单元1任务4求解一元非线性方程

2024/4/9单元1数据处理1任务4求解一元非线性方程求解一元非线性方程求根方法手工求解Excel求解自编软件求解逐步扫描法(迈步法)二分法牛顿法弦截法2024/4/9单元1数据处理2任务4

求解一元非线性方程思考:以前所学知识的哪方面遇到过求解一元三次以上非线性问题?☆3x3-4x2-43x+84=0☆真实气体p-V-T之间的关系如:vanderWaalsEq(p+a/V2)(V-b)=RT

V3-(b+RT/p)V2+aV/p-ab/p=0☆已知供热量、气体的恒压摩尔热容cp=f(T)=a+bT+cT2，求出口温度T22024/4/9单元1数据处理3任务4

求解一元非线性方程一、一元非线性方程求根方法(一)逐步扫描法(迈步法)☆函数f(x)在区间(a,b)连续,且f(a)与f(b)异号,则区间(a,b)内必定至少有一个实根;☆函数f(x)在区间(a,b)连续并单调(上升或下降),则在区间(a,b)必定只有一个实根;☆选一步长h,计算函数f(a),f(a+h),f(a)与f(a+h)乘积,若乘积大于零,说明该区间内无实根

计算f(a+2h),f(a+h)与f(a+2h)乘积,直至两函数值的乘积小于或等于零,即直至相邻两个函数值异号,此时可把此区间的始点作为方程式根的近似值。这个方法叫迈步法或逐步扫描法。返回2024/4/9单元1数据处理4任务4求解一元非线性方程一、一元非线性方程求根方法(二)二分法设方程f(x)=0通过逐步扫描法已知有根区间为(x1,x2)①取x1与x2的中点x0，即:x0=(x1+x2)/2②检查f(x0)与f(x1)的符号是否相同☆如为同号,根必在x0与x2之间,如图(A)。令:x1=x0

☆如为异号,则根必在x1与x0之间,如图(B)。令:

x2=x0

③再取新区间(x1,x2)的中点,重复以上步骤,直至x1与x2之间的距离小于某指定值

为止。

只要区间(x1,x2)内有根,此法定能求出结果,但收敛速度较慢;

此法只能得到一个实根,需增加一个终值B,当有根区间的终点x2小于终值B,再施行迈步法求下一个实根的近似值,进而求出精确值,如此反复,直至达到或超过终值B为止。返回2024/4/9单元1数据处理5任务4求解一元非线性方程一、一元非线性方程求根方法(三)牛顿法(Newton-Raphson)法假设方程f(x)=0有一个实根x*①取一初值x0,过x0作垂线交曲线f(x)于点P0,过P0点作曲线切线交x轴于x1点,显然x1点较x0点更接近于根x*;②若

(x1－x0)/x0

＜

,则方程根x*=x1,否则按上述同样方法过x1作x轴垂线交于曲线f(x)于点P1,过P1点作曲线f(x)的切线并于x轴相交于x2……，直到

(xk+1－xk)/xk

＜

为止,方程的根为:x*=xk+1

思考:曲线的斜率如何得到?返回2024/4/9单元1数据处理6任务4求解一元非线性方程一、一元非线性方程求根方法(四)弦截法思考:f

(x)很难求得?1)若已知非线性函数f(x)的根区间(x0,x1),过x0、x1作垂线交函数f(x)于P0、P1点,连接P0、P1交x轴于x2点;2)①若f(x2)=0,则方程的解为x*=x2;②若f(x2)

f(x1)＞0,如图(A),则用x2代替x1;③若f(x2)

f(x1)＜0,如图(B),则用x2代替x0;3)用新得到的两个点用以上方法继续迭代,直到相邻两次值满足

(xk+1－xk)/xk)

＜

为止,弦截法的迭代格式为返回2024/4/9单元1数据处理7任务4求解一元非线性方程二、手工求解一元非线性方程例1-8常压气相反应体系某一组分平衡分压p(单位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,试求其分压的数值?思考:p的大致范围?解:以Newton迭代法为例步骤1：令： y=4p3－1.640p2+1.640p－0.410 (1)则: y

=12p2－3.280p+1.640 (2)步骤2:确定p的初值,取为p0=0.3步骤3:将p0=0.3代入式(1),(2)计算得：y=0.04240、y

=1.73600步骤4:

步骤5:计算p0、p1之间相对误差

1

步骤6：判断

1,满足计算结果,否则重复步骤3~6,直到满足要求。

2024/4/9单元1数据处理8任务4求解一元非线性方程二、手工求解一元非线性方程例1-8常压气相反应体系某一组分平衡分压p(单位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,试求其分压的数值?表3-1例3-1手工Newton迭代法计算数据汇总表

迭代次序y计算值y'

计算值p计算值

迭代误差计算值判断10.042401.736000.275588.141E-02>10-3，需重新计算20.00111091.647420.274902.447E-03>10-3，需重新计算37.568E-071.645170.274901.673E-06<10-3，满足精度返回2024/4/9单元1数据处理9任务4求解一元非线性方程三、采用Excel求解一元非线性方程

例1-8常压气相反应体系某一组分平衡分压p(单位atm)符合以下方程:4p3－1.640p2+1.640p－0.410=0,试求其分压的数值?(1)Excel单变量求解具体过程步骤1:单元格中输入:=4*A2^3－1.640*A2^2+1.640*A2－0.410步骤2:单击工具

选择单变量求解

单变量求解对话框2024/4/9单元1数据处理10任务4求解一元非线性方程三、采用Excel求解一元非线性方程例1-4-1(1)Excel单变量求解具体过程步骤3:点击确定按钮,答案出现在单元格A2中“0.2749”说明:B2中的值为0时,说明此根为一精确解。若为某一很小的数可采取以下方法操作调整:单击工具选择“选项”

出现“选项”卡,选择其中“重新计算”,可将其中最多迭代次数和最大误差值进行修改,如将最多迭代次数由“100”改为“10000”,最大误差由“0.001”改为“0.0000001”等,这样可使计算精度得到提高。

2024/4/9单元1数据处理11任务4求解一元非线性方程三、采用Excel求解一元非线性方程例1-4-1(2)应用牛顿迭代法计算原理，采用VBA自编迭代函数求解①打开Excel

工具

宏

VisualBasic编辑器

插入

模块

过程,输入函数名“Newton3”,如右下图所示

②在编辑窗口编写VBA代码,如下图所示2024/4/9单元1数据处理12任务4求解一元非线性方程三、采用Excel求解一元非线性方程例1-4-1(2)应用牛顿迭代法计算原理，采用VBA自编迭代函数求解③在Excel表格中分别输入方程初值、迭代精度及方程中各系数之值;