2022-2023学年北京第四十四中学高二数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年北京第四十四中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知是第二象限角,（）A． B． C． D．参考答案：A略3.如果，那么

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数参考答案：B略5.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是（

）.（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定参考答案：B6.对“a、b、c至少有一个是正数”的反设是

（

） A．a、b、c至少有一个是负数 B.a、b、c至少有一个是非正数 C．a、b、c都是非正数

D.a、b、c都是正数

参考答案：C略7.命题“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8.若，则A.8 B.7 C.6 D.4参考答案：A【分析】根据排列数，组合数的公式，求得，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，即，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.为虚数单位，则=(

) A． B. C． D．

参考答案：C10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点F2且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三棱锥外接球的球心为，半径为，且．则

.参考答案：12.已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．【解答】解：如上图所示利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与y=建立方程组解得：M（1，）|CM|=4﹣点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3抛物线的准线方程：y=﹣1则：，|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4故答案为：4【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．13.已知的展开式中的常数项是＿＿＿＿（用数字作答）；参考答案：1514.抛物线y=2x2的焦点坐标是

▲

。参考答案：略15.等差数列中，，则=

．参考答案：16.某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数是__________．参考答案：408【分析】按上午第一节课排数学和不排数学分类讨论即可.【详解】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可排在其余5节课，故有种；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理任何一门，有种排法，数学应该排在第二节、第三节或第四节，有种排法，余下四节课可排余下四门课程，有种排法，故上午第一节课不排数学共有，综上，共有种不同的排法.故填408.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如某些人不能排首位等，可先考虑首位放置其他人，然后再排其他位置；（2）先选后排，比如要求所排的人来自某个范围，我们得先选出符合要求的人，再把他们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．17.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将折起到的位置，使得，连结PA，PB，PD（如图2）．（1）求证：；（2）求点A到平面PBD的距离．参考答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出平面，然后由线面垂直的性质定理平面，从而可使问题得证；（2）分别把和当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可．试题解析：（1）证明：∵分别是和的中点，∴．又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）∵正方形的边长为，∴，∴是等腰三角形，连结，则，∴的面积．设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为，由（1）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：，∵，即，解得，即三棱锥高为．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、三棱锥的体积．19.（本小题满分12分）．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．参考答案：解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.

略20.以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程存在吗？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程．【解答】解：设这样的直线存在，其被抛物线截得弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则yi2=8x1，y22=8x2①…①中两式做差，得（y2+y1）（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），∴kAB=﹣4．…得直线方程y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．②…将②与曲线y2=8x联立，得16x2﹣32x+9=0，△=（﹣32）2﹣4×16×9＞0（必须检验！）…∴弦所在直线方程为4x+y﹣3=0．…21.已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而??6558764又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22.（12分）（2015秋?胶州市期末）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证：m＜n；（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．参考答案：【分析】（1）求导得f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，从而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，从而确定t的取值范围；（2）借助（1）可知，f（x）在x=1处取得极小值e，求出f（﹣2）=m=＜e，则f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而得证；（3）化简=﹣x0，从而将=（t﹣1）2化为﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0；∴t的取值范围为（﹣2，0]．（2）证明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，∴f（x）在x=1处取得极小值e，又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）．从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；（3）证明：∵=﹣x0，∴=（t﹣1）2可化为﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，则证明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并讨论解的个数．∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，则方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，又∵g（0）=﹣（t﹣1）2＜0，∴方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有两解；③当t=