2024届湖南省长沙市四县区高三下学期一模数学试题及答案

2024年3月高三调研考试科目：数学（试题卷）注意事项：．本试题卷共5页，共四个大题，19个小题。总分150分，考试时量120分钟。2．接到试卷后，请检查是否有缺页、缺题或字迹不清等问题。如有，请及时报告监考老师。3．答题前，务必将自己的姓名、考号写在答题卡和目。4．作答时，请将答案写在答题卡上。在草稿纸、试题卷上答题无效。姓名准考证号{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}绝密★启用前2024年3月高三调研考试试卷数学(长沙县、望城区、浏阳市、宁乡市联合命制)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|1x2}，B＝{xx＜ACRB）A．{xx1}B．{|x≥}C．{x|1＜≤2}D．{x|1x≤2}12．已知S为等差数列an项和，若a=6，a=3S（）nn368B．72C．36D．32，是两个不同的平面，a，ba⊥，b⊂a∥b”是“⊥）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件x2y224.已知双曲线C：1b0的一个焦点到一条渐近线的距离为C的4b离心率为（）335D．32225．将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，每个地区至少有1则不同的分配方案为（A．36种B．24种）C．18种D．16种第1页共5页{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}x2+y2xy+4＝0相切的两条直线夹角为cos）54535255A．B．C．D．57．钝角△ABCaC=cBcos(A﹣B）123A．1B．C．D．028.已知抛物线＝2pxk的直线l经过点2线C交于A、B两点，与y轴交于点M，与抛物线的准线交于点N，若2，则）A．3B．2C．2D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。z为非零复数，则下列命题中正确的是（）22＝|z|2B．zzzz2=z2D．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2110.已知函数f(x)cos(2x)，把y＝f（x）的图象向右平移233y＝g（x）的图象，以下说法正确的是（）x是y＝f（x）图象的一条对称轴63kZB．f（x）的单调递减区间为k,k6C．y＝g（x）的图象关于原点对称1D．f（x）+g（x）的最大值为2第2页共5页{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}11．已知f（x）是定义在R上的连续函数，且满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2xy，当x＞0时，f（x）＞0，设g（x）＝f（x）+x2（）f（1）•f（﹣1）＝﹣3，则f（1）＝1B．g（x）是偶函数C．g（x）在R上是增函数D．x-g(x)>0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。位数是．．一个正四棱锥底面边长为2，高为3，则该四棱锥的内切球表面积为．alnx-lnx)1xx当xx<1+211212，x2-11x2则a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分）如图，在圆锥中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4为圆弧是的中点．（1）证明：DE∥平面SAC．（2）求平面SAC与平面所成锐二面角的余弦值．分）已知函数f(x)x22lnx(aR).（1）当a＝0时，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．第3页共5页{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加125一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是．4（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．x22y22分）如图，已知,B分别是椭圆E：1的右顶点和上顶点，ab3椭圆E的离心率为，的面积为1.若过点2P,b的直线与椭圆E相交于M,N两点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB,交于点C,D.E的方程.M,C,D三点的横坐标成等差数列.第4页共5页{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}19.