北京敬业中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试卷含解析

北京敬业中学2022-2023学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球，则摸到1号球的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】首先根据题意，将试验对应的基本事件找出，之后将满足条件的基本事件数出来，利用古典概型概率公式求得结果.【详解】从中随机摸出2个小球的方法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10种，其中摸到1号球的方法有4种，所以所求概率为=,故选B.【点睛】该题考查的是有关古典概型的问题，属于简单题目.2.设，则＝(

)A.

B.0

C.

D.1参考答案：D略3.．曲线f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．3参考答案：B【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++），运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=+b，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为2a+b，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++）≥（10+2）=×（10+8）=9．当且仅当b=4a=时，取得最小值9．故选：B．4.集合，那么“”是“”A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B5.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是

A、垂直

B、平行

C、相交不垂直

D、不确定参考答案：A6.下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】这种问题考查的内容比较散，需要挨个检验，A中众数有两个4和5，又因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率．【解答】解：对于A：众数有两个4和5，A是错误；对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7.复数，则

（

）A.1B.C.D.参考答案：B略8.

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D9.如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③参考答案：C【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选

C．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．10.下面使用类比推理正确的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”参考答案：C本题主要考查类比推理的知识.因为a=1,b=2时,结论a·0=b·0不成立,所以A错误;因为a=1,b=1,c=2时,(a·b)c=2,ac·bc=4,所以B错误;由运算的性质可知,C正确;因为a=b=1,n=2时,(a+b)n=(1+1)2=4,an+bn=12+12=2,所以D错误.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题：“?x＜﹣1，x2≥1”的否定是．参考答案：?x＜﹣1，x2＜1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“?x＜﹣1，x2≥1”的否定是?x＜﹣1，x2＜1；故答案为：?x＜﹣1，x2＜1．12.在线性回归模型中，总偏差平方和为13，回归平方和为10，则残差平方和为____________参考答案：3

略13.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为原点），且，则双曲线的离心率为

．参考答案：略14.函数=的导数是=___________参考答案：略15.设，则与的夹角为

.参考答案：16.在1L高产小麦种子中混入1粒带麦锈病的种子，从中随机取出20mL，则不含有麦锈病种子的概率为

．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】先计算出在1L高产小麦种子中随机取出20mL，恰好含有麦锈病种子的概率，进而根据对立事件概率减法公式，得到答案．【解答】解：在1L高产小麦种子中随机取出20mL，恰好含有麦锈病种子的概率P==，故从中随机取出20mL，不含有麦锈病种子的概率P=1﹣=；故答案为：【点评】本题考查的知识点是几何概型，对立事件概率减法公式，难度中档．17.若向量的夹角为，，则的值为

．参考答案：∵，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；（2）分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望和方差、，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）根据古典概型的概率公式以及事件的独立性的性质，即可得出答案；（2）根据超几何分布以及二项分布的性质得出对应的期望和方差，由，作出判断.【详解】（1）甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为则，乙班级能正确回答题目人数，取值分别为，由可得，由甲班级代表学校参加大赛更好.【点睛】本题主要考查了利用方差和期望解决决策型问题，属于中档题.19.已知椭圆方程为：+=1（a＞b＞0）过点P（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）过原点的直线交椭圆于B，C两点，A（1，），求△ABC面积最大值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意知，e=，b=1，a2﹣c2=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设直线l的方程与椭圆C联立，C（x1，y1），B（x2，y2），利用弦长公式求出CB，A到CB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．【解答】解：（1）由题意知，e=，b=1，a2﹣c2=1，…解得a=2，所以椭圆的标准方程为．…（2）由题意知，直线l的斜率存在时，直线l：y=kx．设直线l与椭圆交于C（x1，y1），B（x2，y2）两点，由得可得（4k2+1）x2﹣4=0，x1+x2=0，x1x2=．|CB|=|x1﹣x2|=，A到CB的距离为：d=，∴△ABC面积s=|CB|×d=×=×=．∵k+≥2或k+≤﹣2，当且仅当k=时取等号．所以当k=﹣时，△ABC面积最大值2．20.（1）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件？（2）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件？参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）要判断是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件，即判断是否存在实数m，使2x+m＜0的解集是x2﹣2x﹣3＞0解集的子集，根据集合之间关系的判定，我们不难给出实数m的范围．（2）要判断是否存在实数m，使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件，即判断是否存在实数m，使x2﹣2x﹣3＞0的解集是2x+m＜0的解集的子集，根据集合之间关系的判定，我们不难给出实数m的范围．【解答】解：（1）欲使得2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件，则只要或x＞3}，则只要即m≥2，故存在实数m≥2时，使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的充分条件．（2）欲使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件，则只要或x＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m时，使2x+m＜0是x2﹣2x﹣3＞0的必要条件．21.（本小题满分12分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.（I）求证：平面；（II）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.参考答案：（I）证明：在梯形中，∵,，∠＝，∴

…2分∴∴∴⊥

…3分∵

平面⊥平面,平面∩平面,平面∴

⊥平面

…5分（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，∴

…………7分设为平面MAB的一个法向量，由得

取，则，…………8分

∵是平面FCB的一个法向量

∴

………10分

∵

∴当时，有最小值，

当时，有最大值。

∴

…12分略22.（本小题满分15分）已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点．(I)求证：∥平面；(II)求证：⊥平面；(III)求二面角的余弦值．参考答案：解：方法1：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，则A（