程为(x—4)(x-40,

36)心-36凹为=36x9

v-9,

(x,+2)(X2+2)xtx2+2(x,+x,)+436

6y+6%=6%+6%=12)跖+18(y+%)=_6?

X+2X2+2ty,+3ty2+3ry,y2+3f(y,+y2)+9

所以圆的方程可化为(1-4)(%-4)+9+6)—9=0,令y=0,则有(％—4?=9,

所以定点坐标为(7,0)或(1,0).

【点睛】

本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

4

19、(1)见证明；(2)-

7

【解析】

(D先证明等腰梯形ABCD中ACJ.AB,然后证明出_LAC,即可得到AC_L平面Q43,从而可证明平面PAC

_L平面PAB；(2)由V:梭锥=%棱锥P_ASCO，可得到5MBE=S梯形.6,列出式子可求出BE,然后建立如图的空

间坐标系，求出平面E场的法向量为勺，平面PBE的法向量为的，由cos(〃|,〃,)=—n—可得到答案.

«|||«2

【详解】

(1)证明：在等腰梯形ABC。，ADBC,AD=AB=CD=2,

易得NA5C=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

则有AB2+AC2=8。2,故AC,

又平面ABC。，4。匚平面48。。，二m_1_4。,

ACLAB

即>=>4CJ_平面故平面PACJ_平面

ACLPA

(2)在梯形ABC。中，设BE=a,

-K三棱维P-ABE=喉棱锥P-ABCO>_S^BE=S梯形Age。'

1(CE+AD)xh=1—_-广

-xBAxBEsinZABE=-----L—，而〃=722-12=73，

an1c6(4—a+2)X百

即一x2xax、一=--------L----,：.a=3.

222

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为》轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则

fi3/?、

A（0,0,0）,尸（0,0,2）,6（2,0,0）,E—,工,0,

、22,

'i3^/^、

设平面Q4£的法向量为勺=（x,y,z）,AE=-,-^-,0,AP=（0,0,2）,

\)

।13>/3八

"i_LAE—x-\y=0

由“AP得"2'，

事[2z=0

取x=l,得丁=----，z=0,，％=L——,0,

-919

同理可求得平面的法向量为〃2=，

131

设二面角A-PE-B的平面角为。，

,,1一旦走+0xl|

nl/\丹•%934

贝!1cos6=cos(n.J=~n~\~1।=—，

加卜导。#27

4

所以二面角A—P£—8的余弦值为,・

I

xY

【点睛】

本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角,考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能

力及计算能力，属于中档题.

22

20、(I)—+21=1；(II)详见解析.

43

【解析】

(I)由椭圆的定义可得，p。工周长取最大值时，线段PQ过点可求出。，从而求出椭圆E的标准方程;

(n)设直线/:y=HxT)(ZwO),直线=-Z(x+t)，A(石,yj,B®,%)，〃(当，必)，"(如”).把

直线m与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|MN『和|,根据|MN「=41A用求

出t的值.最后直线相与直线/的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】

(I)设PQ月的周长为L,

则乙=归用+依用+|PQ|=2a-|P£|+2«TQZ|+|PQ|=4a-(|PK|+|Q£|)+|PQ|

<4aPQ|+1=4a,当且仅当线段PQ过点F.时“=”成立.

；.4a=8,:.a=2,又c=l,:.b=陋,

22

二椭圆E的标准方程为土+二=1.

43

(II)若直线/的斜率不存在，则直线机的斜率也不存在，这与直线加与直线/相交于点T矛盾，所以直线/的斜率存

在.

设/:y=左(》一1)(左#0),m:y=-k(x+t),A(3,y),3(々,必)，〃(毛,%)，^(x4,y4).

将直线机的方程代入椭圆方程得：(3+4公卜2+8/枕+4,2/—3)=o.

8k2t4伊2—3)

/.X-y+X=------------

343+4攵23+4公

。+。詈号

49k2+9_12(1+二)

同理，\AB\=yll+k2

3+4公