（本题满分分）若存在常数t，使得数列{an}满足an1aaaat（n≥1，n123nan（1）判断数列：1，2，3，8，49a是首项为2na与bnnnniaaaabt的值和数列b的通项公式；123n2nn2i1（3）若数列an为数列n的前n项和，11，t＞0，试比n较a与a1的大小，并证明tSn1SneSnn.nn第5页共5页{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}绝密★启用前2024年3月高三调研考试试卷数学参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号答案123A45A678BCBCDD1．集合A{x﹣1x≤2}，＝{xx1}，则A＝（）．{xx＞1}．{xx≥﹣1}．{x＜x≤2}D．{x≤≤2}A＝x﹣1≤x≤，B＝xx＜1}，所以∁B＝{xx≥，所以∪（∁）＝{xx1}．RR故选：B．2．已知S为等差数列a的前n项和，若a3a6，则S8，（）nnA．SB．C．故选D．8(a8223aba⊂∥．充分不必要条件．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件a⊥α，∥b，则b⊥α，又b⊂，所以α⊥β，故“ab”是“α⊥β”的充分条件．当满足α⊥β，⊥α，⊂β时，直线ab可能平行，可能相交，也可能异面．故“a∥”不是“α⊥β”的必要条件．故选：．）x2y221b0的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（4.已知双曲线C：）4b335．．2C．D．322x2y221ab0的一个焦点到一条渐近线的距离为2，b2，因此双C：4b2cba曲线C的离心率e12.故选：a54个人全部分配到ABC1为（．36种BC24个人中选2C2）．24种18种D．16种4{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，与其他2个人一起分配到A，B，C三个地区，共有C24A33种，故选：A．226．过点（，0x+y﹣x﹣y+40相切的两条直线夹角为，则＝（）．．．D．2222xy4x2y＝0x﹣2）+y1）＝12，1，22过点（00xy﹣x﹣y＝0相切的两条直线夹角为ykx，则圆心（21）到切线y的距离，解得或k0，故切线为或y＝，即一条切线为x轴，如图，所以＝，且易知α一定为第一象限角，解得＝．故选：．aC7．钝角△中，．1，则（A﹣B）＝（）123．．D．02a•＝c•B，∴A•sin＝sin•cosB，在钝角△ABC≠0，∴A＝B>0，即²A＝²B且B为锐角，∴²A＝1-sin²B，∴²A＝²B，若C为钝角，则0<A+B<900<A-B<90ABA＝BAA＝﹣B，∴（A﹣B）＝ABAsinB＝0．故选：选．8y＝2p＞0klC交于AB两2点，与y轴交于点M，与抛物线的准线交于点，若，则kD．）．2．23．3A在第一象限，则B设直线l的倾斜角为θ＝pAFθ，∴AF＝，又MN＝，由，可得＝MN，∴，∴θ＝，又θl的倾斜角，∴θ＝，∴k＝θ＝，又根据抛物线的对称性可知k＝时，也满足题意，故＝±．故选：D．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}二、选择题：本题共3小题，每小题618分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号答案91011BDABDACD9．设z为非零复数，则下列命题中正确的是（）2zz．z2＝z|2z．．z2D．若z＝1，则z+的最大值为22222，设z＝a+bi（a，bR当ab均不为0z＝（+bi）＝ab+2为虚数，22222而z|＝a+b为实数，所以z＝z|不成立，故A对于z＝a+bi（a，bR则，所以，所以，而成立，故B正确；2z2（）对于zxyi（yR，z2，所以z2，故C错误．又对于D，z＝1，则复数z对应的点P的轨迹是以O0，0）为圆心，1z+＝z﹣（﹣）的几何意义为复数z对应的点P与Q（0，﹣）两点间的距离，所以，如图可知，当点P为（0，1）时，最大，|z+取最大值，最大值为2，故D.故选BD.110．已知函数f(x)cos(2x)，把y＝x）的图象向右平移个单位长度，得到函数＝gx）233的图象，以下说法正确的是（）．x是y＝x）图象的一条对称轴63kZ．（x）的单调递减区间为k,k6．y＝gx）的图象关于原点对称1D．（）+gx）的最大值为2，把y＝x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝gx）＝（2x﹣）＝﹣cos2x的图象，{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}对于x＝x＝是函数xA正确．对于，令k≤2﹣≤2k+，k，求得k+≤≤k+，k，可得（）的单调减区间为[k+，k+]，kB正确．对于，由于（xx是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C错误．