广西壮族自治区桂林市田家炳中学高二数学文上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区桂林市田家炳中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某段铁路中的所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是

A.8 B.12 C.16 D.24参考答案：B

设有个车站，则，解得：.

2.已知对任意实数，有，且时，，则时（

）A． B．C． D．参考答案：B略3.若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]参考答案：A【考点】函数最值的应用．【分析】分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，∴﹣2＜a＜2．综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故选A．【点评】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．4.若变量x，y满足约束条件，且z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，1）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的动点P（x，y）到定点D（a，0）的斜率，由图象知当﹣1≤a≤0时，DP的斜率没有最大值，当a≤﹣2时，DB的斜率最大，不满足条件．当﹣2＜a＜﹣1时，DA的斜率最大，此时满足条件．故选：C．5.已知数列{an}：，+，++，+++，…，那么数列{bn}={}的前n项和为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【分析】先求得数列{an}的通项公式为an==，继而数列的通项公式为==4（），经裂项后，前n项的和即可计算．【解答】解：数列{an}的通项公式为an===数列的通项公式为==4（）其前n项的和为4[（）+（）+（）+…+（）]=故选A6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用公理三及推论判断求解．【解答】解：在A图中：分别连接PS，QR，则PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．D图中：PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面．故选：D．【点评】本题考查四点不共面的图形的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面性质及推论的合理运用．7.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．8.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）

（A）

（B）6

（C）

（D）12参考答案：C9.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 参考答案：D略10.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知三棱锥是正三棱锥，底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为1的三角形，所以AB=，侧视图的高是棱锥的高：，∴S△VAB=×AB×h=××=．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，，，其中为常数，则的积等于

．参考答案：－1略12.从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出-1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：

．．参考答案：13.椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

．参考答案：1614.若圆以抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是__

.参考答案：略15.命题“若，则圆过原点”的否命题是___________．参考答案：若，则圆不过原点∵若则的否命题是若则，所以“若，则圆过原点的否命题”是“若，则圆不过原点”．

10．椭圆的离心率是___________．【答案】【解析】将化为标准方程，∴，，，∴离心率．16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，分别交y轴和该渐近线于M，N两点，且=3，则=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】数形结合；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设渐近线的方程为y=x，过N作x轴的垂线，垂足为P，根据向量关系建立长度关系进行求解即可．【解答】解：设渐近线的方程为y=x，过N作x轴的垂线，垂足为P，由=3，得==，得N的坐标为（，），∵NF2⊥ON，∴=﹣，化简得=，则=，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线向量的计算，根据条件结合向量共线的条件进行转化是解决本题的关键．17.若的展开式中的系数是，则

．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；三点共线；椭圆的标准方程．【分析】（1）在直线x﹣y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，故c=b=1，a2=2，由此能求出椭圆方程．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（，），所以②法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0，由此能够证明PA⊥PB．法二：设P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），则C（x0，0），由A、C、B三点共线，知=，由此能够证明PA⊥PB．【解答】解：（1）在直线x﹣y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，由题意得c=b=1，∴a2=2，则椭圆方程为．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（，），所以．②解法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣4=0，由，因此，∴，，∴，∴，故PA⊥PB．解法二：由题意设P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），则C（x0，0），∵A、C、B三点共线，∴=，又因为点P、B在椭圆上，∴，，两式相减得：，∴=﹣=﹣1，∴PA⊥PB．19.等比数列中，已知

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。参考答案：解：（I）设的公比为

由已知得，解得……….4分

（Ⅱ）由（I）得，，则，

设的公差为，则有解得……….8分

从而

所以数列的前项和……….10分20.（13分）如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．

(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，…………5分所以异面直线与所成角的余弦值为…………6分（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又……….8分由平面，得即故，此时.………………10分经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时…………13分21.已知数列中，,.（1）求，的值；（2）求证：是等比数列，并求的通项公式；（3）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

参考答案：解：（1）由知，，

又是以为首项，为公比的等比数列，

………………

6分

（2），

，

两式相减得

，

……………………

9分…………10分若n为偶数，则……11分若n为奇数，则……13分

……………………14分

略22.已知函数f（x）=x2﹣x，g（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出g'（x）=ex﹣a，由a≤0和a＞0分类讨论，由此能求出结果．（2）当x＞0时，令，则令φ（x）=ex（x﹣1）﹣x2+1（x＞0），则φ'（x）=x（ex﹣2），由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）=ex﹣ax﹣1，∴g'（x）=ex﹣a①若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；②若a＞0，当x∈（﹣∞，lna]时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．（2）当x＞0时，x2﹣x≤