山东省泰安市东平高级艺术中学2022年高二数学文联考试卷含解析

山东省泰安市东平高级艺术中学2022年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式表示的平面区域（用阴影表示）是参考答案：B2.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简的式子，该式子表示实数时，根据虚部等于0，解出实数t．【解答】解：∵=（3+4i）（t﹣i）=3t+4+（﹣3+4t）i是实数，∴﹣3+4t=0，t=．故选：A．3.椭圆上的点到直线的最大距离为(

)．(A)3

(B)(C)

(D)参考答案：D4.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z） B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z） D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）参考答案：B【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HM：复合三角函数的单调性．【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|yA﹣yB|=4，所以|xA﹣xB|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选B5.已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A．

B．1

C．

D．参考答案：C试题分析：：∵F是抛物线y2＝x的焦点，F（，0）准线方程x=?，设A，B，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|=解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．考点：抛物线的简单性质6.函数在上的最大值是(▲)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略7.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()

A.4

B.

C.

D.8参考答案：D8.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）A． B．1 C．2 D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+）min≥7，将不等式2x+配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a的最小值．【解答】解：∵关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，∴（2x+）min≥7，∵x＞a，∴y=2x+=2（x﹣a）++2a≥+2a=4+2a，当且仅当，即x=a+1时取等号，∴（2x+）min=4+2a，∴4+2a≥7，解得，a≥，∴实数a的最小值为．故选A．9.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=|BN|=x2+1=，∴x2=，把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，∴|AE|=8+1=9，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：D．10.若且，则在

①；

②；③

④.这四个式子中一定成立的有

（

）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为

．参考答案：12.已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是

．参考答案：0＜m≤，或3≤m＜5【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜513.若是实数，是纯虚数，且满足，则参考答案：14.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值为

.参考答案：215.在等比数列中，若，则=

.参考答案：.，，=.16.

已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是____▲____.参考答案：略17.的值为___________；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞-1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.试题分析：（1）根据已知条件求出，对参数的取值进行分类讨论，即可求出的单调区间.（2）将不等式转化为.令，.通过导数研究的单调性，可知，即可求出实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ），当时，，故，∴函数在上单调递增，∴当时，函数的递增区间为，无减区间．当时，令，，列表：＋－＋

由表可知，当时，函数的递增区间为和，递减区间为．（Ⅱ）∵，∴由条件，对成立．令，，∴当时，，∴在上单调递减，∴，即∴在上单调递减，∴，故在上恒成立，只需，∴，即实数的取值范围是．点晴：本题考查的用导数研究函数的单调性和用导数解决不等式恒成立问题.研究单调性问题，首先看导函数对应的方程能否因式分解，否则的话需要对其判别式，进行分别讨论，时原函数单调，,需要对方程的根和区间的端点大小进行比较;第二问中的不等式恒成立问题，首选变量分离转化为确定的函数求最值即可.19.已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣2|．（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）解不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＞1．参考答案：【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，将函数写出分段函数，即可得到函数的图象；（2）结合函数的图象，及函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）=，图象如图所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x＜时，原不等式可化为﹣x﹣1＞1，解得：x＜﹣2，∴x＜﹣2；当≤x＜2时，原不等式可化为3x﹣3＞1，解得：x＞，∴＜x＜2；当x≥2时，原不等式可化为x+1＞1，解得：x＞0，∴x≥2﹣﹣﹣综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.在直角坐标系xOy中，曲线C：+y2=1的右顶点是A、上顶点是B．（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且?=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心与半径，即可求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用向量知识及韦达定理，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意点A（2，0）、B（0，1）故线段AB的中点E（1，），所求圆E的半径r=，故圆E的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=

（2）依题意，直线l：y=kx+2

联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，此时△=16（4k2﹣3）＞0，又k＞0，故k＞．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=?=x1x2+y1y2=2k（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4==0，由k＞0得k=2

故所求直线l的方程是y=2x+2．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…..又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．

…..（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．

…..由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因为PF?平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由得取p=2，则

q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩A