锐角三角函数函数：2021-2023中考数学真题分项汇编（解析版）

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

专题33锐角三角函数函数（优选真题60道）

选择题（共20小题）

1.(2022•天津)tan45°的值等于()

V3

A.2B.1C.这D.一

23

【分析】根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.

【解答】解：tan45°的值等于1,

故选：B.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2.（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提

供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点8处测得灯塔最高点A的仰角

=45°,再沿3。方向前进至C处测得最高点A的仰角NACD=60°,BC=15.3m,则灯塔的高度A。

大约是（）（结果精确到参考数据：V2-1.41,V3-1.73）

A.31mB.D.53m

【分析】根据题意可得：AD±BD,然后设CD=x/,贝l|8£>=（x+15.3）m,在中，利用锐角

三角函数的定义求出AO的长，再在Rt^AC。中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关

于x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：ADLBD,

设CD=xm,

'：BC=l5.3m,

.,.BD=BC+CD=(x+15.3)m,

在RtZXAB。中，ZABD=45°,

AD=BD•tan45°=(x+15.3)m,

在RtZkACO中，ZACZ)=60°,

/.AD=CD,tan60°=V3x（m）,

V3x=（x+15.3）,

解得：x^21.0,

/.AD=x+15.3^36（m）,

.••灯塔的高度AD大约是36m,

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

3.（2023•威海）常言道：失之毫厘，谬以千里.当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准

确的数据.1"的角真的很小.把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°・1°

=60,=3600".若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1〃.太

阳到地球的平均距离大约为1.5X108千米.若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1"的等腰三

角形底边长为（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

【分析】根据题意列方程求解即可.

【解答】解：设等腰三角形底边长为尤毫米，由题意得，

11.5X108

4.848X'

解得X=7.272X1（）8,

7.272X108毫米=727.2千米，

故选：D.

【点评】本题考查科学记数法，等腰三角形的性质，理解题意是正确解答的前提.

4.（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳A8到

地面，如图所示.己知彩旗绳与地面形成25°角（即NA4C=25°）,彩旗绳固定在地面的位置与图书

馆相距32米（即AC=32米），则彩旗绳的长度为（

3232,

A.32sin25°米B.32cos25°米C.---------米D-G米

sm25°

【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可.

【解答】解：如图，由题意得，AC=32"z,NA=25°,

在Rt^ABC中，

AC

AB'

._AC_=32

(%),

-cosA-cos2E>°

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

5.（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬1%耗能（1.025-cosa）J,若某人爬了lOOOw,该

坡角为30°,则他耗能（)(参考数据：V3«1.732,V2«1.414)

A.58JB.159JC.1025/D.1732J

【分析】根据题意可得：他耗能=1000X（1.025-COS300）,进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得:

某人爬了1000//7,该坡角为30°,则他耗能=1000X(1.025-cos30°)=1000X(1.025-空0-159

(J),

故选:B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键.

6.（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成

的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为a,则cosa

的值为（）

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较

短的直角边为则较长的直角边为a+1,再利用勾股定理得到关于。的方程，解方程可求出直角三角形

的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosa的值.

【解答】解：♦.•小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,

.•.小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,

设直角三角形中较短的直角边为a,则较长的直角边是。+1,其中。＞0,

由勾股定理得：/+（a+i）2=52,

整理得：cr'+a-12=0

解得：ai=3,°2=-4（不合题意，舍去）.

。+1=4,

••COSOC=

故选：D.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角

函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边.

7.（2023•十堰）如图所示，有一天桥高为5米，8C是通向天桥的斜坡，/ACB=45°,市政部门启动

“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到。处，使/。=30。，则8的长度约为（）（参考数

据：V2«1.414,百~1.732）

C.3.55米D.3.66米

【分析】由NBAC=90°,ZACB=45°，得NACB=45°，则AC=A2=5米，由/胡。=90°，

ZD=30°，得/A8O=60°,则一=tan60°=V3,所以AD=V3AB,贝UCD=AD-AC=V3AB-AC

AB

心3.66米，于是得到问题的答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,

ZABC=ZACB=45°,

：.AC^AB=5米，

在中，ZBAD=90°,ZD=30°,

/.ZAB£>=60°,

AD「

—=tanXABD—tan60°=遮,

AB

：.AD=收AB,

：.CD=AD-AC=V3AB-AC«1.732X5-5P3.66(米)，

CO的长度约为3.66米，

故选：D.

【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三

角形等知识，推导出AD=WAB是解题的关键.

8.(2023•杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如

图，在由四个全等的直角三角形(△ZME,AABF,ABCG,△CDH)和中间一个小正方形EFG”拼成

的大正方形ABC。中，ZABF>ZBAF,连接8E.设NBAP=a,/BEF=0,若正方形跖GW与正方形

ABC。的面积之比为1：n,tana=tan2p,则〃=()

nA.5By.4C.3D.)

a(广-)化简可得

【分析】设A-，。/,贝！AF=b,解直角三角形可得12,(b-a)2=

b-a

ab,cr+b2=3ab,结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABC£>=1:3,进而可求解

w的值.

【解答】解：设DE=b,则AF=b,

tana=tan0=tana=tan2p,

CLCLn

［宣)，

(Z?-〃)2=〃/?,

a2+b2=3ab,

Q2+/72=AQ2=S正方形ABC7),(/?—a)2=S正方形EFGH,

S正方形EFG"：S正方形A3CD=4Z?：3〃8=1:3,

S正方形EFGH:S正方形A3C£)=1:"，

n=3.

故选：C.

【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（…）2=ab,

cr+b^—iab是解题的关键.

9.（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走尤米到达8处，再向正北方向走到C处，已知/

BAC=a,则A,C两处相距（）

xX

A.------米B.------米C.x・sina米D.尤・cosa米

sinacosa

【分析】根据题意可得：BC±AB,然后在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解

答.

【解答】解：由题意得：BC.LAB,

在Rt"8C中，ZCAB=a,A8=x米，

•••心堞=康（米

X

：.A,C两处相距——米,

cosa

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

10.（2023•自贡）如图，分别经过原点。和点A（4,0）的动直线a,b夹角NOBA=30°,点M是。8中

点，连接AM,则sinN。4M的最大值是（）

b

【分析】作△AOB的外接圆。7,连接OT,TA,TB,取。7的中点K,连接KM.证明长/=3^=2,

推出点〃在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与OK相切时，4M的值最大，此时sin/。4M

的值最大.

【解答】解：作△AO8的外接圆OT,连接。7,TA,TB,取。7的中点K,连接KM.

VZATO=2ZABO=60°,TO=TA,

.♦.△OAT是等边三角形，

VA(4,0),

：.TO^TA=TB=4,

,：0K=KT,OM^MB,

1

：.KM=^TB=2,

・••点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，

当AM与OK相切时，NO4M的值最大，此时sinNOAM的值最大,

窗是等边三角形，OK=KT,

：.AK±OTf

：.AK=y/OA2-OK2=V42-22=2A/3,

「AM是切线，KM是半径，

：.AM±KMf

：.AM=y/AK2-MK2=J(2V3)2-22=2也

过点M作八〃_LOA于点LKRLOA于点R,MP_LRK于点尸.

*：ZPML=ZAMK=90°,

：.ZPMK=ZLMA,

VZP=ZMLA=90°,

:•△MPKsXMLA,

tMPPKMK___2_____1_

ML~AL~AM~2V2—V2?

设PK=x,PM=y,则有刈=何，AL=岳,

y/2y=V3+x①，y=3—yj2x,

&ZJ4S3y/2—3+^/6

解传，x=----3—，y=—1

3V2+2V3

ML=y[2y=

3'

3^+2门

3+乃

-^OAM=AM=-^T~6~

故选:A.

【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

11.（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知8c=6加，ZABC=a,则房顶A

离地面EF的高度为（）

R3

C

A.(4+3sina)mB.(4+3tana)m-(4+痂)加D.(4+』)m

【分析】过点A作A。_LBC于点。，利用直角三角形的边角关系定理求得A。,.用AO+BE即可表示出

房顶A离地面EE的高度.

【解答】解：过点A作AOL8C于点。，如图,

EF

.它是一个轴对称图形，

：.AB=AC,

\'AD1BC,

1

:,BD=/C=3根，

在Rt/XAOB中，

An

；tan/ABC=第，

/.AD=BD•tana=3tana机.

；・房顶A离地面EP的高度=AD+2E=（4+3tana）m,

故选：B.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角

形的边角关系定理求得4。的长是解题的关键.

12.（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB

与CD相交于点P,则cosZAPC的值为（）

【分析】把AB向上平移一个单位到连接“，则由勾股定理逆定理可以证明△OCE为

直角三角形，所以sin/APC=sin/EZ）C即可得答案.

【解答】解：把AB向上平移一个单位到。£,连接CE,如图.

贝ijDE//AB,

：./APC=NEDC.

在△DCE中，有EC=02+1=而,DC=V42+22=2A/5,DE=V32+42=5,

,.•EC2+r>C2=D£2,

故△DCE为直角三角形，ZDCE=9Q°.

DC_275

cosZAPC=cosZEDC=DE=~'

【点评】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键.

13.（2022•随州）如图，已知点8D,C在同一直线的水平地面上，在点。处测得建筑物A3的顶端A的

仰角为a，在点。处测得建筑物A3的顶端A的仰角为0,若CD=a,则建筑物A5的高度为（）

aa

tana-tan^tanp-tana

atanatan^atanatan0

tana-tan^tan^-tana

【分析】设A8=x,在Rt/XABD中，tan0=第=焉，可得^贝九BC=BQ+CO=a+隽在

RtAABC中，tana=禁=—与二，求解无即可.

BC。+砌

【解答】解：设

在中，tan0=第=焉,

品，

Y

：.BC=BD+CD=a+^^,

在Rt&WC中，tana=£=工

BCa+砌

内刀彳曰_atanatanp

牛寸tanp—tana

故选：D.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关

键.

14.（2022•黔东南州）如图，PA.尸3分别与OO相切于点A、B,连接尸。并延长与交于点C、D,若

CD=12,阴=8,贝!JsinNAOB的值为()

4334

A.-B.-C.一D.-

5543

【分析】连接AO,BO,根据切线长定理,圆周角定理，锐角三角函数解答即可.

【解答】解连接AO,BO,

尸5分别与。0相切于点A、B,

：.ZPAO=ZPBO=90°,B4=PB=8,

VDC=12,

：.AO=6,

：.OP=10,

在RtAB4O和RtAPBO中,

PA=PB

PO=PO'

.,.RtAB4O^RtAPBO(HL),

ZAOP=ZBOP9

：.AC=BC,

・•・NADC=/BDC,

ZA0C=2ZADC,

：.ZADB=ZAOC,

ADA

・•・sinZADB=sinZAOC=法=£

【点评】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，三角函数，熟练掌握相关性质是解答本题的关键.

15.（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形Q48C的顶点8的坐标为（10,4）,四边形A8EF

是菱形，且tanZABE=若直线/把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，

315

A.y=3xB.y=—彳式+2C.y=-21+11D.y=-2x+12

【分析】分别求出矩形042C和菱形AB斯的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得

出结论.

【解答】解：连接08,AC,它们交于点M,连接AE,BF,它们交于点N,

则直线MN为符合条件的直线I,如图，

y

•..四边形0ABe是矩形，

：8的坐标为(10,4),

：.M(5,2),AB=10,BC=4.

•.•四边形43所为菱形，

BE=AB=10.

过点E作EGLA8于点G,

在RtABEG中，

4

VtanZABE=寸

.EG_4

••—―,

BG3

设EG=4左，则8G=3%,

：.BE=yjEG2+BG2=5k,

：.5k=W,

：.k=2,

:.EG=8,BG=6,

：.AG=4.

：.E(4,12).

的坐标为(10,4),AB〃x轴,

/.A(0,4).

;点N为AE的中点，

：.N(2,8).

设直线/的解析式为y=G+b,

.f5a+b=2

••(2。+b=8

解得：=

lb-12

直线l的解析式为y=-2x+12,

故选：D.

【点评】本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，直角三角形的边角关系定理，利用待定

系数法确定函数的解析式是解题的关键.

16.（2022•乐山）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=遮，点。是AC上一点，连结BD若tan/A=±,

1

tanZABD=j,则CD的长为（）

【分析】过。点作。ELAB于E,由锐角三角函数的定义可得5£>E=AB,再解直角三角形可求得AC的

长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解的长.

【解答】解：过。点作DELAB于E,

2DE+3DE=5DE=AB,

-1

在Rt"BC中，tanZA=BC=V5,

.BCV51

"AC~AC~2

解得AC=2V5,

：.AB=yjAC2+BC2=5,

：.DE^1,

：.AE=2,

.".AD=y/AE2+DE2—Vl2+22=V5,

CD=AC-AD=V5,

故选：C.

【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键.

17.（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点

A的仰角为22°,再向前70机至。点，又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上，则

该建筑物AB的高度约为（）

（精确到1m.参考数据：sin22°七0.37,tan22°-0.40,sin58°心0.85,tan58°^1.60）

【分析】根据题意得到A2LBC,然后根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解:由题意可知：AB±BC,

在中，ZB=90°,ZADB=58°,

*.*tanNADS=tan58°=前,

.小八ABAB..

••但说而“而（M，

在RtZkAC5中，ZB=90°,ZC=22°,

•：CD=70m,

：.BC=CD+BD=（70+^）m,

Af>

：.AB=BCXtanC^（70+黑）X0.40（m）,

解得:ABWIm,

答：该建筑物AB的高度约为37〃z.

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三

角函数解直角三角形.

18.（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,BC=3,将沿3。折叠到△BED位置，DE

交A8于点F,则cosZADF的值为（）

【分析】利用矩形和折叠的性质可得8歹=OR设BF=x,则。尸=x,AF=5-x,在尸中利用勾

股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos/ADF.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

；.NA=90°,AB//CD,4O=BC=3,AB=CD=5,

；./BDC=/DBF,

由折叠的性质可得NBOC=NBDF,

:./BDF=NDBF,

：.BF=DF,

设BF—x,贝UDF—x,AF—5-尤，

在RtZXADA中,32+（5-x）2=xi,

•..x—_亏17，

315

cosXADF=F=F，

T

故选：C.

【点评】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和

折叠的性质得到DF=BF.

19.（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°,在

点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,8,。三点在同一直线上，若48=16",则这棵树CD的高度

是（)

c

A.8(3-V3)mB.8(3+V3)mC.6(3-V3)mD.6(3+V3)m

【分析】设AO=x米，贝1」8。=(16-x)米，在Rt^AOC中，利用锐角三角函数的定义求出CO的长,

然后在RtZ\C£>B中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：设AO=x米，

：AB=16米,

J.BD^AB-AD^（16-尤）米，

在Rt^AOC中，ZA=45°,

CD=A£>>tan45o—x（米），

在RtZXCDB中，ZB=60°,

.•.tan60。=器=备=遍'

•\x=24-8V3,

经检验：％=24-88是原方程的根，

.,.CZ)=24-8V3=8(3-V3))米，

・・・这棵树CQ的高度是8(3-V3)米，

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

20.(2022•荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点。在03上，

OC：BC=1：2,连接AC,过点。作。尸〃AB交AC的延长线于P.若尸(1,1),则tanNOAP的值是

1

C.D.3

3

【分析】根据。尸〃AB,证明出△OCPS^BCA,得到CP：AC=OC：BC=1：2,过点P作PQJ_x轴于

点Q,根据/AOC=NA。尸=90°,得到CO//PQ,根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP

AC=1：2,根据尸（1,1）,得到PQ=OQ=1,得到AO=2,根据正切的定义即可得到tan/OAP的值.

【解答】解：如图，过点尸作轴于点。，

'JOP//AB,

:.△OCPsXBCb,

：.CP-.AC^OC：BC=1：2,

VZAOC=ZAQP=90°,

J.CO//PQ,

：.OQ-.AO^CP：AC=1：2,

,：P（1,1）,

：.PQ=OQ=\,

；.AO=2,

=

•e•tanNOAP05.

■Z1QZi-L3

故选：c.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得

至[]0。：AO=CP：AC=1：2是解题的关键.

二.填空题（共25小题）

21.（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，

在塔前C处，测得该塔顶端8的仰角为50°,后退60根（CD=60优）到。处有一平台，在高2机（DE

=2优）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°.则该电视发射塔的高度A8为55m.（精确到1m.参

考数据：tan50°^1.2,tan26.6°仁0.5）

B

【分析】过点E作EPLAB,垂足为R根据题意可得：AF=DE=2m,EF=AD,BA±DA,然后设AC

=xm,贝i]EF=A£)=(x+60)m,在RtZXABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在RtZ\FBE

中，利用锐角二角函数的定义求出8斤的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可

解答.

【解答】解：过点E作EFLAB,垂足为尸,

由题意得：AF=DE=2m,EF=AD,BA±DA,

设AC=xm,

；CD=60m,

：.EF^AD=AC+CD^(尤+60)m,

在Rt^ABC中，ZBCA=50°,

.■.AB=AC,tan50°^1.2x(m),

在Rt△产BE中，NBEF=266°,

.,.BF=£F«tan26.6°^0.5(x+60)m,

：.AB=BF+AF^[2+0.5(x+60)]m,

.*.1.2x=2+0.5(x+60),

解得：x=等，

.\AB=1.2x^55(m),

该电视发射塔的图度AB约为55m,

故答案为：55.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

22.(2023•牡丹江)如图，将45°的NAOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点。与尺下沿的端点重

合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm,若按相同的方式将22.5°的/AOC

放置在该刻度尺上，则0C与尺上沿的交点C在尺上的读数为(2V2+2)—cm.

0A

【分析】由等腰直角三角形的性质得到夜5，由平行线的性质推出3c=08,即可求出

C。长，得到OC与尺上沿的交点C在尺上的读数.

【解答】解：VZAOB=45°,NAOC=22.5°,

：.ZBOC=ZAOC,

'：BC//OA,

J.ZBCO^ZAOC,

：.ZBCO=ZBOC,

:.BC=0B,

•••△ODB是等腰直角三角形，

0B='JlBD—l'Jl.cm,

/.CD—BC+BD—(2>/2+2)cm.

；.OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为(2V2+2)cm.

故答案为：(2V2+2).

0A

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，推出8c

=OB,即可解决问题

23.(2023•赤峰)为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，

把原来A地去往8地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路A8.如图，经勘测，AC=6

千米，ZCAB=60°,NCBA=37°,则改造后公路AB的长是9.9千米（精确到0.1千米；参考数

据：sin37°^0.60,cos37°仁0.80,tan37°心0.75,g=1.73）.

【分析】过点C作C£），A8于点D,在RtAADC中利用/CA8的余弦函数求出AD,利用ZCAB的正弦

函数求出CD,然后再RtABCZ）中利用ZCBA正切函数求出DB,进而可得出答案.

【解答】解：过点C作COLAB于点D,

Anrn

在RtZXAOC中，AC=6,ZCAB=60°,cosZCAB=s讥/CAB=%，

/.AD^AC-cosZCAB=6cos60°=3（千米），CD-ACsin^CAB=6sin60°=3百（千米），

rr\

在RtACDB中，/CBA=31°,CD=3A/3,tanBA=第，

：.DB=7=-3^-«=4V3（千米），

tanZ-CBAtan370.75

：.AB=AD+DB=3+4433+4X1.73«9.9（千米）.

答:改造后公路AB的长是9.9千米.

故答案为：9.9.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义，难

点是正确的作出辅助线构造直角三角形.

24.（2023•武汉）如图，将45°的N49B按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点。与尺下沿的端点重合，

与尺下沿重合，0B与尺上沿的交点8在尺上的读数为2c7",若按相同的方式将37°的/AOC放置

在该刻度尺上，则。C与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm（结果精确到0.1c〃z,参考数据sin37°

心0.60,cos37°-0.80,tan37°心0.75)

【分析】过点8作BDLOA于。，过点C作CELOA于E,根据等腰直角三角形的性质可得CE=2,再

通过解直角三角形可求得。£的长，进而可求解.

【解答】解:过点B作BDLOA于D,过点C作CE±OA于E,

CE=BD=2cm,

在△OCE中，/COE=31°,NCEO=90°,

CF

.\tan37°=浣;=0.75,

OE—2.1cm,

即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm.

故答案为：2.7cm.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键.

25.（2023•济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A,在

点A和建筑物之间选择一点3,测得AB=30"z,用高l〃z（AC=l相）的测角仪在A处测得建筑物顶部E

的仰角为30°,在8处测得仰角为60°,则该建筑物的高是（154+1）%.

【分析】延长C£）交所与点G,根据题意可得：DB=AC=FG=lm,CGLEF,DC=AB^3Qm,ZEDG

=60°,NECG=30°,然后利用三角形的外角性质可得/。石。=/£8=30°,从而可得ED=CD=

30%，最后在RtA£GZ）中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而利用线段的和差关系进行计算,

即可解答.

【解答】解：如图：延长CD交所于点G,

由题意得：DB=AC=FG=\m,CGLEF,DC=AB=30m,/EDG=60°,ZECG=30°,

ZEDG是△即C的一个外角，

/DEC=ZEDG-NECG=30°,

:.NDEC=/ECD=30°,

ED=CD-30m,

F5

在RtAEGO中，EG=££）・sin60°=30x^=158（m）,

：.EF=EG+FG=（15V3+1）m,

.••该建筑物的高是（15V3+1）m,

故答案为：（15W+1）m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

26.（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37。的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材

约21m（结果取整数）.（参考数据：sin37°"0.60,cos37°仁0.80,tan37°仁0.75）

c

【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得然后在Rt^AC。中，利用锐角三角函数

的定义求出AC,A。的长，从而求出A8的长，最后进行计算即可解答.

