高考一轮复习专项练习数学课时规范练37空间向量及其运算

课时规范练37空间向量及其运算基础巩固组1.(2020江西南昌八一中学质检)已知向量a=(2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,2,1).若a⊥(bc),则x的值为()A.2 B.2 C.3 D.32.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OMB.OMC.MA+MBD.OM+OA3.(多选)给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么A,B,D.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底4.下列向量与向量a=(1,2,1)共线的单位向量为()A.-12C.-125.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若AB=(2,1,4),AP=(1,2,1),AC=(4,2,0),则()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC6.(2020四川三台中学实验学校高三月考)如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MNA.12a+16bB.12a16b+C.12a16bD.12a+16b+7.若a=(2,3,5),b=(3,1,2),则|a2b|=()A.72 B.52 C.310 D.638.(多选)已知向量a=(1,1,m),b=(2,m1,2),则下列结论中正确的是()A.若|a|=2,则m=±2B.若a⊥b,则m=1C.不存在实数λ,使得a=λbD.若a·b=1,则a+b=(1,2,2)9.已知a=(3,2λ1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=;若a∥b,则λ+μ=.

10.(2020上海七宝中学期末)在正方体ABCDA1B1C1D1中,给出下面四个命题:①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1A)2;②AD11.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1(2)设E是棱DD1上的点,且DE=23DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,综合提升组12.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,ab,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,ab,c}下的坐标为()A.12,C.3,-113.已知空间直角坐标系Oxyz中,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(A.12,C.43,14.(2020山东烟台高三期末)如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1.若BD⊥AN,则λ的值为;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为.

创新应用组15.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥PD;(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.参考答案课时规范练37空间向量及其运算1.A∵bc=(2,3,1),∴a·(bc)=4+3x+2=0,解得x=2.故选A.2.CM与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,对于A选项,由于111=1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于15+13+12≠1,所以不能得出M对于C选项,由于MA=MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=OA-OB-OC,而111=3≠1,所以不能得出M,3.ACD选项A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A正确;选项B,根据空间基底的概念,可得B不正确;选项C,由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,又由BA,BM,BN过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,选项D,由{a,b,c}是空间的一个基底,则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.故选ACD.4.C由|a|=1+2+1=2,∴与向量a共线的单位向量为12,-25.AC因为AP·AB=0,故A正确;BP=AP-AB=(3,3,3),AP·BP=3+63=6≠0,故B不正确;BC=AC-AB=(6,1,4),|BC|=62+12+(-4)2=53,6.A由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=237.C∵a=(2,3,5),b=(3,1,2),∴a2b=(8,5,1),∴|a2b|=82+(-5)28.AC对于A,由|a|=2,可得12+(-1)2+m2=2,对于B,由a⊥b,可得2m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,若存在实数λ,使得a=λb,则1=-2λ,-1=λ(m-1),m=2λ,显然对于D,若a·b=1,则2m+1+2m=1,解得m=0,于是a+b=(1,2,2),故D错误.故选AC.9.35710因为a⊥b,则a·b=3(μ+1)+0+2μ=0,若a∥b,则a=mb,即(3,2λ1,1)=m(μ+1,0,2μ),故3=解得λ=12,μ=10.①②③设正方体的棱长为1.建立空间直角坐标系,如图,A1A=(0,0,1),A1D1=(1,0,0),A1B1=(0,1,0),则A1A+A1D1+A1B1=(1,1,1),故(A1A+AAD1=(1,0,1),A1B=(0,1,1),设AD1与A1B夹角为θ因为0°≤θ≤180°,所以AD1与A1BA1C=(1,1,1),C1D=(0,1,1),A1C·C1D=正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB||A1A||AD|,但是|AB·BC·C11.解(1)∵AB+AD=AC(2)∵=23=2=12∴x=12,y=12,12.B设向量p在基底{a+b,ab,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(ab)+zc=(x+y)a+(xy)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=13.C设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ使得OQ=λOP即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以QA=(1λ,2λ,32λ),QB=(2λ,1λ,22λ),则QA·QB=(1λ)(2λ)+(2λ)(1λ)+(32λ)(22λ)=2(3λ28λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=43时,取得最小值23,此时Q14.3123(1)取空间中一个基底:AB=a,AD=b,AA1=c,设AB=AD=AA1=1,因为BD⊥AN,所以BD·AN=0,因为BD=AD-AB所以(ba)·(c+λb)=0,所以12+λ32-λ2=0,所以(2)在AD上取一点M1使得A1N=AM1,连接M1N,M1M,M1B,因为A1N∥AM1,且A1N=AM1,所以四边形AA1NM1是平行四边形,所以AA1∥NM1,AA1=NM1,又AA1∥BB1,AA1=BB1,所以BB1∥NM1,BB1=NM1,所以四边形BB1NM1是平行四边形,所以NB1∥M1B,NB1=M1B,又因为M1B⊄平面AB1N,NB1⊂平面AB1N,所以M1B∥平面AB1N,又因为BM∥平面AB1N,且BM∩M1B=B,所以平面M1MB∥平面AB1N,所以MM1∥平面AB1N,又因为平面AA1D1D∩平面AB1N=AN,且MM1⊂平面AA1D1D,所以M1M∥AN,所以△AA1N∽△MDM1,所以A1NDM1=15.(1)证明∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,由题意B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0)