安徽省颍上第一中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试卷（含解析）

颍上一中新高二开学考

数学试题

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求.

L设集合人小昨T"}，八2=一"6川，贝科(AcB)=()

A.0B.{0}C.{xeR|x*0}D.R

答案：C

解析：解不等式得一IWX—141,即0WxW2,因此A={x|0WxW2},

当-我於1时，03242，则一24-*2<0，因此B={x|-2WxW0},

所以A8={0},条(A3)={XGR|XH0}.

故选：C

2.已知复数2="(i为虚数单位)，则Z的共规复数1=()

1-i

A.l-2iB.2-4iC.l+2iD.2+4i

答案：A

3+i(3+i)(l+i)

解析：因为z===*^T=l+2i,所以5=l—2i.

l-i(l-i)(l+i)

故选：A

.(n)1.f5n)(2n)

3.已知cos一—a|=-,n则lsin|—+acos----a|=()

16J3I6JI3)

88

A.9-9-

答案：A

解析：由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得

71\

-sin——a

6

2

71=cosf--a-1=--18

-sin2——a

(6)9

679

故选：A.

4.某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号后再放回池中，经过一段时间后，再从该鱼池中捕得100,经

过发现有记号的鱼有10条(假定该鱼池中鱼的数量既不减少也不增加)则池中大约有鱼()

A.120B.100()条C.130条D.1200条

答案：D

解析：设池中有鱼约x条，则由题意可知?=超，解得x=1200,故池中鱼约有1200条.

100x

故选：D.

5.命题“Vxe(l,2),log2X-a<0”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.«>()B.a>2C.a>\D.a<4

答案：B

解析：因为命题Vxe(l,2),log2X-a<0是真命题，当xe(l,2)时，OvlogzXcl,若a>log?x恒成立,

则a21,结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a22,

故选:B.

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，

被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的

位移y(m)和时间z(s)的函数关系为y=sin3+0乂0>0,|同<兀)，如图2,若该阻尼器在摆动过程中连

续三次到达同一位置的时间分别为％,G，与(0<4々2<幻，且4+A=2，L+今=5，则在一个周期

内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为()

图1图2

124

A.-SB.-SC.IsD.-S

333

答案：C

—27r27t

解析：因为4+%=2,»2+4=5,4=7,所以T=3,又T=—,所以①=——，

CD3

（2兀、（2n、

则y=sin[7f+ej,由y>0.5可得sin—/+^J>0.5,

,712715兀_,,„

所以2kjtH—<—f+°<--F2kit,keZ,

636

所以3Z+，--^-e<f<*-3e+3Z,keZ,故（3左+』一39）一（3左+=i,

42兀42兀142无JI42nJ

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.

故选：C.

7.若。>人>1,0<。<1,则（）

A.ac<bcB.abc<bae

C.log“c>log%cD.aAoghc>b\ogac

答案：C

解析：因为a>b>l,0<c<l,令y=x"则该函数在(0,+8)为增函数，.•.废>厅，故A错误;

/>c"C

令〉=》小，则该函数在(0,+~)为减函数，则幺〉幺，则有a。'>6优，故B错误;

ba

令y=k>g,x,则该函数为减函数，所以0>log,力>k>g(.a,.则log/,c<log“c<0,故c正确；

由C可知，log“c<log„c<0,又a>b>l,所以al0gzicvalog/cblog”c,故D错误；

故选：C.

8.已知函数/(x)是定义域为R的偶函数为奇函数，当xe[0,l]时，f(x)=k-2x+a,若

〃0)+〃3)=6,则〃1脸96)=()

答案：c

解析：因为/(X+1)为奇函数，所以x+l)=—〃x+l),又为偶函数，

所以/(_x+l)=/(x_l),所以/(x_l)=_/(x+l),即/(x)=_/(x+2),

所以〃x+4)=—〃x+2)="x),故〃x)是以4为周期的周期函数；

由/(—x+l)=_/(x+l),易得=/(3)=/(—1)=/(1)=0,所以/(0)=6,

所以Z+Q=6,2%+。=0,解得左=—6,a=12；

所以

=一；

/(log,96)=/(5+log23)=/(l+log23)=-/(log23-1)=-/log.3

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.如图，在正六边形A3CDE/7中，下列命题正确的是()

AC+AF=2BC

AD^AB+AF

ACAD^ADAE

ADAF]EF^AD-AFEF

答案：ACD

解析：选项A:•.•4C+4F=AC+CD=4Q=28C，，A正确.

选项B:取AO的中点为。，如上图所示，则AQ=24O=24B+2AF，，B错误.