对于Dx）+gx（2x﹣）+cos2x）＝[+x]﹣x＝x﹣x＝sin（2x﹣（xDABD．（R（+（+y2＞0，设g（）＝（）x2（）．若（1）（﹣1）＝﹣3，则（1）＝1．g（xR上是增函数．（x）是偶函数Dx﹣）gx）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（，+∞）：取＝＝0得到0）＝（+（0即0）＝0，取x＝，y1得到（0）＝（）+（﹣）+2，又（1）1）＝﹣，（10，解得（1）＝，正确；22对选项＝﹣x得到（0（）+xx（）+x）＝﹣2x，22则g（）+gx（）+x+x+x＝0，（x）为奇函数，错误；对选项x＜x，则12＝＝，当x＞0时，x）＞0（xx0，，故gxg（x）＞，2121即g（x）＞（xgx）单调递增，正确；21对选项D：g（）＝（0+0＝0（﹣1）gx，当x＞1时，gx）＞，则x＞0x1；当x＝1时，不成立；当x＜1时，gx）＜，则x＜0x0；综上所述：x（﹣∞，0）∪（1，故选：．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题51512．已知一组数据如下：4，，4，7，，8，，99，10，则这组数据的第75百分位数是75%×＝7.5758个数，即为9.4．13．一个正四棱锥底面边长为2，高为3，则该四棱锥的内切球表面积为3O为内切球的球心，是棱锥的高，E，F，的中点，连接，G是球与侧面的切点，可知G在上，OG⊥，设内切球半径为r，则OHOG＝，＝1，由△PGO～△，∴，＝2，，即，解得，所以内切球表面积为．ax21xx，且当xx时，都有：1214．已知对任意，12x212a则的取值范围是ax21x21x21由得：ax2a1x21，x21x211axaxxx，21211x211axxaxx11.①22x211fxaxx，x0,，∵令xx21由f(2)，所以fx在①式x上递减.x211所以：fx0恒成立，所以ax恒成立，a2.x2x故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。如图，在圆锥O的直径，且△4的等边三角形，，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点．（1）证明：DESAC．（2）求平面SACSBD所成锐二面角的余弦值．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}【解答】（）证法1：如图1，取的中点，，CD．∵D为圆弧AB的两个三等分点，∴CD∥，．…(1分)∵E，F分别为，SA∥AB，，……………(2分)则CD∥，＝CD，从而四边形为平行四边形，故DE∥．……(4分)∵DE平面SAC，CF平面SACDESAC………(6)图1证法：如图2、OD，D的两个三等分点，∴∠BOD=∠BAC=60，∴ODAC，…………(1分)又点E为的中点，点O为的中点，∴OE∥A，…………(2)∵ODOD=O，∩，∴平面∥平面EOD，…………(4分)∵，∴∥平面…………(6)证法：如图3O为坐标原点，ABx轴，图2，的方向分别为，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB＝＝SB4，∴（0，﹣，0，1，0E(0，1，3)，，则，，3,03．……(3)＝xyz111，设平面SAC的法向量为m则，令1＝1．…….…(5分)图3∴，，330，∴DE．…….…(6)（）解：以O为坐标原点，垂直平分线为x轴，的方向分别为，z轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系．∵AB＝＝4A（，﹣2，B（，2，0，，1，0，，，∴，，，02，…(8)设平面SAC的法向量为＝（，，mxyz111{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}则，令1＝1．…….…(10分)．…….…(12分)设平面的法向量为＝（x，y，z，222则，令2＝1设平面SAC所成锐二面角为θ，则＝＝．所以平面SAC与平面所成锐二面角的余弦值为．…...(13).16.（本题满分分）已知函数xx+﹣2（aR．（1）当a0时，求函数x）的极值；（2）若函数（x[1，上是减函数，求实数a的取值范围．）a＝0时，（x2﹣2，定义域为（0，+……..…(1)，………………..…(2)令fx0，解得x＝1或x1/令′（）＞0＞1，令x0＜x＜1…….......….…(5分)故（xx1处取得极小值，极小值为（1）＝，………………..….…(6)∴（x（11，无极大值．…………………(7)（2）∵x）在区间[12]上为减函数，∴在区间，2]上x0，…….…(8分)∴令，……….….…(10分)，只需ag（）min，…….…………(11)显然在区间[1，上为减函数，∴g（）min＝g（1﹣4＝﹣，…….…(13分)∴a的取值范围是（﹣∞，﹣．………….…(15).∴a≤﹣3．