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安徽省亳州市蒙城2023-2024高三上学期期中五校联考数学试题考生注意:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则()A.B.C.D.2.已知复数满足(是虚数单位),则()A.1B.2C.iD.3.下列说法不正确的是()A.,使成立B.“,有”的否定为“,使”C.,有成立D.“,使”的否定为“,有”4.如图,为了测量两山顶间的距离,飞机沿水平方向在两点进行测量,在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案,则需要测量的数据可以是()A.B.C.D.5.已知函数的导函数是,则函数的图象可能是()A.B.C.D.6.在中,与交于点,且,则()A.B.C.D.17.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.8.设,则()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.函数在一个周期内的图象如图所示,则()A.该函数的解析式为B.该函数图象的对称中心为C.该函数的增区间是D.把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到该函数图象10.十六世纪中叶,英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号,并逐渐被数学界所接受,不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和,记两速度的算术平均值为,全程的平均速度为,则下列选项正确的是()A.B.C.D.11.已知函数,函数,则方程解的个数可能是()A.2B.3C.4D.512.已知定义在上的函数可导,且不恒为为奇函数,为偶函数,则()A.的周期为4B.的图象关于直线对称C.D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.__________.14.已知,则在方向上投影向量的坐标为__________.15.已知函数,则不等式的解集为__________.16.已知等腰直角三角形的斜边,且的内切圆圆心为,则其半径__________;若点在以为圆心,1为半径的圆上,则与的面积之比的最大值为__________.(第一个空2分,第二个空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设全部溶解),糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立;(2)在锐角中,根据(1)中的结论,证明:.18.(本小题满分12分)已知向量,其中,且函数的对称轴间的距离最小值为.(1)求的解析式;(2)方程在上有且仅有两个不同的实数解,求实数的取值范围.19.(本小题满分12分)低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,已知国道限速.经数次测试,得到纯电动汽车每小时耗电量单位:)与速度(单位:)的部分数据如下表所示:0104060082524004200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:①;②;③.(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需说明理由),并求出相应的函数表达式;(2)现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶,其中甲、乙两地间国道长度为,求车速为多少时,该车辆的总耗电量最少,最少总耗电量为多少?20.(本小题满分12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若有两个极值点,记过两点的直线斜率为,是否存在使?若存在,求的值;若不存在,试说明理由.21.(本小题满分12分)在中,内角所对的边分别为.现有如下两个条件:条件①;条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知,完成本题解答.你选择的条件是__________.(1)求角;(2)若为边上一点,且.当的面积取到最大值时,求角.注:若多选条件,则按选择第一个条件解答计分.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)证明:时,;(2)当时,证明:不等式对恒成立.
高三数学参考答案、提示及评分细则1.D【解析】由题意,所以.故选D.2.A【解析】原式可化为,解得,则.故选.3.B【解析】对于,当成立,是正确的;对于,“,有”的否定为“,使”,不正确;对于,有成立,所以是正确的;对于D,“,使”的否定为“,有”,是正确的.故选B.4.A【解析】对于选项,当测出,在中,由正弦定理可得,;在中,同理可得,;再在中,由及余弦定理,即可求得间的距离;对于选项,,从而条件不足;对于C选项,同上原因,故不选;对于选项,,从而条件不足.故选.5.B【解析】由题知且不恒等于0,当时,的值由小变大,再由大变小,即函数图象从左到右是单调递增,且变化趋势是先慢后快再变慢,故选B.6.B【解析】由已知得:为的中点,①②由①、②解得.故选B.7.D【解析】由题意可知,因为函数在上单调递增,所以当时,恒成立,即当时,恒成立,因为对称轴为,当时,,所以当时,不恒成立,不符题意;当时,,当时,恒成立,则,解得.故选D.8.D【解析】令,显然,令,令,则,,,即,综上,.故选D.9.ACD【解析】由题图可知,,周期,所以,则,因为当时,,即,所以,即,又,故,从而,故A正确;令,得,故B错误;令,得,故C正确;函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,可得到,故D正确.故选ACD.10.BCD【解析】由题知,和不等式链,可知A不正确,故选BCD.11.ABC【解析】因为的导函数是,所以,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递递减,所以有极小值.另外,有有且,故简图如图所示.所以由图形变换可得的简图如图令,则令方程有两个根分别是和则且,所以且.当时,,有四解;当时,有三解;当时,有两解;故选:ABC.12.AC【解析】为奇函数,则的图象关于对称.又为偶函数,则的图象关于直线对称.所以.则的周期为4,故A选项正确;又,则的图象关于对称,故选项B错误;又,所以,故选项C正确;由以上可知,,但是不知道等于多少,函数的周期为4,则,故D错.综上选AC.13.【解析】由诱导公式,.14.【解析】.15.【解析】易知是上的奇函数,当时,,当时,,当时,,当时,;函数是上的奇函数,当时,,当时,.所以是上的偶函数,且当时,,当时,,当时,,当时.偶函数的性质可知,当时,,当时,,当时,另外,,得,得,得;所以由等价于或得.故答案是:【解析】由题意可知,在边的高线上,且到距离即内切圆半径为,则与的面积之比即为,由于与均为锐角且互余,上式即为.易知最大当且仅当在近侧与圆相切时,此时记切点为,则,所以,即为所求最大值.17.解:(1)若,则.证明:.因为,所以.又,故因此.(2)在锐角三角形中,由(1)得,同理,.以上式子相加得.18.解:(1)由于函数的对称轴间的距离最小值为,从而函数的最小正周期为,所以.综上,..当时,单调递增,此时.当时,单调递减,此时所以满足条件的取值范围为.19.解:(1)由题意显然选择,由表中数据,可得解得,.(2)国道上行驶,所用时间为,则所耗电量为,当时,,当这辆车在国道上的行驶速度为时,该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少,最少为.20.解:(1)由题意得:函数的导函数.当时,,即是切点为,所以,曲线在处的切线方程是:,即;(2)不存在的值假设存在的值,使得易知:是方程的两不等实数解,即且.不妨令,则因为,所以由得:.构造函数:,而恒成立.所以在上单调递增,即.所以当时,恒成立即无解.所以不存在的值,使得.21.解:(1)选条件①:由,及正弦定理,.又为内角,所以,从而,即,则,或(舍去),从而.选条件②:由,及正弦定理,.又为内角,所以,代入上式即得,而,所以,从而.则,或(舍去),因此,.(2)解法一:由为边上一点,且,从而,即.平方,得,即,由基本不等式,,等号当且仅当时成立,此时有最大值,从而面积为也有最大值.当时,由余弦定理,可得由正弦定理,,又,所以.解法二:记,则,分别在和中使用余弦定理,有,.联立上述两式,消去得,又由(1),,所以在中使用余弦定理,有,将此式代入(*),有.余下部分同解法一.解法三:由题意,过点作边的平行线
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