选项C:在正六边形中，/84。=/。4。=2,乙4。。=工,所以，4。。中，ZACD=-，贝U

632

AC-AD=|AC,阿cosZDAC=；

同理，AD-AE=\AE^,AC-AE,;.c正确.

jr27r1

选项D:设六边形边长为1,则AO・AF=2xlxcos—=1,AF£F=lxlxcos——=一一，原式化简为：

332

1--

EF=—AD,D正确.

2

故选:ACD.

io.若函数y（x）在区间勿3〈份上的值域是3，b］,则称区间m，句是函数於）的一个“等域区间”.下列

函数存在“等域区间”的是（）

A.y-x2-x+1B.j；=2'-1C.y=2+lgxD.y=sinx

答案：BC

解析：对于A,y-x2-x+l^；,+8］且对称轴为工=，，贝也。,切07，-H»I,

L4J2L4）

函数在加上单调递增；

对于D,y=sinxe［-l,l］,则［a,。］工［一1,1］,函数在［a,1上单调递增；

对于BC,函数在定义域内单调递增；

由题意可知，当兀0与直线y=x至少有2个交点时，符合题意，

因为函数）=%2一2%+1只有1个零点，所以y=/-x+l与直线y=x只有i个交点，A错误.

在同一坐标系中作出y=2'-l与直线y=x的图象,

由图象可知，旷=2'-1与直线丁=%有2个交点，B正确.

在同一坐标系中作出y=2+lgx与直线y=x的图象

由图象可知，y=2+lgx单调递增且与直线y=x有2个交点，c正确.

在单位圆中，由三角函数的定义可得当且仅当x=0时，sinx=x,当在同•一坐标系中作出y=sinx与直

线丁=%的图象

由图象可知：y=sinx与直线y=x只有1个交点，D错误.

故选：BC.

11.如图，在棱长为1的正方体A8C。一44GA中，M、N、P分别是GA、GC、AA的中点，则

下列结论正确的是（）

A.M、N、B、。］四点共面

B.平面截正方体所得截面为等腰梯形

C.三棱锥A-MNB的体积为

24

D.异面直线MN与2P所成角的余弦值为雪

答案：BCD

解析：以点。为坐标原点，D4、DC，所在直线分别为x、＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系，

则A（l,0,0）、8（1,1,0）、C（0,l,0）,。（0,0,0）、4。,0,1）、4（1,1,1）、C,（0,1,1）.

小。，3

对于A选项，0,«=(1,1,-1),AM=[o,g,o],AN=(0,l,—g

设D[N=mD[B+几RM,BPf0,1,——j+nf0,—,0

tn=O

m+g〃=l,该方程组无解，所以，M、N、B、。四点不共面，A错;

所以，〈

1

-m=——

2

对于B选项，MN=(0,g,一；),46=(0,所以，%B=2MN,则

正，同理可得BN=@,即4M=BN,

又因为A.M=,4£＞；+£)*二

22

所以，平面AMN截正方体所得截面为等腰梯形ABMM,B对;

111

对于C选项,S△认MN=3MN,C、N=K^)=-,

VfifMN=GS&QMN.BC=7义3乂'=不，C对；

3Jo

对于D选项，D,P=fl,O,-1\MN=(0,g,—g)

I

RPMN4V10

所以,

\/mu拉M互vio

TxV

异面直线MN与所成角的余弦值为典，D对.

因此,

10

故选：BCD.

12.把定义域为［0,+。)且同时满足以下两个条件的函数/(x)称为“C函数”:(1)对任意的xe［0,+»),总有

〃x"0；⑵若x>0,y之0,则有/(x+y)>/(x)+/(y)成立,下列说法正确的是()

A.若/(x)为“C函数"，则"0)=0

B.若/(x)为“。函数”，则“X)一定是增函数

/、fO,xeQ「、

C.函数g(x)=《在［0,+8)上是“C函数”

1,X任Q

D.函数g(X)=［x］在［0,+8)上是“c函数”(国表示不大于X的最大整数)

答案：AD

解析：对于A,若函数为“Q函数”，则由条件⑴得/(()"0.由条件⑵得当x=y=O

时,〃0)>/(0)+/(0)=>,/(0)<0,所以〃0)=0,故A说法正确；

对于B,若/(x)=0,xe[0,长。)，则“X)满足条件⑴(2),但/(x)不是增函数，故B说法错误；

对于C^x=&,y=百时,g(&)=l,g(G)=l,g(夜+G)=l,g(a+G)<g(0)+g(6),不

满足条件(2),所以不是“Q函数”，故C说法错误；

对于D,g(X)=[A]在[0,+oo)上的最小值是0，显然符合条件(1).设[0,+8)上的每一个数均由整数部分和小

数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即x=m+n则[x]=初设>1的整数部分是«，小数部分是b,

即y=。+》,贝!|[〉]=°.当〃+匕<1时,[%+习=加+£1；当〃+力21时,卜+习=加+4+1;所以

[x+H4x]+[y],所以函数g(x)=[x]满足条件⑵，所以g(x)=[x]在[0,+oo)上是“。函数”，故D说法正

确.