{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}B、1C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A425目B和C中奖的概率都是．（1ABCABC三个项目全部中奖，顾客将获得50得奖券金额的期望；（2A项目的概率．）设一位顾客获得X元奖券，X0，50，，………………...…(1分)1224551232234555541618P(XP(XP(X，…….……(3)25252514233226，………..…(5)55455251221，…………..…(7分)45525165016元．……….…….…(8)所以每位顾客获得奖券金额的期望是EX1002525（2）设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，C分别记为事件N，N，N，………(9)1233111212i7则PMPNPMNi，……………..…(12)34353520i111PNPMN11PNMPM5347所以PNM1，……..….…(14分)1PM21205即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是．………….………(15分).21{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}x22y22,B分别是椭圆E：1E的分）ab3P,b的直线与椭圆E，的面积为1.若过点离心率为2M,NMx作轴的平行线分别与直线AB,NB交相交于C,D.于点（1）求椭圆E的方程.（2）证明：M,C,D三点的横坐标成等差数列.3【解答】（1）依据题意，，.......................（3分）a2x2解得：b1，椭圆的方程为Ey21....................（7分）4c3（2）解法1：设直线MN：xmyn，直线过点P(，mn2.xmyn联立方程组可得：(m24)y22mnyn240，x24y244m2n24(m24)(n24)16(m2n24)02mnn244设M(x,yN(x,y)，则：yy,yy，............（12分）112212m2，12m24：y21x2(1x2lBN:yx1，令yy可得：x，.......................（14分）1Dy21xx2x.C下面证明：1D(1x2x144y(y(yx(44yy即证：1，即证：y21121212(2myy(nmyy)n40.............15整理可得即证：，（分）1212n2442mnm42即证：(2m4)(nm4)2n40，m2整理可得即证：4m2mnn8428(mn，即证：(mn))022(mn)0，分）mn2，上式成立，原式得证.........................................................（17xD(x,yC(x,y)M(x,yN(x,y)(yy解法2：设，轴，1112212D1C1lmxn(y1lP(2m1m.，设直线，过点MNMN:2{#{QQABbYgEogCAABIAAQhCEwHKCAGQkAECCIoOQEAMMAAACBFABCA=}#}mxn(y0由方程组xyxy1y1()28m4n0，可得：当时，x24y2411x2m4，..........................................（12分）x2xDy211111y21B,D,N又三点共线，，1xD4，即1xDy.........................（14分）11111xC2C(x,y)AB:y111上，，...............（15分）点在直线1C2C2xx4()xx2xM,C,D，即.1DC三点的横坐标成等差数列........（17分）P(mn2.1D解法：设直线直线过点可得：(m4)yMN：xmynxmyn联立方程组222mnyn240，x24y242mnn42设M(x,yN(x,y)(yy，则：yy,yy12，......（12分）11221212m2m2441x2x(yx(y8(mn)122142...............（14分）11y21(yy(mn)12x2xD1xD2C11B,D,N，24又三点共线，......（16分）y21111111kABxx2x，CM,C,D三点的横坐标成等差数列.........................（分）1D19.（本题满分分）t，使得数列n满足an1aaa23（n≥1，nN1a为“H（tn（1）判断数列：1，，3，849是否为“H（nn（2）若数列n是首项为2的“H（t）数列”，数列n是等比数列，且a与b满足ni2aaagbb1232，求t的值和数列的通项公式；ni（tSn为数列a的前n11t＞0n与an1的（3nn大小，并证明tSn1SneSnn.）根据“H（）数列”的定义，则＝，故an﹣aaa⋯a＝，123n∵a﹣a＝1成立，aaa＝1成立，a﹣aaa＝﹣1×2×38﹣6＝≠1不成立，21321432