上海市奉贤区2023年高三《数学》上学期期中试卷与参考答案

上海市奉贤区2023年高三《数学》上学期期中试题与参考答案一、填空题本大题满分54分，4×6＝24分，5×6＝30分。1.已知集合，，则______．【答案】{2，0}【分析】先得到集合，然后利用交集的概念进行运算即可.【详解】由题可知：，所以所以，故答案为：。2.在复平面内，复数z对应点为，则______．【答案】2【分析】根据坐标即知，再根据乘法运算即可求解.【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以．故答案为：23.函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：4.一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒【答案】5【详解】，．5.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.6.在的展开式中，的系数为______．【答案】1【分析】由二项式定理求解【详解】展开式的通项公式为，令，解得，即的系数为，故答案为：17.已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．【答案】##0.25．【分析】易知直线经过圆心，得到，再利用不等式即可求解.【详解】圆的圆心，因为直线是圆的一条对称轴，故直线经过圆心，即得，则，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为．故答案为：.8.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.【详解】由题意，，①若，则不等式的解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以；②若，则不等式无解，不满足题意；③若，则不等式解为：，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以.综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.9.已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．【答案】1【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组即可求解.【详解】设，由题意得，当公比时，有，解得，．当公比时，是常数列，不满足是、的等差中项.综上：，.故答案为：110.设，求方程的解集__________.【答案】【分析】分四种情况去绝对值求解即可.【详解】当时，原方程化为：，即，故此时；当时，原方程化为：，即，故此时，与矛盾，舍掉；当时，原方程化为：，即，解得，与矛盾，舍掉；当时，原方程化为：，即，故此时；综上所述：方程的解集为：.故答案为：.11.已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____．【答案】-4【分析】设等差数列的公差为，由，，可得：，解得：．令，解得．进而得出．【详解】解：设等差数列的公差为，，，，解得：．．令，解得．时，前项和取得最小值，为．故答案为：.12.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.的最小值为___________【答案】【分析】设，，则，利用向量的数量积的运算律和定义，将化为关于的函数，利用三角函数知识可求出最小值.【详解】设，，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：二、单选题本大题满分18分，4×2＝8分，5×2＝10分。13.下列说法中正确的是A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两个平面平行【答案】B【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.14.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为．A. B. C. D.【答案】B【详解】试题分析：根据抛物线焦半径公式，解得．考点：1．抛物线方程；2．抛物线的几何意义．15.若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据奇偶性得，作差比较得，结合单调性得结果.【详解】∵是偶函数，∴，而，∴，∵函数在上是减函数，∴，故选：C.16.甲乙两选手进行围棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制（前两局各有胜负则进行第三局），则甲最终获胜的概率为（）A.0.72 B.0.704 C.0.604 D.0.648【答案】D【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案.【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜输胜，输胜胜，故甲获胜的概率为：.故选：D.三、解答题本大题满分78分，14＋14＋14＋18＋18。17.为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?【答案】见解析【详解】试题分析：解：由，得，即当，即时，直线和曲线有两个公共点；当，即时，直线和曲线有一个公共点；当，即时，直线和曲线没有公共点．考点：本题考查直线与圆锥曲线的关系．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法，求出△=72k2-28，是解题的关键，若圆锥曲线为双曲线时，有要想着讨论二次项的系数是否为零．18.如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.（1）求圆柱的表面积；（2）求二面角的大小.【答案】（1）（2）【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】，，，底面圆的半径，圆柱的侧面积为，又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.【小问2详解】方法一：连接，平面，平面，；，即，，平面，平面，又平面，；即为二面角的平面角，，，，，即二面角的大小为.方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，是平面的一个法向量，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的大小为，即.19.在中，已知内角，边.设内角，周长为.（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．【答案】（1），（2）最大值.【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化到最简；（2）由（1），根据的范围求得的范围，由此求得的最大值.【详解】（1）因为，且，所以，由，得，即.由正弦定理得：，所以，所以，所以.（2）由（1）得，因为，所以，所以当时，取得最大值为.20.2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分频率0.10.10.30.30.2（1）如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）6人，2人（2）（3）分布列见解析，【解析】【分析】(1)结合频率分布表，求出抽样比，进而即可得到答案；(2)结合超几何分布即可求解；(3)结合已知条件，利用二项分布即可求解.【小问1详解】因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为，所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．【小问2详解】抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率.【小问3详解】由题意知，的可能取值，，，．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布，；；；．故的分布列为数学期望.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【小问1详解】解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.【小问2详解】