【解答】解：：CA=CB,CD1AB,

：.AD^BD=

在RtZ\ACO中，ZCA£)=37°,CD=3m,

cn3CD3

•••AC=^^"旃=5(M,AD=T^^^=4(M,

CA—CB^5m,AB=2A£)=8(m),

.•.共需钢材约=&。+。2+42+0)=5+5+8+3=21(m),

故答案为：21.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等

腰三角形的性质是解题的关键.

27.(2023•岳阳)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处

用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高

度为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是9.5米(结果精确到0.1米,sin21面^0.3714,cos21.8°

"0.9285,tan21.8°心0.4000).

【分析】由题意得，四边形ABC。是矩形，根据矩形的性质得到8=15”，AD=BC^2Qm,解直

角三角形即可得到结论.

【解答】解：由题意得，四边形ABC。是矩形,

.'.AB^CD—1.5m,AD—BC—20m,

在Rt^AQE中，

VAD=BC=20m,ZEA£>=21.8°,

•,.DE=AZ)«tan21.8o^20X0.4000=8(m),

；.CE=Cr）+r）E=1.5+8=9.5（m）,

答：气球顶部离地面的高度EC是95”.

故答案为：9.5.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质，正确地仰角的定义是解题的关

键.

28.（2023•荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°,底部C的俯角为60°,无

人机与旗杆的水平距离为6加，则该校的旗杆高约为13.8m.（V3«1.73,结果精确到0.1）

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出2。，0c的长，进而求出该旗杆的高度.

【解答】解：由题意可得：tan30。=器=半=字，

解得：BD=2W（米），

oCDCD后

tan6A0n=而=-g-=V3,

解得：DC=6陋（米），

故该校的旗杆高约为：BC=BD+DC=SV3«13.8（米），

故答案为：13.8.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

29.（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（1,0）,点8（0,-3）,点C在x轴上，且点C

在点4右方，连接AS,BC,若tan/ABC=j则点C的坐标为（一,0）.

J

【分析】设C(a,O),结合A,8两点的坐标利用两点间的距离可得。4=1，AC=a-1,0B=3,BC=y/a2+9,

通过解直角三角形可得NOBA=/ABC,过C点作CO〃y轴交BA的延长线于点D,利用平行线的性质

可得4。晟4s△CD4,/ABC=/D,列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解.

【解答】解：设C(a,0),

***OC=ci9

•・•点A(1,0),点5(0,-3),

/.OA=1,AC=a-1,03=3,BC=V32+a2=Va2+9,

(IAii

在RtZ\O43中，tanN08A=gg=芯tanZABC=

：.ZOBA=ZABC,

过C点作CD//y轴交BA的延长线于点D,

：.ZOBA=ZD,ZAOB=ZACD,

.,.△OBA^ACDA,ZABC=ZD,

OBOA

CD=BC,

CDCA

OBOA

BC~AC

31

Va2+9a-1

解得〃=0(舍去)或〃=

9

：.C(-,0),

4

9

故答案为：(：，0).

4

D

【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性

质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键.

30.（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面C。的中点A

处竖直上升30米到达2处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部尸的俯角为30°,已知博雅

楼高度CE为15米，则尚美楼高度£＞尸为（30-5百）米.（结果保留根号）

B

45°30°

尚

美

楼

【分析】过点E作EM,过点8的水平线于过点F作FN,过点8的水平线于N,先求出EN的长,

在中求出的长，然后求出BN的长，在RtZkFBN中求出WV的长，即可求出OF的长.

【解答】解：如图，过点E作过点B的水平线于M,过点F作可，过点B的水平线于N,

B

-;N

M：45°30°

尚

博

美

雅

楼

楼

CAD

由题意可知CM=DN=AB=30米,

又；CE=15米，

：.EM=15米，

在RtZiEBM中，ZEBM=45°,

：.BM=EM=15米，

又是CD的中点,

?.BN=AD=AC=BM=15米，

在RtZkBFN中，tan/FBN=需,

，：/FBN=30°,8N=15米，

.FNV3

••=,

153

:.FN=5b米，

；.DF=（30-5V3）米.

故答案为：（30-5旧）.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问

题是解决问题的关键.

31.（2023•枣庄）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，

末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻

易把水提升至所需处，若已知：杠杆A8=6米，AO：OB=2：1,支架。M_LEROM=3米，A8可以

绕着点0自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时NAOM=45°,此时点B到水平