故选:AD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

iuumuuui

13.如图，在AABC中，AB=AC=3,cosABAC=-,DC=2BD>则AZ>8C的值为.

答案：一2

解析：

ADBC=(AC+C£>)BC=(AC+|CB)BC

221

=[AC+-(AB-AC)]BC=(-AB+-AC)-(AC-AB)

2I|211I|2

=--|AB|+-AB-AC+-|AC|=_6+1+3=-2

考点：向量数量积

14.下列叙述中正确的是.（填写所有正确命题的序号）

①随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60

②数据2,3,3,5,9,9的中位数为3和5,众数为3和9

③数据9,10,11,11,16,20,22,23的75%分位数为21

④若将一组数据中的每个数都加上2,则平均数和方差都没有发生变化

答案：①③

解析：因为样本中包含的个体数称为样本量，所以①正确；因为数据2,3,3,5,9,9的中位数为孚=4,

2

所以②错误，由于8x75%=6.所以该组数据的75%分位数是第6项与第7项数据的平均数，即为21,故

③正确；若将一组数据中的每个数都加上2,则易知平均数增加2,方差是不变化的，故④错误.

故答案为：①③.

15.在一ABC中，内角A,8,C的对边分别为小b,c,且a>b,a>c.二ABC的外接圆半径为1,a=#），

若8c边上的一点D满足BD=2DC,且ZBAD=90°,则的面积为

答案：立##'百

44

解析：根据题意，得到图形如下,

所以由正弦定理得一--=2R=2,可得sinABAC=—，

sinBBAC2

因为8c边上的一点。满足8D=2OC,且NA4D=90°,

所以Nfi4c>90°,则N84C=120°,NC4D=30°,

2_226「八1〃二1月

BD=—BC=—a=------，CD=—BC=—a=—»

333333

所以由正弦定理可得一^=—C—D—=斗=2叵」=2=吗故上=」

sinZ2sinZCAD3sinZlsin90°3sinZ2sinZl

2

又sinZ2=sin(180°-Zl)=sinZl,所以/?=c,

所以由余弦定理a?=/?2+,2-20ccosNB4C，可得3=er+L-2xcxcx(-Q),故02=1，即c=l,

所以S=—bcsinZBAC=—xlxlx—=—

ABliC2224

故答案为：

4

16.在棱长为2的正方体ABC。—A片GA中，E是CO的中点，尸是Cq上的动点，则三棱锥4一。所

外接球表面积的最小值为.

答案：13万

解析：如下图所示，设圆柱的底面半径为「，母线长为〃，圆柱的外接球半径为R,

取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点。到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R,则。为

圆柱的外接球球心，由勾股定理可得（24+〃2=（2R。

本题中，平面尸，设」）跖的外接圆为圆0,可将三棱锥A-DE尸内接于圆柱«。2，如下

图所示:

设_£>£F的外接圆直径为2r，AD=h,该三棱锥的外接球直径为2H，贝iJ（2R『=（2r）?+川.

如下图所示:

X

x——

tanZCEF-tanZCDFx

tanNDFE=tan(ZCEF-ZCDF)2=

1+tanZCEFtan/CDF1xY+2

l+x•一

2

5

当且仅当工=&时，tan/DEE取得最大值一,

4

小”sinZDFEV2

tanNDFE=---------=——

cosZDFE4

sin2ZDFE+cos2ZDFE=1,可得sinNOFE=1,cosNDFE=

由，

33

sinZDFE>0

1r）F

所以，sinNDbE的最大值为一，由正弦定理得2r=---------=3,即2r的最小值为3,

3sinZDFE

因此，（2/?）2=（2r）2+〃2232+22=13,

所以，三棱锥A-。石尸外接球表面积为S=4〃R2213".

故三棱锥A-。上户外接球的表面积的最小值为13%.

故答案为：13万.

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3乃

17.如图，在平面四边形4BCO中，ZABC=—,AB±AD,AB=\.

