广东省茂名市高州第一高级中学2022-2023学年高二数学文联考试题含解析

广东省茂名市高州第一高级中学2022-2023学年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为(

)A． B.

C.

D.参考答案：A略2.关于下列几何体，说法正确的是（）A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解．【解答】解：∵图①的上下底面既不平行又不全等，∴图①不是圆柱，故A错误；∵图②的母线长不相等，故图②不是圆锥，故B错误；∵图④的上下底面不平行，∴图④不是圆台，故C错误；∵图⑤的上下底面平行，且母线延长后交于一点，∴图⑤是圆台，故D正确．故选：D．3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得?=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．2

B．2

C．4

D．4参考答案：A圆方程化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心C(3,0)，r＝2，所以双曲线焦点F(3,0)，即c＝3，渐近线为ay±bx＝0，由圆心到渐近线的距离为2得＝2，又a2＋b2＝9，所以|b|＝2，即b2＝4，a2＝c2－b2＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为－＝1.5.方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【专题】常规题型；计算题．【分析】欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．【解答】解：由于方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根，∴△≥0，即1﹣4n≥0，?n≤，又n∈（0，1），∴有实根的概率为：P=，故选C．【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、二次方程等基础知识，考查计算能力．属于基础题．6.已知函数，在上任取一点

，则的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略7.已知向量，，且∥，则m等于

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B8.（1）在等差数列{an}中，已知d=2，n=15，an=﹣10，求a1及Sn；（2）在等比数列{an}中，已知a2+a3=6，a3+a4=12，求q及S10．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】（1）根据条件和等差数列的通项公式列出方程，求出a1的值，代入等差数列的前n和项公式求出Sn；（2）根据条件和等比数列的通项公式列出方程组，求出a1和q的值，代入等比数列的前n和项公式求出S10．【解答】解：（1）∵d=2，n=15，an=﹣10，∴an=a1+（n﹣1）d=a1+14×2=﹣10，解得a1=﹣38，∴Sn===﹣360；…（2）∵a2+a3=6，a3+a4=12，∴，解得a1=1，q=2，∴S10===1023…9.把化为十进制数为（

）

A．20 B．12 C．10 D．11参考答案：C略10.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),有,则(

)A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调减区间为

▲

.参考答案：12.若，是第三象限的角，则=

。参考答案：13.M是圆x2+y2–6x+8y=0上的动点，O是原点，N是射线OM上的点，若|OM||ON|=150，则N点的轨迹方程是

。参考答案：3x–4y–75=014.若函数，则x2017=．参考答案：【考点】8H：数列递推式；3T：函数的值．【分析】根据数列的递推关系，构造数列{}，得到数列{}是等差数列，结合等差数列的通项公式进行求解即可．【解答】解：∵，∴xn+1=，则==+，即﹣=，则数列{}是公差d=的等差数列，首项为1，则=1+（n﹣1），则=1+=1+504=505，则x2017=，故答案为：15.设函数，则使得成立的x的取值范围是________.参考答案：【分析】先确定的奇偶性，再确定的单调性，最后根据单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，求解即可.【详解】由题意知的定义域为R，又，故是偶函数，当时，，是单调递增函数，在是单调递增函数，根据复合函数的单调性可得在是单调递增函数，则函数偶函数，且在区间上单调递增，原不等式等价于，，解得，所以本题答案为.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则.16.一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于时，方盒的容积最大．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据条件求出容积的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，由导数可得在x=时函数V（x）有最大值．【解答】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x，则无盖方盒的容积V（x）=（a﹣2x）2x，0＜x＜；即V（x）=（a﹣2x）2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜；V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），∴当x∈（0，）时，V′（x）＞0；当x∈（，）时，V′（x）＜0；故x=是函数V（x）的最大值点，即当x=时，方盒的容积V最大．故答案为：17.由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与拋物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．参考答案：法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与拋物线C相切；(2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与拋物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与拋物线C相切；当m≠1时，直线l′与拋物线C不相切．法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.解得

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同法一．

19.已知函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}．（1）求实数a的值；（2）f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）由函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，知x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的两个实数根，由此能求出实数a．（2）由f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，知﹣4≥m2﹣4m﹣9，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，∴x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的两个实数根，所以﹣1+5=8﹣2a，解得a=2．（2）∵a=2，∴f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，因为f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，所以﹣4≥m2﹣4m﹣9，即m2﹣4m﹣5≤0，解得﹣1≤m≤5，故实数m的取值范围是{m|﹣1≤m≤5}．20.已知过点Q（，0）的直线与抛物线C：y2=4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求证：y1y2为定值．（Ⅱ）若△AOB的面积为（O为坐标原点），求直线AB的方程．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）分直线与x轴垂直和不垂直分析，当直线与x轴垂直时直接求出y1y2．当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y1y2为定值；（Ⅱ）利用弦长公式求出AB的长度，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式求得k值，则直线AB的方程可求．【解答】（Ⅰ）证明：当直线AB垂直于x轴时，，得．∴y1?y2=﹣18；当直线AB不与x轴垂直时，设直线方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立，得ky2﹣2y﹣18k=0．由根与系数的关系可得：y1?y2=﹣18．综上，y1y2为定值；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，∴|AB|==．O到直线AB的距离d=．∴，解得k=．∴直线AB的方程为，即2x+3y﹣9=0或2x﹣3y﹣9=0．21.参考答案：（Ⅲ）由解得∴直线与函