（1）若AC=J^,求的面积；

71

（2）若/ADC=—,CD=4,求sin/CAD

6

答案：（1）在中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC,

即5=1+BG+0BC,解得BC=板,

所以dABC的面积SABC=|ABBCsmZABC^1x1xx与=[

（2）设/。。=仇

ArCD

在・•ACO中，由正弦定理得二----：

sinZADCsinNCAD

AC

吃，①

即.71

sin—sint/

6

八,3兀K

在-ABC中，NBAC=——9,ZBCA=K-------(——0)=0——,

2424

ACAB

由正弦定理得

sinZABCsinZBCA

AC1

sin―4•G万)

①②两式相除，得/L----4=4S1I1((j---4)>

.7T----、-----乙

sm—sin0

o

即4(—sin(9--cos(9)=&sin9,整理得sin9=2cos0.

22

又因为sin20+cos20=1,

所以sin9=2叵，即sinNCA£)=36.

55

18.如图所示，已知ABI平面AC£»,DE上平面AC。，ACD为等边三角形.4)=上=2M，F为CD

的中点.

(2)证明：平面3CE_L平面CDE；

(3)求直线A。和平面BCE所成的角的正弦值.

答案：(1)取CE中点连结MF,BM,

M尸是.CDE的中位线，•••MF〃/)E，MF=-DE,

2

平面AC。，D£J,平面4C0，

:.DE〃AB，又DE=2AB，：.AB〃MF，AB=MF，

四边形ABMF是平行四边形，

，A尸〃身0，尸仁平面BCE，BMu平面BCE,

AF7/平面BCE；

(2)1平面4CD,AFu平面AC。，

AB_LAF,••.四边形A8MF是矩形，二3河_LMF.

•；,AC。是正三角形，下是C£>中点，...CDLAF.

".,BM//AF>.'.CDIBM,

,:MFcCD=F,MFu平面CDE,C£)u平面C。E,

，BM1平面CDE,,：BMu平面BCE,

平面BCE_L平面CDE;

(3)取线段OE的中点P,连接BP,

•:AB〃DP电AB=DP，

：.四边形ABPD是平行四边形，

AD//BP,

则直线40和平面BCE所成的角就是直线BP和平面BCE所成的角，

过点P作RV_1.CE,垂足为N,连结BN,

由(2)知平面BCE平面CDE,又平面BCE平面CDE=CE,

PNA平面BCE,：.ZPBN为直线8P和平面5CE所成角的平面角.

设舫=1,则OE=AC=CD=AD=2,

•/DEI平面AC。，

DEVDC,

"：CD=DE,

"：PNICE,EP=\,

•••NP=叵,

2

四边形ABPD为平行四边形,

***BP=AD=2，

..NPV2

••sinZ/M.NDBDP==——，

BP4

故直线AD和平面BCE所成的角正弦值为之.

19.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站

为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组［20,30）,第2

组［30,40）,第3组［40,50）,第4组［50,60）,第5组［60,70］,得到的频率分布直方图如图所示

（1）求样本中数据落在［50,60）的频率；

（2）求样本数据的第60百分位数；

（3）若将频率视为概率，现在要从［20,30）和［60,70］两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随

机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在［20,30）这一组的概率.

答案：（1）由频率分布直方图可知，样本中数据落在［50,60）的频率为1—（0.01x2+0.02x2）x10=0.4

（2）样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为50+°，一（°。1*2+02）-1。=55

0.4

（3）［20,30）与［60,70］两组的频率之比为1：2,现从［20,30）和［60,70］两组中用分层抽样的方法抽取6

人,

则［20,30)组抽取2人，记为“，匕，［60,70］组抽取4人，记为1,2,3,4.

所有可能的情况为(。力),⑷),(a,2),(a,3),(〃,4),(伍1),(。,2),伍,3),(。,4),(1,2),(1,3),

(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4种.

其中至少有1人的年龄在［20,30)的情况有(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(a,4),(。,1),(伍2),伍,3),

(。,4),共9种，

93

故所求概率尸=石=二.

20.已知a=(&cosx,l),方=(&sinx,-2),设函数f=

(1)求/(x)的单调递增区间；

⑵若求/(x)的值域.

答案：(1)f(x)^(a+b)-a=a+〃•/?=2cos2x+1+2sinA:cosx-2=sin2x+cos2x

=V2sin^2x+^.

JlJIITJITTT

取2kTi——<2x+—<—+2E,keZ,解得ku---<x<—+E,keZ.

24288

371TT

故函数的单调递增区间为kn---,-+k-jt,keZ.

8o

(2),则2%+:€(：，弓)，故sin(2x+：)e一等/，e(-1，V2J.

21.已知函数/(x)=Asin(0x+9)(A>O,o>O,O<°<7t)部分图象如图所示.

（1）求函数〃x）的解析式;

（2）若对使得关于x的不等式羡/［x-mJ«cos22x-,"+l恒成立，求实数利的最大值.

答案：（1）由所给函数图像可知，A=2,—=1=,即7=兀，所以刃=学=2,

又图像过点（一记＞2）,